Giải SGK Toán 11 CD Bài 1. Định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Đại lượng biểu thị tốc độ nhanh chậm của chuyển động tại một thời điểm là v(x₀), là đạo hàm của hàm số theo thời gian biểu thị quỹ đạo chuyển động của tên lửa.

Ta có vận tốc tức thời tại thời điểm x₀ của viên bi là vx0=limx1→x0fx1−f x0x1−x0 với fx=12gx2.

Vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm x₀ =1 (s) là:

vx0=v1=limx1→1fx1−f 1x1−1=limx1→112gx12−12g⋅12x1−1

=limx1→112gx12−1x1−1=limx1→112gx1−1x1+1x1−1

=limx1→112gx1+1=12g1+1=g≈9,8 (m/s).

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có: Δy=f2+Δx–f2 =12+Δx−12

=22⋅2+Δx−2+Δx2⋅2+Δx=−Δx2⋅2+Δx

Suy ra ΔyΔx=−Δx22+ΔxΔx=−122+Δx

⦁ Ta thấy limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0−122+Δx=−122+0=−14.

Vậy f'2 = −14.

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)³ – x³

              = x³ + 3x²∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³ – x³

              = 3x²∆x + 3x(∆x)² + (∆x)³

              = ∆x[3x² + 3x∆x + (∆x)²]

Suy ra ΔyΔx=Δx3x2+3xΔx+Δx2Δx=3x2+3xΔx+Δx2.

⦁ Ta thấy limΔx→0ΔyΔx=limΔx→03x2+3x⋅Δx+Δx2=3x2+3Δx⋅0+02=3x2. 

Vậy f’(x) = 3x².

a) Từ M₀(x₀; y₀) và M(x_M; y_M) ta có M0M→=xM−x0;yM−y0

Đường cát tuyến M₀M nhận M0M→=xM−x0;yM−y0 làm vectơ chỉ phương nên có hệ số góc là kM=yM−y0xM−x0=fxM−fx0xM−x0

Khi đó k0=limxM→x0kM=limxM→x0fxM−fx0xM−x0=f'x0.

Vậy k₀ = f’(x₀).

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M₀(x₀; y₀) có hệ số góc k₀ = f’(x₀) là: y = k₀(x – x₀) + y₀ hay y = f’(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là:

f'1=limx→1fx−f1x−1=limx→11x−11x−1=limx→11x−1x−1

=limx→11−xxx−1=limx→1−1x=−11=−1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm N(1; 1) là: y = –1(x – 1) + 1 hay y = –x + 2.

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 1.

Ta có ∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = 3(1 + ∆x)³ – 1 – (3.1³ – 1)

              = 3 + 9∆x + 9.(∆x)² + 3(∆x)³ – 1 – 2

              = 9∆x + 9.(∆x)² + 3(∆x)³

              = ∆x[9 + 9∆x + 3(∆x)²].

Suy ra ΔyΔx=Δx9+9Δx+3Δx2Δx=9+9Δx+3Δx2.

⦁ Ta thấy limΔx→0ΔyΔx=limΔx→09+9Δx+3Δx2=9+9⋅0+3⋅02=9.

a) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là:

f'2=limx→2fx−f2x−2=limx→2−2x2+x−−2⋅22+2x−2

=limx→2−2x2+x+6x−2=limx→2−x−22x+3x−2

=limx→2−2x+3=−2⋅2+3=−7.

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là f’(x) = –7.

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; – 6) là: y = –7(x – 2) – 6 hay y = –7x + 8.

a) Xét ∆Q là số gia của biến số tại điểm Q.

Ta có ∆C = C(Q + ∆Q) – C(Q)

               = (Q + ∆Q)² + 80(Q + ∆Q) + 3 500 – Q² – 80Q – 3 500

               = (∆Q)² + 2Q. ∆Q + 80∆Q.

               = ∆Q(∆Q + 2Q + 80).

Suy ra ΔCΔQ=ΔQΔQ+2Q+80ΔQ=ΔQ+2Q+80.

Ta thấy limΔQ→0ΔCΔQ=limΔQ→0ΔQ+2Q+80=2Q+80.

Vậy hàm chi phí biên là: C’(Q) = 2Q + 80 (USD).

b) Ta có C’(90) = 2 . 90 + 80 = 260 (USD).

Ý nghĩa: Để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 90 lên 91 sản phẩm cần chi phí biên (chi phí gia tăng) là 260 (USD).