10 Bài tập Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng) (Có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 3.

Ta có ∆y = f(3 + ∆x) – f(3)

= 3(3 + ∆x)² + 2(3 + ∆x) – 1 – (3 ∙ 3² + 2 ∙ 3 – 1)

= 27 + 18∆x + 3(∆x)² + 6 + 2∆x – 33

= 3(∆x)² + 20∆x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 1.

Ta có ∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = $\frac{{\left(1+\Delta \text{x}\right)}^3-1}{\left(\text{1 + }\Delta \text{x}\right)+2}-0=\frac{{\left(\Delta x\right)}^3+3\Delta x+3{\left(\Delta x\right)}^2}{3+\Delta \text{x}}$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{{\left(\Delta \text{x}\right)}^2+3+3\Delta \text{x}}{\Delta \text{x}+3}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{\Delta \text{x}\to 0}{\lim }\frac{{\left(\Delta \text{x}\right)}^2+3+3\Delta \text{x}}{\Delta \text{x}+3}=1$.

Vậy f'(1) = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 3.

Ta có ∆y = f(3 + ∆x) – f(3) = $\sqrt{3+\Delta \text{x}-2}-1=\sqrt{1+\Delta \text{x}}-1$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\sqrt{1+\Delta \text{x}}-1}{\Delta \text{x}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = $\frac{\text{π}}{\text{2}}$.

Ta có ∆y = f($\frac{\text{π}}{\text{2}}$+ ∆x) – f($\frac{\text{π}}{\text{2}}$) = sin ($\frac{\text{π}}{\text{2}}$+ ∆x) – 1 = cos (∆x) – 1.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\cos \left(\Delta \text{x}\right)-1}{\text{Δx}}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{\Delta \text{x}\to 0}{\lim }\frac{\cos \left(\Delta \text{x}\right)-1}{\text{Δx}}=0$.

Vậy f'($\frac{\text{π}}{\text{2}}$) = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 3.

Ta có ∆y = f(3 + ∆x) – f(3) = $\sqrt{3+\text{Δx}}-\sqrt{3}$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\sqrt{3+\Delta \text{x}}-\sqrt{3}}{\text{Δx}}=\frac{\Delta \text{x}}{\text{Δx}\left(\sqrt{3+\Delta \text{x}}+\sqrt{3}\right)}=\frac{1}{\sqrt{3+\Delta \text{x}}+\sqrt{3}}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{\Delta \text{x}\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{3+\Delta \text{x}}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Vậy f'(3) = $\frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có ∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = (2 + ∆x)⁴ – 5 – 11 = (∆x)⁴ + 8(∆x)³ + 24(∆x)² + 32∆x.        

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{{\left(\text{Δx}\right)}^4+8{\left(\text{Δx}\right)}^3+24{\left(\text{Δx}\right)}^2+32\text{Δx}}{\text{Δx}}={\left(\text{Δx}\right)}^3+8{\left(\text{Δx}\right)}^2+24\text{Δx}+32$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{\Delta \text{x}\to 0}{\lim }{\left(\text{Δx}\right)}^3+8{\left(\text{Δx}\right)}^2+24\text{Δx}+32=32$.

Vậy f'(2) = 32.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 10.

Ta có ∆y = f(10 + ∆x) – f(10) = $\sqrt{\text{Δx + 9}}-3$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\sqrt{\Delta \text{x + 9}}-3}{\text{Δx}}=\frac{\Delta \text{x}}{\text{Δx}\left(\sqrt{\Delta \text{x + 9}}+3\right)}=\frac{1}{\sqrt{\Delta \text{x + 9}}+3}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{\Delta \text{x}\to 0}{\lim }=\frac{1}{\sqrt{\Delta \text{x + 9}}+3}=\frac{1}{6}$.

Vậy f'(10) = .