Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1: Góc lượng giác có đáp án

Ta có:

$0°=\frac{\pi .0°}{180°}=0$rad;

$\frac{\pi }{6}$ rad = ${\left(\frac{180.\frac{\pi }{6}}{\pi }\right)}^{\text{ο}}=30°$;

$45°=\frac{\pi .45°}{180°}=\frac{\pi }{4}$rad;

$60°=\frac{\pi .60°}{180°}=\frac{\pi }{3}$rad;

$\frac{\pi }{2}$ rad = ${\left(\frac{180.\frac{\pi }{2}}{\pi }\right)}^{\text{ο}}=90°$;

$120°=\frac{\pi .120°}{180°}=\frac{2\pi }{3}$rad;

$\frac{3\pi }{4}$ rad = ${\left(\frac{180.\frac{3\pi }{4}}{\pi }\right)}^{\text{ο}}=135°$;

$150°=\frac{\pi .150°}{180°}=\frac{5\pi }{6}$rad;

$180°=\frac{\pi .180°}{180°}=\pi$rad.

Ta có hình vẽ:

a) Ta có: Số đo góc lượng giác (OA, OB) bằng 90°.

a) Ta có: – 1 485° =  – 45° + ( – 4).360°.

Biểu diễn góc trên đường tròn lượng giác ta được:

b) Ta có: $\frac{19\pi }{4}=2\pi +\frac{3\pi }{4}$

Biểu diễn góc trên đường tròn lượng giác ta được:

a) Ta có: 38° = $\frac{\pi .38}{180}=\frac{19\pi }{90}$ rad;

b) – 115° = $\frac{\pi .\left(-115\right)}{180}=-\frac{23\pi }{36}$ rad;

a) Ta có: $\frac{\pi }{12}$ rad = $\frac{\frac{\pi }{12}.180}{\pi }=15°$.

b) Ta có: – 5 rad = $\frac{5.180}{\pi }={\left(\frac{900}{\pi }\right)}^o$;

c) Ta có: $\frac{13\pi }{9}$rad = $\frac{\frac{13\pi }{9}.180}{\pi }=26°$.

b) Ta có: $\frac{13\pi }{4}=2\pi +\pi +\frac{\pi }{4}$

Biểu diễn góc này trên đường tròn lượng giác ta được:

c) Ta có: – 765° = (– 2).360° – 45°

Biểu diễn góc này trên đường tròn lượng giác ta được:

Hai góc lượng giác α và β có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác khi tồn tại số nguyên k khác 0 thỏa mãn: α = k.2π + β

Ta có:

$\frac{31\pi }{7}=k2\pi +\frac{3\pi }{7}\iff k=2$ (thỏa mãn) nên có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác $\frac{3\pi }{7};$

$\frac{31\pi }{7}=k.2\pi +\frac{10\pi }{7}\iff k=\frac{3}{2}\notin \mathbb{Z}$ (không thỏa mãn) nên không có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác $\frac{10\pi }{7};$

$\frac{31\pi }{7}=k.2\pi +\left(-\frac{25\pi }{7}\right)\iff k=4$(thỏa mãn) nên có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác $\frac{-25\pi }{7}.$

Công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, OM) là:

(OA, OM) = 120° + k360° (k ∈ ℤ).

Công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, ON) là:

(OA, ON) = – 75° + k360° (k ∈ ℤ).

Vậy công thức số đo tổng quát của góc lượng giác(Ox, ON) là: –99° + k.360° (k ∈ ℤ).

a) Với k = 0 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{\pi }{2}$, được biểu diễn bởi điểm M;

Với k = 1 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{3\pi }{2}$, được biểu diễn bởi điểm N;

Với k = 2 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{\pi }{2}+2\pi$nên cũng được biểu diễn bởi điểm M;

Với k = 3 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{\pi }{2}+3\pi =\frac{3\pi }{2}+2\pi$ nên cũng được biểu diễn bởi điểm N.

Vậy với k chẵn thì các góc lượng giác có số đo dạng $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ được biểu diễn bởi điểm M, với k lẻ thì các góc lượng giác có số đo dạng $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ được biểu diễn bởi điểm N khi đó ta có hình vẽ sau:

b) Với k = 0 thì có góc lượng giác có số đo góc là 0, được biểu diễn bởi điểm A;

Với k = 1 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{\pi }{4}$, được biểu diễn bởi điểm M;

Với k = 2 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ được biểu diễn bởi điểm B;

Với k = 3 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{3\pi }{4}$ được biểu diễn bởi điểm N;

Với k = 4 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{4\pi }{4}=\pi$ được biểu diễn bởi điểm A’;

Với k = 5 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{5\pi }{4}$ được biểu diễn bởi điểm M’;

Với k = 6 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$ được biểu diễn bởi điểm B’;

Với k = 7 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{7\pi }{4}$ được biểu diễn bởi điểm N’;

Với k = 8 thì có góc lượng giác có số đo góc là $\frac{8\pi }{4}=2\pi +0$ nên được biểu diễn bởi điểm A;

Vậy các góc lượng giác có số đo dạng $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ được biểu diễn bởi các điểm A, M, B, N, A’, M’, B’, N’.  Khi đó ta có hình vẽ sau:

+) Xét các góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ 

Với k chẵn ta có các góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ được biểu diễn bởi điểm B;

Với k lẻ ta có các góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ được biểu diễn bởi điểm B’(0; – 1).

Vì vậy các điểm B, C, D không thể biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

+) Xét các góc lượng giác có số đo $\frac{-\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Với k = 0 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{-\pi }{6}$ được biểu diễn bởi điểm D.

Với k = 1 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{-\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$ được biểu diễn bởi điểm B.

Với k = 2 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{-\pi }{6}+2.\frac{2\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}$ được biểu diễn bởi điểm C.

Với k = 3 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{-\pi }{6}+3.\frac{2\pi }{3}=\frac{-\pi }{6}+2\pi$ được biểu diễn bởi điểm D.

Vì vậy các góc lượng giác có số đo $\frac{-\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ được biểu diễn bởi các điểm B, C, D.

+) Xét các góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Với k = 0 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}$ được biểu diễn bởi điểm B.

Với k = 1 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}$ được biểu diễn bởi điểm M.

Với k = 2 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}+2\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}$ được biểu diễn bởi điểm C.

Với k = 3 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}+3\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}$ được biểu diễn bởi điểm B’.

Với k = 4 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}+4\frac{\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}+2\pi$ được biểu diễn bởi điểm D.

Với k = 5 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}+5\frac{\pi }{3}=\frac{13\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+2\pi$ được biểu diễn bởi điểm N.

Với k = 6 ta có góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{2}+6\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2\pi$ được biểu diễn bởi điểm B.

Ví vậy các điểm B, C, D không thể biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là  $\frac{\pi }{2}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có: $\alpha ={\left(\frac{1}{60}\right)}^o=\frac{\pi .\frac{1}{60}}{180}=\frac{\pi }{10800}$ rad.

Độ dài cung chắn góc α là: α.R = $\frac{\pi }{10800}.6371\approx 1,85$ km.

Vậy 1 hải lí bằng 1,85 km.