Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1: Góc lượng giác có đáp án

Sau bài học này ta sẽ trả lời được như sau:

Các chuyển động này có:

+) Điểm chung là: Đều chuyển động quay từ điểm A đến điểm B.

+) Điểm khác là: Góc lượng giác.

a) Vì cứ mỗi giây, bánh lái quay một góc 60° nên tương ứng ta có:

Với t = 1 (giây) thì α = 60°;

Với t = 2 (giây) thì α = 2.60° = 120°;

Với t = 3 (giây) thì α = 3.60° = 180°;

Với t = 4 (giây) thì α = 4.60° = 240°;

Với t = 5 (giây) thì α = 5.60° = 300°;

Với t = 6 (giây) thì α = 6.60° = 360°;

Khi đó ta có bảng:

Thời gian t (giây)	1	2	3	4	5	6
Góc quay α	60°	120°	180°	240°	300°	360°

b) Vì cứ mỗi giây, bánh lái quay một góc – 60° nên tương ứng ta có:

Với t = 1 (giây) thì α = – 60°;

Với t = 2 (giây) thì α = 2.(– 60°) = – 120°;

Với t = 3 (giây) thì α = 3.(– 60°) = – 180°;

Với t = 4 (giây) thì α = 4.(– 60°) = – 240°;

Với t = 5 (giây) thì α = 5.(– 60°) = – 300°;

Với t = 6 (giây) thì α = 6.(– 60°) = – 360°;

Khi đó ta có bảng:

Thời gian t (giây)	1	2	3	4	5	6
Góc quay α	– 60°	– 120°	– 180°	– 240°	– 300°	– 360°

Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6a là 60°.

Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6b là 2.360° + 60° = 780°.

Số đo góc lượng giác (OM, ON) trong Hình 6c là – (360° – 60°) = –300°.

Từ 0 giờ đến 2 giờ, kim phút quay được 2 vòng tròn tương ứng với quét một góc: 2.360° = 720°.

Còn 15 phút còn lại kim phút quay quét thêm một góc lượng giác là: 90°.

Vì vậy từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác: 720° + 90° = 810°.

a) Số đo của góc lượng giác (Oa, Ob) có tia đầu là Oa và tia cuối là Ob là 135°.

Số đo của góc lượng giác (Ob, Oc) có tia đầu là Ob và tia cuối là Oc là – 80°.

Ta có: aOc^=aOb^−bOc^=135°−80°=55°.

Khi đó số đo của góc lượng giác (Oa, Oc) có tia đầu là Oa và tia cuối là Oc là 55° + 360° = 415°.

b) Ta có: 135° + (– 80°) = 415° – 360°.

Vậy (Oa, Ob) + (Ob, Oc) = (Oa, Oc) – 360°.

Chiếc quạt có ba cạnh được phân bố đều nhau nên MON^=NOP^=POM^=120°.

+) Với ba tia OM, Ox và ON, ta có:

(Ox, OM) + (OM, ON) = (Ox, ON) + k₁360° (k₁ ∈ ℤ)

⇒ (Ox, ON) = (Ox, OM) + (OM, ON) – k₁360°

⇒ (Ox, ON) = 120° + (– 50°) –  k₁360°

⇒ (Ox, ON) = 70° – k₁360°.

+) Với ba tia Ox, ON, OP, ta có:

(Ox, ON) + (ON, OP) = (Ox, OP) + k₂360° (k₂ ∈ ℤ)

⇒ (Ox, OP) = (Ox, ON) + (ON, OP) – k₂360°

⇒ (Ox, OP) = 70° – k₁360° + 120° – k₂360°

⇒ (Ox, OP) = 190° – (k₁ + k₂) 360°

⇒ (Ox, OP) = 190° – k 360° (với k = k₁ + k₂).

Tiến hành đo góc AOB^ ta được AOB^=58°.

Ta có:

0°=π.0°180°=0rad;

π6 rad = 180.π6πο=30°;

45°=π.45°180°=π4rad;

60°=π.60°180°=π3rad;

π2 rad = 180.π2πο=90°;

120°=π.120°180°=2π3rad;

3π4 rad = 180.3π4πο=135°;

150°=π.150°180°=5π6rad;

180°=π.180°180°=πrad.

Số đo theo độ	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
Số đo theo rad	0 rad	π6 rad	π4 rad	π3 rad	π2 rad	2π3 rad	3π4rad	5π6rad	π rad

Ta có hình vẽ:

a) Ta có: Số đo góc lượng giác (OA, OB) bằng 90°.

b) Điểm A’ là điểm nằm trên đường tròn lượng giác thỏa mãn (OA, OA’) bằng π. Khi đó ta có hình vẽ:

Điểm B’ là điểm nằm trên đường tròn lượng giác thỏa mãn (OA, OB’) bằng −π2. Khi đó ta có hình vẽ:

a) Ta có: – 1 485° =  – 45° + ( – 4).360°.

Biểu diễn góc trên đường tròn lượng giác ta được:

b) Ta có: 19π4=2π+3π4

Biểu diễn góc trên đường tròn lượng giác ta được:

a) Ta có: 38° = π.38180=19π90 rad;

b) – 115° = π.−115180=−23π36 rad;

c) 3πο=π.3π180=160 rad.

a) Ta có: π12 rad = π12.180π=15°.

b) Ta có: – 5 rad = 5.180π=900πο;

c) Ta có: 13π9rad = 13π9.180π=26°.

a) Ta có: −17π3=−2.2π−π−2π3

Vì vậy điểm biếu diễn góc lượng giác có số đo −17π3 là điểm nằm trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ I sao cho A'OM^=−2π3 hay A'OM^=120°.

Biểu diễn góc này trên đường tròn lượng giác ta được:

b) Ta có: 13π4=2π+π+π4

Biểu diễn góc này trên đường tròn lượng giác ta được:

c) Ta có: – 765° = (– 2).360° – 45°

Biểu diễn góc này trên đường tròn lượng giác ta được:

Hai góc lượng giác α và β có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác khi tồn tại số nguyên k khác 0 thỏa mãn: α = k.2π + β

Ta có:

31π7=k2π+3π7⇔k=2 (thỏa mãn) nên có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác 3π7;

31π7=k.2π+10π7⇔k=32∉ℤ (không thỏa mãn) nên không có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác 10π7;

31π7=k.2π+−25π7⇔k=4(thỏa mãn) nên có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác −25π7.

Công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, OM) là:

(OA, OM) = 120° + k360° (k ∈ ℤ).

Công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, ON) là:

(OA, ON) = – 75° + k360° (k ∈ ℤ).

Vì bánh ô tô được chia làm 5 phần đều nhau nên mỗi phần sẽ có số đo góc là: 360° : 5 = 72°. Góc MON chiếm 2 phần nên có số đo góc là 2.72° = 144°.

Khi đó xON^=MON^−xOM^=144°−45°=99°.

Vậy công thức số đo tổng quát của góc lượng giác(Ox, ON) là: –99° + k.360° (k ∈ ℤ).

a) Với k = 0 thì có góc lượng giác có số đo góc là π2, được biểu diễn bởi điểm M;

Với k = 1 thì có góc lượng giác có số đo góc là π2+π=3π2, được biểu diễn bởi điểm N;

Với k = 2 thì có góc lượng giác có số đo góc là π2+2πnên cũng được biểu diễn bởi điểm M;

Với k = 3 thì có góc lượng giác có số đo góc là π2+3π=3π2+2π nên cũng được biểu diễn bởi điểm N.

Vậy với k chẵn thì các góc lượng giác có số đo dạng π2+kπk∈ℤ được biểu diễn bởi điểm M, với k lẻ thì các góc lượng giác có số đo dạng π2+kπk∈ℤ được biểu diễn bởi điểm N khi đó ta có hình vẽ sau:

b) Với k = 0 thì có góc lượng giác có số đo góc là 0, được biểu diễn bởi điểm A;

Với k = 1 thì có góc lượng giác có số đo góc là π4, được biểu diễn bởi điểm M;

Với k = 2 thì có góc lượng giác có số đo góc là 2π4=π2 được biểu diễn bởi điểm B;

Với k = 3 thì có góc lượng giác có số đo góc là 3π4 được biểu diễn bởi điểm N;

Với k = 4 thì có góc lượng giác có số đo góc là 4π4=π được biểu diễn bởi điểm A’;

Với k = 5 thì có góc lượng giác có số đo góc là 5π4 được biểu diễn bởi điểm M’;

Với k = 6 thì có góc lượng giác có số đo góc là 6π4=3π2 được biểu diễn bởi điểm B’;

Với k = 7 thì có góc lượng giác có số đo góc là 7π4 được biểu diễn bởi điểm N’;

Với k = 8 thì có góc lượng giác có số đo góc là 8π4=2π+0 nên được biểu diễn bởi điểm A;

Vậy các góc lượng giác có số đo dạng π2+kπk∈ℤ được biểu diễn bởi các điểm A, M, B, N, A’, M’, B’, N’.  Khi đó ta có hình vẽ sau:

+) Xét các góc lượng giác có số đo π2+kπk∈ℤ 

Với k chẵn ta có các góc lượng giác có số đo π2+kπk∈ℤ được biểu diễn bởi điểm B;

Với k lẻ ta có các góc lượng giác có số đo π2+kπk∈ℤ được biểu diễn bởi điểm B’(0; – 1).

Vì vậy các điểm B, C, D không thể biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo π2+kπk∈ℤ.

+) Xét các góc lượng giác có số đo −π6+k2π3k∈ℤ

Với k = 0 ta có góc lượng giác có số đo −π6 được biểu diễn bởi điểm D.

Với k = 1 ta có góc lượng giác có số đo −π6+2π3=π2 được biểu diễn bởi điểm B.

Với k = 2 ta có góc lượng giác có số đo −π6+2.2π3=7π6 được biểu diễn bởi điểm C.

Với k = 3 ta có góc lượng giác có số đo −π6+3.2π3=−π6+2π được biểu diễn bởi điểm D.

Vì vậy các góc lượng giác có số đo −π6+k2π3k∈ℤ được biểu diễn bởi các điểm B, C, D.

+) Xét các góc lượng giác có số đo π2+kπ3k∈ℤ

Với k = 0 ta có góc lượng giác có số đo π2 được biểu diễn bởi điểm B.

Với k = 1 ta có góc lượng giác có số đo π2+π3=5π6 được biểu diễn bởi điểm M.

Với k = 2 ta có góc lượng giác có số đo π2+2π3=7π6 được biểu diễn bởi điểm C.

Với k = 3 ta có góc lượng giác có số đo π2+3π3=3π2 được biểu diễn bởi điểm B’.

Với k = 4 ta có góc lượng giác có số đo π2+4π3=11π6=−π6+2π được biểu diễn bởi điểm D.

Với k = 5 ta có góc lượng giác có số đo π2+5π3=13π6=π6+2π được biểu diễn bởi điểm N.

Với k = 6 ta có góc lượng giác có số đo π2+6π3=π2+2π được biểu diễn bởi điểm B.

Ví vậy các điểm B, C, D không thể biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là  π2+kπ3k∈ℤ.

Ta có: α=160ο=π.160180=π10  800 rad.

Độ dài cung chắn góc α là: α.R = π10  800.6  371≈1,85 km.

Vậy 1 hải lí bằng 1,85 km.