20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Cấp số cộng có đáp án
20 câu hỏi
Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu u1 và công sai d. Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây ?
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{.}}{{\rm{d}}^{\rm{n}}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{.}}{{\rm{d}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + nd}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}\]
Theo định lí ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu u1 và công sai . Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây ?
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{\rm{2}}}\]
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}\]
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{\rm{2}}}\]
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{d}}}}{{\rm{2}}}\]
Theo định lí ta có công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{\rm{2}}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 1}}}\\{{u_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ + 1}},n \ge 1}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{1}}}\\{{u_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }} - 3{u_n},n \ge 1}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - 2}\\{{u_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}2{u_n} + 3,n \ge 1}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\frac{\pi }{2}}\\{{u_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\sin \left( {\frac{\pi }{{\pi - 1}}} \right),n \ge 1}\end{array}} \right.\)
Dựa vào định lí ta thấy dãy số\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 1}}}\\{{u_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ + 1}},n \ge 1}\end{array}} \right.\)là cấp số cộng với công sai d = 1.
Đáp án cần chọn là: B
Cho cấp số cộng (un) với \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{2}}\] và \[{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 3}}\]. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng:
5.
−5.
1.
−1.
Ta có:\[{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}} \Leftrightarrow {\rm{d = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}} - {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}} - \left( { - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 5}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào không phải là một cấp số cộng:
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 5}} - {\rm{2n}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{n}}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}} - {\rm{3}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}} - {\rm{3n}}}}{{\rm{5}}}\]
Xét đáp A. Ta có: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = 5}} - {\rm{2}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right){\rm{ = 5}} - {\rm{2n}} - {\rm{2 = 3}} - {\rm{2n}}\]
Xét hiệu: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {{\rm{3}} - {\rm{2n}}} \right) - \left( {{\rm{5}} - {\rm{2n}}} \right){\rm{ = 3}} - {\rm{2n}} - {\rm{5 + 2n = }} - {\rm{2}}\]
Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai d = −2.
Xét đáp B. Ta có:
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{1}}}{\rm{ = 2; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 4 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ = 8 = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 4}}\]
Vậy dãy số không là cấp số cộng.
Xét đáp C. Ta có: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n + 1}}}}{{\rm{2}}} - {\rm{3 = }}\frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} - {\rm{3 = }}\frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}} - \frac{{\rm{5}}}{{\rm{2}}}\]
Xét hiệu: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {\frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}} - \frac{{\rm{5}}}{{\rm{2}}}} \right) - \left( {\frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}} - {\rm{3}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}} - \frac{{\rm{5}}}{{\rm{2}}} - \frac{{\rm{n}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + 3 = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\]
Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai \[{\rm{d = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\]
Xét đáp D. Ta có: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}} - {\rm{3}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right)}}{{\rm{5}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}} - {\rm{3n}} - {\rm{3}}}}{{\rm{5}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{1}} - {\rm{3n}}}}{{\rm{5}}}\] Xét hiệu: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{1}} - {\rm{3n}}}}{{\rm{5}}} - \frac{{{\rm{2}} - {\rm{3n}}}}{{\rm{5}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{1}} - {\rm{3n}} - {\rm{2 + 3n}}}}{{\rm{5}}}{\rm{ = }} - \frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}\]
Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai\[{\rm{d = }} - \frac{3}{5}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho cấp số cộng (un), biết \[{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = }} - {\rm{5, d = 3}}\]. Chọn đáp án đúng.
\[{{\rm{u}}_{{\rm{15}}}}{\rm{ = 34}}\]
\[{{\rm{u}}_{{\rm{15}}}}{\rm{ = 37}}\]
\[{{\rm{u}}_{{\rm{13}}}}{\rm{ = 34}}\]
\[{{\rm{u}}_{{\rm{13}}}}{\rm{ = 37}}\]
\[{{\rm{u}}_{{\rm{13}}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 12d = }} - {\rm{5 + 12}}{\rm{.3 = 31}}\]
\[{{\rm{u}}_{{\rm{15}}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 14d = }} - {\rm{5 + 14}}{\rm{.3 = 37}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = −3. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho bằng:
−115.
−130.
115.
130.
\[{{\rm{S}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}{\rm{.}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 9d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}{\rm{.}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.2 + 9}}{\rm{.}}\left( { - {\rm{3}}} \right)} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }} - {\rm{115}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho cấp số cộng (un), biết \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{5, d = 3}}\]. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?
Số thứ 25.
Số thứ 26.
Số thứ 35.
Số thứ 36.
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}} \Leftrightarrow {\rm{100 = }} - {\rm{5 + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{.3}} \Leftrightarrow \left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{.3 = 105}} \Leftrightarrow {\rm{n}} - {\rm{1 = 35}} \Leftrightarrow {\rm{n = 36}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho cấp số cộng (un)có: \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{1, d = 2, }}{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 483}}\]. Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng?
n = 20.
n = 21.
n = 22.
n = 23.
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow 483 = \frac{{n\left[ {2\left( { - 1} \right) + \left( {n - 1} \right).2} \right]}}{{}} \Leftrightarrow {\rm{2}}\left[ { - {\rm{2 + 2n}} - {\rm{2}}} \right]{\rm{ = 966}}\]
\( \Leftrightarrow {\rm{n}}\left( {{\rm{2n}} - {\rm{4}}} \right){\rm{ = 966}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{4n}} - {\rm{966 = 0}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{n = }} - {\rm{21}}}\\{{\rm{n = 23}}}\end{array}} \right.\)
Vì \[{\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]nên n = 23
Đáp án cần chọn là: D
Cho cấp số cộng có \[{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = }} - {\rm{12,}}{{\rm{u}}_{{\rm{14}}}}{\rm{ = 18}}\]. Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là:
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{20, d = }} - {\rm{3}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{21, d = 3}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{22, d = 3}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{21, d = }} - {\rm{3}}\]
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = }} - {\rm{12}}}\\{{{\rm{u}}_{{\rm{14}}}}{\rm{ = 18}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d = }} - {\rm{12}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 13d = 18}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{21}}}\\{{\rm{d = 3}}}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Tìm công sai của cấp số cộng có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = 14}}}\\{{{\rm{S}}_{{\rm{12}}}}{\rm{ = 129}}}\end{array}} \right.\)
2
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{2}{3}\)
1
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = 14}}}\\{{{\rm{S}}_{{\rm{12}}}}{\rm{ = 129}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{(}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2d) + (}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 4d) = 14}}}\\{\frac{{{\rm{12}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 11d}}} \right]}}{2} = 129}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d = 14}}}\\{{\rm{12}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 11d}}} \right){\rm{ = 258}}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d = 14}}}\\{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 11d = }}\frac{{43}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{5}}}{{\rm{2}}}}\\{d = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Tìm công sai của cấp số cộng sau:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}} - {{\rm{u}}_{\rm{6}}}{\rm{ = }} - {\rm{7}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{8}}} - {{\rm{u}}_{\rm{7}}}{\rm{ = 2}}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}}\end{array}} \right.\)
2.
3.
‒4.
‒5.
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}} - {{\rm{u}}_{\rm{6}}}{\rm{ = }} - {\rm{7}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{8}}} - {{\rm{u}}_{\rm{7}}}{\rm{ = 2}}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}} \right){\rm{ + }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d}}} \right) - \left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 5d}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{7}}}\\{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 7d}}} \right) - \left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d}}} \right){\rm{ = 2}}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d}}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}} - {\rm{d = }} - {\rm{7}}}\\{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 5d = 0}}}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{5}}}\\{{\rm{d = 2}}}\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: A
Xen giữa các số 2 và 22 ba số nào sau đây để được một cấp số cộng có 5 số hạng.
6; 10; 14.
7; 12; 17.
8; 13; 18.
9; 13; 17.
Giả sử cấp số cộng gồm 5 số hạng \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}\].
Theo đề bài ta có \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 2, }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = 22}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 4d}} \Leftrightarrow {\rm{22 = 2 + 4d}} \Leftrightarrow {\rm{4d = 20}} \Leftrightarrow {\rm{d = 5}}\]
Vậy ta cần viết thêm các số: \[{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 2 + 5 = 7; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 7 + 5 = 12; }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = 12 + 5 = 17}}\]Đáp án cần chọn là: B
Cho cấp số cộng (un) biết: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{7}}} - {{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 8}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{{\rm{u}}_{\rm{7}}}{\rm{ = 75}}}\end{array}} \right.\). Chọn đáp án đúng.
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{17}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{17}}\]hoặc \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}}\]
Không tồn tại cấp số cộng thoả mãn.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{7}}} - {{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 8}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{{\rm{u}}_{\rm{7}}}{\rm{ = 75}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d}}} \right) - \left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2d}}} \right){\rm{ = 8}}}\\{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}} \right)\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d}}} \right){\rm{ = 75}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{4d = 8}}}\\{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}} \right)\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d}}} \right){\rm{ = 75}}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{d = 2}}}\\{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}} \right)\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d}}} \right){\rm{ = 75(*)}}}\end{array}} \right.\)
Thế d = 2 vào (*) ta được:
\[\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}} \right)\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6}}{\rm{.2}}} \right){\rm{ = 75}} \Leftrightarrow \left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}} \right)\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 12}}} \right){\rm{ = 75}} \Leftrightarrow {\rm{u}}_1^2{\rm{ + 2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 12}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 24 = 75}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{u}}_1^2{\rm{ + 14}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}} - {\rm{51 = 0}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = }} - 1}\\{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}}}\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: C
Một đa giác lồi có 10 cạnh và các góc trong của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d = 4o . Tìm góc nhỏ nhất của đa giác đó.
26o.
162o.
60o.
126o.
Giả sử các góc của đa giác lồi lập thành cấp số cộng gồm 10 số hạng: \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}...{\rm{, }}{{\rm{u}}_{{\rm{10}}}}\].
Tổng các góc của đa giác lồi có 10 cạnh bằng 1440o
Ta có:
\[{{\rm{S}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 9d}}} \right)}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{1440 = }}\frac{{{\rm{10}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 9}}{\rm{.4}}} \right)}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{10}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 36}}} \right){\rm{ = 2880}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 36 = 288}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 252}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 126}}\]
Vậy góc nhỏ nhất của đa giác đó bằng 126oĐáp án cần chọn là: D
Cho cấp số cộng có \[{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = }} - {\rm{12, }}{{\rm{u}}_{{\rm{14}}}}{\rm{ = 18}}\]. Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên cấp số cộng là?
–26.
‒24.
24.
26.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = - 12}\\{{u_{14}} = 18}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d = }} - {\rm{12}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 13d = 18}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{21}}}\\{{\rm{d = 3}}}\end{array}} \right.\)
\[{{\rm{S}}_{{\rm{16}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{16}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 15d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{16}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.}}\left( { - {\rm{21}}} \right){\rm{ + 15}}{\rm{.3}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 24}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Ông Sơn trồng cây trên một mãnh đất hình tam giác theo quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,…, ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng ông đã trồng hết 11325 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?
148.
150.
152.
154.
Theo đề bài ta có dãy số chỉ số cây trồng mỗi hàng là một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 1.
Ông Sơn đã trồng hết 11325 cây nên ta có:
\[{S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 11325 = \frac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).1} \right]}}{2} \Leftrightarrow n\left( {2 + n - 1} \right) = 22650\]
\( \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 22650 \Leftrightarrow {n^2} + n - 22650 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = - 151\left( L \right)}\\{n = 150\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy có 150 hàng cây được trồng theo cách trên.
Đáp án cần chọn là: B
Cho a, b, c lập thành một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\[{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 2ab}} - {\rm{2bc}}\]
\[{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2ac = 4}}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}\]
\[{{\rm{a}}^{\rm{2}}} - {{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ = ab}} - {\rm{bc}}\]
\[{{\rm{a}}^{\rm{2}}} - {{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 2ab}} - {\rm{2bc}}\]
Vì ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng nên ta có:
\[{\rm{b = }}\frac{{{\rm{a + c}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{a + c = 2b}} \Leftrightarrow {\left( {{\rm{a + c}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ = }}{\left( {{\rm{2b}}} \right)^{\rm{2}}} \Leftrightarrow {{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2ac = 4}}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho miếng giấy hình tam giác ABC. Cắt tam giác này dọc theo ba đường trung bình của nó ta thu được 4 tam giác mới, gọi số tam giác có được là T1. Chọn 1 trong 4 tam giác được tạo thành và cắt nó theo ba đường trung bình, số tam giác vừa nhận được do việc cắt T1 là T2… Lặp lại quá trình này ta nhận được một dãy vô hạn các tam giác \[{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{, }}...{\rm{, }}{{\rm{T}}_{\rm{n}}}{\rm{, }}...\] Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (Tn).
301.
\[{4.3^{99}}\]
15250
\[\frac{{4\left( {{3^{100}} - 1} \right)}}{{99}}\]
Ở lần cắt đầu tiên có \[{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 4}}\] tam giác.
Ở lần cắt thứ hai có \[{{\rm{T}}_1} - 1\] tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ hai có \[{{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{1}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3}}\] tam giác.
Ở lần cắt thứ ba có \[{{\rm{T}}_{\rm{2}}} - 1\] tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ ba có \[{{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{2}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 3}}\] tam giác.
…
Ở lần cắt thứ n có \[{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - 1\] tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ n có \[{{\rm{T}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + 3}}\] tam giác.
Vậy dãy số (Tn) là một cấp số cộng có số hạng đầu \[{{\rm{T}}_{\rm{1}}} = 4\] và công sai d = 3.
Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (Tn) là:
\[{{\rm{S}}_{{\rm{100}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{100}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{100}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{100}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.4 + 99}}{\rm{.3}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 15250}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho bốn số thực a, b, c, d là bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24. Tính \[{\rm{P = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{3}}}\].
P = 79 .
P = 16.
P = 80.
P = 64.
Vì ba số thực a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:
\[{\rm{b = }}\frac{{{\rm{a + c}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{a + c = 2b}} \Leftrightarrow {\rm{c = 2b}} - {\rm{a}}\left( 1 \right)\]
Vì ba số thực b, c, d là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:
\[{\rm{c = }}\frac{{{\rm{b + d}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{b + d = 2c}} \Leftrightarrow {\rm{d = 2c}} - {\rm{b = 2}}\left( {{\rm{2b}} - {\rm{a}}} \right) - {\rm{b = 4b}} - {\rm{2a}} - {\rm{b = 3b}} - {\rm{2a}}\left( {\rm{2}} \right)\]
Tổng của bốn số thực a, b, c, d bằng 4 nên ta có:
\[{\rm{a + b + c + d = 4}} \Leftrightarrow {\rm{a + b + }}\left( {{\rm{2b}} - {\rm{a}}} \right){\rm{ + }}\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2a}}} \right){\rm{ = 4}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{6b}} - {\rm{2a = 4}} \Leftrightarrow {\rm{3b}} - {\rm{a = 2}} \Leftrightarrow {\rm{a = 3b}} - {\rm{2}}\]
Thế a = 3b – 2 vào (1) ta được: \[{\rm{c = 2b}} - \left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 2}} - {\rm{b}}\]
Thế a = 3b – 2 vào (2) ta được: \[{\rm{d = 3b}} - {\rm{2}}\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 3b}} - {\rm{6b + 4 = 4}} - {\rm{3b}}\]
Tổng các bình phương của bốn số thực a, b, c, d bằng 24 nên ta có:
\[{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 24}} \Leftrightarrow {\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{\left( {{\rm{2}} - {\rm{b}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{\left( {{\rm{4}} - {\rm{3b}}} \right)^2}{\rm{ = }}24\]
\[ \Leftrightarrow 9{b^2} - 12b + 4 + {b^2} + 4 - 4b + {b^2} + 16 - 24b + 9{b^2}{\rm{ = }}24\]
\[ \Leftrightarrow 20{b^2} - 40b\,{\rm{ = }}0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{b = 0}}}\\{{\rm{b = 2}}}\end{array}} \right.\]
Với b = 0 ta có: \[{\rm{a = 3}}{\rm{.0}} - {\rm{2 = }} - {\rm{2; c = 2}} - {\rm{0 = 2; d = 4}} - {\rm{3}}{\rm{.0 = 4}}\]
Vậy \[{\rm{P = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{3}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{2}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{4}}^{\rm{3}}}{\rm{ = 64}}\]
Với b = 2 ta có: \[{\rm{a = 3}}{\rm{.2}} - {\rm{2 = 4; c = 2}} - {\rm{2 = 0; d = 4}} - {\rm{3}}{\rm{.2 = }} - {\rm{2}}\]
Vậy\[{\rm{P = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{3}}}{\rm{ = }}{{\rm{4}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{\left( { - {\rm{2}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ = 64}}\]
Đáp án cần chọn là: D
