20 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 là f'(x0). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) + f\left( {{x_0}} \right)}}{{x + {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x + {x_0}}}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) + f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
B
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t). Cường độ trung bình trong khoảng thời gian |t – t0| được xác định bởi công thức \(\frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\). Cường độ tức thời tại thời điểm t0 là:
\(\frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\).
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q'\left( t \right) - Q'\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\].
D
\[Q'\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\].
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là
f(x0).
f'(x0).
x0.
−f'(x0).
B
Hệ số góc của tiếp tuyến là f'(x0).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là
y = f(x0)(x – x0) + f(x0).
y = f'(x0)(x + x0) + f(x0).
y = f'(x0)(x – x0) + f(x0).
y = f'(x0)(x – x0) − f(x0).
C
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là
y = f'(x0)(x – x0) + f(x0).
Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là:
f'(t0).
f(t0) – f'(t0).
f(t0).
−f'(t0).
A
Vận tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là: f'(t0).
Đạo hàm nào được mô tả bằng biểu thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\ln x - 1}}{{x - e}}\).
f'(e) với f(x) = lnx.
f'(e) với \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\).
f'(1) với f(x) = lnx.
f'(0) với f(x) = ln(x + 1).
A
\(f'\left( e \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\ln x - \ln e}}{{x - e}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\ln x - 1}}{{x - e}}\).
Cho hàm số f(x) = x3 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; 8) có hệ số góc bằng
8.
12.
2.
−12.
B
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là
\(f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - {2^3}}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 12\).
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(6) = 2. Giá trị của biểu thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}}\) bằng
12.
2.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
B
\(f'\left( 6 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}} = 2\).
Cho hàm số f(x) = 2x3 + 1. Giá trị f'(−1) bằng
−6.
−2.
3.
6.
D
Ta có \(f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^3} + 1 + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left[ {2\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \right] = 6\).
Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 + 3x2 – 2 tại điểm có hoành độ x0 = 2 là
y = 24x + 30.
y = 9x – 7.
y = 24x – 30.
y = 9x + 7.
C
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 là
\(f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} + 3{x^2} - 20}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 5x + 10} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 5x + 10} \right) = 24\).
Có f(2) = 18
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = 24(x – 2) + 18 = 24x – 30.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số f(x) = x3 – 2x có đồ thị (C).
a) Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là k = f'(x0).
b) \(f'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 2\).
c) f'(2) = 14.
d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4) là y = 10x + 16.
a) Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là k = f'(x0).
b) \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - 2x - x_0^3 + 2{x_0}}}{{x - {x_0}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 - 2} \right) = 3x_0^2 - 2\).
c) f'(2) = 3.22 – 2 = 10.
d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4) là y = 10(x – 2) + 4 = 10x – 16.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Một vật chuyển động xác định bởi phương trình s(t) = −t2 + 6t + 9, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét.
a) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t > 0 là v(t) = s'(t) m/s.
b) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t > 0 bằng v(t) = −2t + 9 m/s.
c) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2 giây bằng 5 m/s.
d) Vật dừng lại sau khi đi được 3 giây.
a) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t > 0 là v(t) = s'(t) m/s.
b) Ta có \(\Delta s = s\left( {t + \Delta t} \right) - s\left( t \right) = - {\left( {t + \Delta t} \right)^2} + 6\left( {t + \Delta t} \right) + 9 - \left( { - {t^2} + 6t + 9} \right)\) = (∆t)2 – 2t∆t + 6∆t.
Suy ra \[s'\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{{\left( {\Delta t} \right)}^2} - 2t\Delta t + 6\Delta t}}{{\Delta t}}\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {\Delta t - 2t + 6} \right) = - 2t + 6\].
c) v(2) = s'(2) = −2.2 + 6 = 2 m/s.
d) Vật dừng lại khi v(t) = 0 Û −2t + 6 = 0 Û t = 3 giây.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số f(x) = x2 – 3x có đồ thị (C).
a) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\).
b) Hệ số góc tiếp tuyến (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1 là f'(1).
c) f'(1) = 5.
d) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1 có phương trình là y = −x + 2.
a) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\).
b) Hệ số góc tiếp tuyến (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1 là f'(1).
c) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 2} \right) = - 1\).
d) Có f(1) = −2.
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1 có phương trình là
y = −(x – 1) −2 = −x – 1.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2 + 3x tại điểm x0 = 1.
a) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\).
b) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x - 1}}\).
c) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 4} \right)\).
d) f'(1) = a Þ a > 6.
a) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\).
b) f(1) = 4.
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x - 1}}\).
c) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 4} \right) = 5\).
d) f'(1) = 5 < 6.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) tại điểm \({x_0} = 0\) ta được \(f'\left( 0 \right) = a\). Khi đó:
a) \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\).
b) \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4}{{x + 1}}\).
c) Phương trình \({3^x} = 3\) có nghiệm bằng \(x = a - 2\).
d) \({\log _a}9 = 3\).
a) b) Ta có: \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{x - 2}}{{x + 1}} - \left( { - 2} \right)}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{{x + 1}} = 3\).
Vậy \(f'\left( 0 \right) = 3\).
c) Ta có 3x = 3Û x = 1 = 3 – 2.
d) log39 = 2.
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của toàn nhà cao 313,6 m xuống mặt đất, với phương trình chuyển động s(t) = 4,9t2. Tính vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất, bỏ qua sức cản không khí (đơn vị m/s).
Thời gian để bóng chạm đất là nghiệm của phương trình:
4,9t2 = 313,6 Û t = 8 (vì t > 0).
Ta có v(t) = s'(t) \( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{s\left( {t + \Delta t} \right) - s\left( t \right)}}{{\Delta t}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{4,9{{\left( {t + \Delta t} \right)}^2} - 4,9{t^2}}}{{\Delta t}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{{{\left( {\Delta t} \right)}^2} + 9,8t.\Delta t}}{{\Delta t}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {\Delta t + 9,8t} \right) = 9,8t\).
Vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là v(8) = 9,8.8 = 78,4 m/s.
Trả lời: 78,4.
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 2x tại điểm x0 = −1.
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x0 = −1 là:
\(f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} - 2x - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x - 1} \right) = 1\).
Trả lời: 1.
Một bể chứa ban đầu chứa 5000 lít nước, do lâu ngày sử dụng nên bể bị hỏng và làm nước chảy ra từ đáy bể trong 40 phút. Theo định luật Torricelli cho biết thể tích V của nước còn lại trong bể sau t phút tính theo công thức \(V = 5000{\left( {1 - \frac{1}{{40}}t} \right)^2},0 \le t \le 40\). Biết lưu lượng nước chảy \(Q = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta V}}{{\Delta t}}\). Tính lưu lượng nước chảy sau 5 phút (đơn vị lít/phút) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Ta có \(V = 5000{\left( {1 - \frac{1}{{40}}t} \right)^2} = 5000\left( {1 - \frac{1}{{20}}t + \frac{1}{{1600}}{t^2}} \right)\).
Ta có \(\Delta V = V\left( {t + \Delta t} \right) - V\left( t \right) = 5000\left[ {\left( {1 - \frac{1}{{20}}\left( {t + \Delta t} \right)} \right) + \frac{1}{{1600}}{{\left( {t + \Delta t} \right)}^2} - \left( {1 - \frac{1}{{20}}t + \frac{1}{{1600}}{t^2}} \right)} \right]\)
\( = 5000\left[ { - \frac{1}{{20}}\Delta t + \frac{1}{{1600}}\Delta t\left( {2t + \Delta t} \right)} \right]\).
Suy ra \(\frac{{\Delta V}}{{\Delta t}} = 5000\left[ { - \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{1600}}\left( {2t + \Delta t} \right)} \right]\).
Khi đó \(Q = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta V}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left[ {5000\left( { - \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{1600}}\left( {2t + \Delta t} \right)} \right)} \right] = - 250 + \frac{{25}}{4}t\).
Khi đó lưu lượng nước chảy sau 5 phút là \( - 250 + \frac{{25}}{4}.5 \approx - 219\) lít/ phút.
Trả lời: −219.
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = 2{x^3} + 1\) tại \({x_0} = 2\).
\({\rm{ Ta c\'o }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^3} - 16}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 24.\)
Vậy \({\rm{ }}f'\left( 2 \right) = 24.{\rm{ }}\)
Trả lời: 24.
Cho hàm sốf(x) = −x2. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm A(1; −1) có dạng y = ax + b. Tìm a + b.
Hệ số góc của tiếp tuyến là \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - {x^2} + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( { - x - 1} \right) = - 2\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2(x −1) – 1 = −2x + 1.
Suy ra a = −2; b = 1. Do đó a + b = −1.
Trả lời: −1.
