Giải SBT Toán lớp 11 – KNTT – Tập 1 Bài 16. Giới hạn của hàm số có đáp án

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }x=1$  và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }1=1$ .

Vậy $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$ nên hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1.

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4x+1-3^2}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}=\frac{2}{3}$

Vì $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=0,\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=2-3=-1<0$ và x – 2 > 0 khi x → 2⁺, nên $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}=-\infty$

Vậy .$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{{\left(x-2\right)}^2}=-\infty$

d) $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x}$

Vì ,$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+x-2\right)=0+0-2=-2<0$  và x < 0 nên $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x}=+\infty$.

Ta có $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x^2+ax\right)=3^2+3a=9+3a$ ; 

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(3x^2+1\right)={3.3}^2+1=28$.

Do đó, hàm số f(x) có giới hạn khi x → 3 khi $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)$, tức là 9 + 3a = 28.

Suy ra $a=\frac{19}{3}$. 

Vì x = 1 là nghiệm của đa thức x² – 3x + 1 nên đa thức 2x² – ax + 1 phải có nghiệm x = 1. Khi đó, 2 . 1² – a . 1 + 1 = 0, suy ra a = 3.

Do đó,  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-ax+1}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-3x+1}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}$.

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=\frac{2.1-1}{1-2}=-1$

Vậy b = – 1.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-x\right)\left(1-x^2\right)\left(1-x^3\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\frac{1}{x}-1\right)x^2\left(\frac{1}{x^2}-1\right)x^3\left(\frac{1}{x^3}-1\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^6\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{x^2}-1\right)\left(\frac{1}{x^3}-1\right)=-\infty$.

Ta có $g\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-1}-2m$

$=\frac{x^2+2x-x^2+1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-1}}-2m$

$=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-1}}-2m$

$=\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}-2m$

Do đó, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}-2m\right)=\frac{2}{2}-2m=1-2m$.

Mà  nên 1 – 2m = 0, suy ra $m=\frac{1}{2}$ .

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\left(m-x\right)\left(mx+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[x^2\left(\frac{m}{x}-1\right)\left(m+\frac{1}{x}\right)\right]$ .

Vì  $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{m}{x}-1\right)\left(m+\frac{1}{x}\right)=-m$nên để $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\left(m-x\right)\left(mx+1\right)\right]=-\infty$thì – m < 0, có nghĩa là m > 0.

Vậy m > 0.

Lấy dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n → +∞. Khi đó

$\left|f\left(x_n\right)\right|=\left|\frac{{\sin }^2{x}_n}{x_n^2}\right|=\frac{{\sin }^2{x}_n}{x_n^2}\le \frac{1}{x_n^2}\to 0$ khi n → +∞.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=0$ . Từ đó suy ra $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ .

a) Chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm là

$f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+55}{x}$ (triệu đồng).

b) Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+55}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{55}{x}}{1}=2$.

Ý nghĩa của giới hạn trên: Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm càng gần với 2 (triệu đồng).