22 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2. Cấp số cộng (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
\(\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\,\,\forall n \ge 1}\end{array}} \right.\).
\(\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 3}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\,\,\forall n \ge 1}\end{array}} \right.\).
\(\left( {{u_n}} \right):\,\)\(1\); \(3\); \(6\); \(10\); \(15\); \( \ldots \).
\(\left( {{u_n}} \right):\,\)\( - 1\); \(1\); \( - 1\); \(1\); \( - 1\); \( \ldots \).
A
Dãy số ở đáp án A thỏa \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\) với mọi \(n \ge 1\) nên là cấp số cộng.
\({u_n} = 2n + 5\).
\(49\), \(43\),\(37\), \(31\), \(25\).
\({u_n} = 1 + {3^n}\).
\({u_n} = {\left( {n + 3} \right)^2} - {n^2}\).
C
Xét dãy số \({u_n} = 1 + {3^n}\), suy ra \({u_{n + 1}} = 1 + {3^{n + 1}}\).
Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = {2.3^n},\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó \({u_n} = 1 + {3^n}\) không phải là cấp số cộng.
\(11\).
\(\frac{9}{2}\).
\(18\).
\(7\).
A
Ta có: \({u_2} = {u_1} + d = 9 + 2 = 11\).
\(d = \frac{{11}}{3}\).
\(d = \frac{{10}}{3}\).
\(d = \frac{3}{{10}}\).
\(d = \frac{3}{{11}}\).
A
\({u_8} = {u_1} + 7d\)\( \Leftrightarrow 26\, = \frac{1}{3} + 7d\)\( \Leftrightarrow d = \frac{{11}}{3}\).
\[d = 3\].
\[d = 2\].
\[d = - 2\].
\[d = - 3\].
A
Ta có \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 2 - 3n + 2 = 3\].
Suy ra \[d = 3\] là công sai của cấp số cộng.
\({u_5} = \frac{{{u_1} + {u_9}}}{2}\).
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d\),\(n \ge 2\).
\({S_{12}} = \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + 11d} \right)\).
\({u_n} = {u_1} + (n - 1).d\),\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
C
Ta có công thức tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \({S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2}\)
Suy ra \({S_{12}} = 12{u_1} + \frac{{12.11.d}}{2}\)\( = 6\left( {2{u_1} + 11d} \right)\)\( \ne \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + 11d} \right)\).
\({S_{10}} = - 125\).
\({S_{10}} = - 250\).
\({S_{10}} = 200\).
\({S_{10}} = - 200\).
A
Gọi \({u_1}\), \(d\) lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = - 15\\{u_{20}} = 60\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = - 15\\{u_1} + 19d = 60\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.\).
Vậy \({S_{10}} = \frac{{10}}{2}.\left( {2{u_1} + 9d} \right)\)\( = 5.\left[ {2.\left( { - 35} \right) + 9.5} \right]\)\( = - 125\).
\({u_{10}} = - {2.3^9}\).
\({u_{10}} = 25\).
\({u_{10}} = 28\).
\({u_{10}} = - 29\).
B
Ta có \({u_{10}} = {u_1} + 9d\)\( = - 2 + 9.3 = 25\).
\({u_{10}} = 31\).
\({u_{10}} = - 23\).
\({u_{10}} = - 20\).
\({u_{10}} = 15.\)
B
\({u_1} = 4;{u_2} = 1\)\( \Rightarrow \) \(d = - 3\). Vậy \({u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9.\left( { - 3} \right) = - 23\).
38.
30.
32.
28.
D
Số cây ở mỗi hàng theo thứ tự là một cấp số cộng có u1 = 10, công sai d = 2
Þ u10 = 10 + 9.2 = 28.
148.
150.
152.
154.
B
Theo đề bài ta có dãy số chỉ số cây trồng mỗi hàng là một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 1.
Ông Sơn đã trồng hết 11325 cây nên ta có:
\[{S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 11325 = \frac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).1} \right]}}{2} \Leftrightarrow n\left( {2 + n - 1} \right) = 22650\]
\( \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 22650 \Leftrightarrow {n^2} + n - 22650 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = - 151\left( L \right)}\\{n = 150\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\).
Vậy có 150 hàng cây được trồng theo cách trên.
301.
\[{4.3^{99}}\].
15250.
\[\frac{{4\left( {{3^{100}} - 1} \right)}}{{99}}\].
C
Ở lần cắt đầu tiên có \[{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 4}}\] tam giác.
Ở lần cắt thứ hai có \[{{\rm{T}}_1} - 1\] tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ hai có \[{{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{1}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3}}\] tam giác.
Ở lần cắt thứ ba có \[{{\rm{T}}_{\rm{2}}} - 1\] tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ ba có \[{{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{2}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 3}}\] tam giác.
…
Ở lần cắt thứ n có \[{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - 1\] tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ n có \[{{\rm{T}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + 3}}\] tam giác.
Vậy dãy số (Tn) là một cấp số cộng có số hạng đầu \[{{\rm{T}}_{\rm{1}}} = 4\] và công sai d = 3.
Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (Tn) là:
\[{{\rm{S}}_{{\rm{100}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{100}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{100}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{100}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.4 + 99}}{\rm{.3}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 15250}}\].
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho cấp số cộng (un) có u2 = −1; u3 = 2.
a) Công sai của cấp số cộng bằng 3.
b) Số hạng thứ năm bằng 11.
c) Số hạng tổng quát là un = 3n – 7.
d) Tổng 25 số hạng đầu bằng 900.
a) Ta có d = u3 – u2 = 2 – (−1) = 3.
b) u5 = u2 + 3d = −1 + 3.3 = 8.
c) Ta có u1 = u2 – d = −1 – 3 = −4.
Số hạng tổng quát là un = −4 + (n – 1).3 = 3n – 7.
d) Có \({S_{25}} = 25.\left( { - 4} \right) + \frac{{25\left( {25 - 1} \right).3}}{2} = 800\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho cấp số cộng (un) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_{10}} = - 31\\2{u_4} - {u_9} = 7\end{array} \right.\).
a) Cấp số cộng có u1 = −1, công sai d = 3.
b) Số hạng u3 bằng −5.
c) Số hạng tổng quát un = −3n + 4.
d) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng bằng −125.
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_{10}} = - 31\\2{u_4} - {u_9} = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d + {u_1} + 9d = - 31\\2\left( {{u_1} + 3d} \right) - \left( {{u_1} + 8d} \right) = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 11d = - 31\\{u_1} - 2d = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = - 3\end{array} \right.\).
b) Ta có u3 = u1 + 2d = 1 + 2.(−3) = −5.
c) Số hạng tổng quát un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n −1).(−3) = −3n + 4.
d) Có \({S_{10}} = 10.1 + \frac{{10.\left( {10 - 1} \right).\left( { - 3} \right)}}{2} = - 125\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho cấp số cộng (un) có un = 5n – 8.
a) u1 = −3.
b) Công sai của (un) là d = −8.
c) Số 492 là số hạng thứ 100 của (un).
d) Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng 190.
a) u1 = 5.1 – 8 = −3.
b) d = u2 – u1 = 2 – (−3) = 5.
c) u100 = 5.100 – 8 = 492.
d) \({S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left( {2{u_1} + 9d} \right) = 5\left[ {2.\left( { - 3} \right) + 9.5} \right] = 195\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 50 triệu đồng. Gọi un (triệu đồng) là giá của chiếc ô tô trong năm thứ n sử dụng.
a) u2 = 630.
b) Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = 50.
c) Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng lớn hơn 500 triệu đồng.
d) Sau ít nhất 8 năm sử dụng thì giá của chiếc ô tô nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu của nó.
a) Giá của chiếc ô tô trong năm thứ 2 là u2 = 680 – 50 = 630 triệu đồng.
b) Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = −50.
c) Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng: u4 = u1 + 3d = 680 – 3.50 = 530 triệu đồng.
d) Ta có un < 340 Û u1 + (n – 1)d < 340 Û 680 + (n – 1).(−50) < 340
Û −50n + 730 < 340 Û n > 7,8.
Suy ra đến năm thứ 8 thì giá trị của chiếc xe nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu của nó.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong hội chợ tết, một công ty sữa muốn xếp 1000 hộp sữa theo thứ tự từ trên xuống dưới như sau: Hàng thứ nhất có 1 hộp sữa, hàng thứ hai có 3 hộp sữa, hàng thứ ba có 5 hộp sữa,… cứ như thế số lượng hộp sữa của hàng sau lớn hơn số lượng hộp sữa của hàng trước nó là 2 hộp sữa (mô hình như hình dưới).
a) Gọi un là số hộp sữa ở hàng thứ n thì (un) là một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 2.
b) Số hộp sữa của hàng thứ 10 là 20 hộp sữa.
c) Để xếp được 20 hàng thì cần 400 hộp sữa.
d) Hàng cuối cùng có 900 hộp sữa.
a) Gọi un là số hộp sữa ở hàng thứ n thì (un) là một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 2.
b) Số hộp sữa của hàng thứ 10 là u10 = u1 + 9d = 1 + 9.2 = 19 hộp sữa.
c) Để xếp được 20 hàng thì số hộp sữa cần có là \({S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {2{u_1} + 19d} \right) = \frac{{20}}{2}\left( {2.1 + 19.2} \right) = 400\) hộp sữa.
d) Ta có \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).2} \right] = {n^2}\).
Giả sử với 1000 hộp sữa ta chỉ xếp được nhiều nhất n hàng thì n là số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình Sn £ 1000 Û n2 £ 1000 \( \Leftrightarrow - 10\sqrt {10} \le n \le 10\sqrt {10} \).
Suy ra n = 31.
Vậy hàng cuối cùng có \({u_{31}} = \frac{{31}}{2}\left( {2{u_1} + 30d} \right) = \frac{{31}}{2}\left( {2.1 + 30.2} \right) = 961\) hộp sữa.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho biết bốn số 5; x; 15; y theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức 3x + 2y.
Vì 5; x; 15; y theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + 15}}{2}\\\frac{{x + y}}{2} = 15\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\end{array} \right.\).
Vậy 3x + 2y = 70.
Trả lời: 70.
Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm, 41 cm, …, 31 cm. Xác định số bậc của chiếc thang đó.
Chiều dài các thanh ngang của dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai là −2.
Ta có un = 45 – 2(n – 1) = 47 – 2n.
Khi un = 31 thì 47 – 2n = 31 Û n = 8.
Vậy cái thang có 8 bậc.
Trả lời: 8.
Cho cấp số cộng (un) có u3 + u28 = 100. Hãy tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Ta cóu3 + u28 = 100 Û u1 + 2d + u1 + 27d = 100 Û 2u1 + 29d = 100.
Mà \({S_{30}} = \frac{{30}}{2}\left( {2{u_1} + 29d} \right)\) nên S = 15.100 = 1500.
Trả lời: 1500.
Một cầu thang đường lên cổng trời của một điểm giải trí ở công viên tỉnh Lâm Đồng được hàn bằng sắt có hình dáng các bậc thang đều là hình chữ nhật với cùng chiều rộng là 35 cm và chiều dài của nó theo thứ tự mỗi bậc đều giảm dần đi 7 cm. Biết rằng bậc đầu tiên của cầu thang là hình chữ nhật có chiều dài 196 cm và bậc cuối cùng cầu thang là hình chữ nhật có chiều dài 56 cm. Hỏi giá thành làm cầu thang là bao nhiêu triệu đồng? Biết rằng giá thành làm một mét vuông cầu thang đó là 1250000 đồng trên mỗi mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng triệu đồng).
Ta có chiều dài của mỗi mặt cầu thang theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u1 = 196, công sai d = −7 và số hạng cuối cùng là un = 56.
Khi đó un = u1 + (n – 1)d Û 56 = 196 – 7(n – 1) Û n = 21.
Tổng chiều dài của 21 hình chữ nhật đó là \({S_{21}} = \frac{{{u_1} + {u_{21}}}}{2}.21 = 2646\).
Diện tích của 21 bậc thang là S = 35.2546 = 92610 (cm2) = 9,261 (m2).
Tổng số tiền để làm cầu thang đó là: T = 9,261.1,25 = 11,57625 triệu đồng ≈ 12 triệu đồng.
Trả lời: 12.
Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,4 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 16 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển?
Kí hiệu un là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ n. Khi đó, dãy số (un) là cấp số cộng với u1 = 950 và d = 1,4.
Ta có u16 = u1 + 15d = 950 + 15.1,4 = 971.
Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 16 có độ cao 971 m so với mực nước biển.
Trả lời: 971.
