Đề kiểm tra Giới hạn của hàm số lớp 11 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 3}}{{x + 1}}\) bằng?
\[1\].
\[0\].
\[3\].
\[2\].
Chọn A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 3}}{{x + 1}} = \frac{{{1^2} - 2.1 + 3}}{{1 + 1}} = 1\).
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) ta được kết quả
\(4\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Chọn A
Dễ thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{{x - 1}} = \frac{{2 + 2}}{{2 - 1}} = 4\)
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right|\] bằng
\( - 5\).
\(1\).
\(5\).
\( - 1\).
Chọn B
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right| = \left| {3 - 4} \right| = 1\]
Cho limx→3fx=−2. Tính limx→3fx+4x−1
\(5\).
\(6\).
\(11\).
\(9\).
Chọn D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right] = 9\).
Biểu thức \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin x}}{x}\] bằng
\(0\).
\(\frac{2}{\pi }\).
\(\frac{\pi }{2}\).
\(1\).
Chọn B
Vì \(\sin \frac{\pi }{2} = 1\) nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin x}}{x} = \frac{2}{\pi }\].
Cho \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\left( {\sqrt {3x + 1} - 1} \right)}}{x}\) và \(J = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}\). Tính \(I - J\).
6.
3.
\( - 6\).
0.
Ta có
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\left( {\sqrt {3x + 1} - 1} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6x}}{{x\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{6}{{\sqrt {3x + 1} + 1}} = 3\).
\(J = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x - 2} \right) = - 3\).
Khi đó \(I - J = 6\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên khoảng \[\left( {a;{\rm{ }}b} \right)\]. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn \[\left[ {a;{\rm{ }}b} \right]\] là?
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\].
Hàm số \[f\] xác định trên đoạn \[\left[ {a;{\rm{ }}b} \right]\] được gọi là liên tục trên đoạn \[\left[ {a;{\rm{ }}b} \right]\] nếu nó liên tục trên khoảng \[\left( {a;{\rm{ }}b} \right),\] đồng thời \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\].
Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là \( + \infty \)?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x - 1}}{{4 - x}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 2x + 3} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{2x - 1}}{{4 - x}}\).
Chọn A
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x - 1}}{{4 - x}}\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {2x - 1} \right) = 7 > 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {4 - x} \right) = 0\) và \(4 - x > 0\) với mọi \(x < 4\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x - 1}}{{4 - x}} = + \infty \).
Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\) bằng
\( + \infty .\)
\( - \infty .\)
\(\frac{2}{3}.\)
\(\frac{1}{3}.\)
Chọn B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x + 1} \right) = - 1 < 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\), \[x - 1 > 0\] khi \[x \to {1^ + }\].
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x} & {\rm{khi }}x > 0\\mx + m + \frac{1}{4} & {\rm{khi }}x \le 0\end{array} \right.\), \[m\]là tham số. Tìm giá trị của \[m\] để hàm số có giới hạn tại \[x = 0\].
\(m = \frac{1}{2}\).
\(m = 1\).
\(m = 0\).
\(m = - \frac{1}{2}\).
Lời giải
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right) - {2^2}}}{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 4} + 2}} = \frac{1}{4}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {mx + m + \frac{1}{4}} \right) = m + \frac{1}{4}\)
Hàm số đã cho có giới hạn tại \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\)
\( \Rightarrow F = \left( { - \frac{5}{2}; - 2;0} \right)\).
Chọn kết quả đúng của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + 3x}}{{\sqrt {2{x^2} + 3} }}\).
\( - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn C
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + 3x}}{{\sqrt {2{x^2} + 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} + 3} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {2 + \frac{3}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x} + 3}}{{\sqrt {2 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}\)\( = \frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4x + 1} \right)}^3}{{\left( {2x + 1} \right)}^4}}}{{{{\left( {3 + 2x} \right)}^7}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right)\).
\(2\).
\(8\).
\(4\).
\(0\).
Chọn B
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{{\left( {4x + 1} \right)}^3}{{\left( {2x + 1} \right)}^4}}}{{{{\left( {3 + 2x} \right)}^7}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{{\left( {4 + \frac{1}{x}} \right)}^3}{{\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)}^4}}}{{{{\left( {\frac{3}{x} + 2} \right)}^7}}} = {2^3} = 8\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
các mệnh đề sau đúng/sai?
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = - \infty \).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^5}}} = + \infty \).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Chọn B
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\)và \(x > 0\). Vậy đáp án A đúng.
Suy ra đáp án B sai.
Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án A.
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - {x^2}}&{{\rm{ khi }}x < 2}\\{\sqrt {x + 2} }&{{\rm{ khi }}x \ge 2}\end{array}} \right.\).
a) Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = - 8\]
b) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = - 3\)
c) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 2\)
d) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 4\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \sqrt 5 \]
b) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} < 2\) và \({x_n} \to 2\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = 1 - x_n^2\).
Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = 1 - {2^2} = - 3\).
c) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} > 2\) và \({x_n} \to 2\), ta có \(f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {{x_n} + 2} \).
Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {2 + 2} = 2\).
d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\) (hay \( - 3 \ne 2\)) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\).
Tìm được các giới hạn một bên sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{x + 1}} = \frac{2}{3}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = - \infty \)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 6x + 9}} = + \infty \)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} } \right)} \right] = + \infty \).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{x + 1}} = \frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {(2x - 1) \cdot \frac{1}{{x - 1}}} \right] = + \infty \) (do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2x - 1) = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x - 1}} = + \infty \)).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x(x - 3)}}{{{{(x - 3)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{x}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x\frac{1}{{x - 3}}} \right) = - \infty \),
do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} x = 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} = - \infty \).
d)
\({\rm{ }}\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} } \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {(x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{(x - 1)(x + 1)}}} } \right]}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x{{(x - 1)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}}} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x(x - 1)}}{{x + 1}}} } \right] = 3 \cdot \sqrt {\frac{0}{2}} = 0.}\end{array}\)
Tìm được các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (\sqrt {x + 2} - 1) = 1\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = + \infty \);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{{x^2} - 4}}} \right) = - \infty \);
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{|x + 1|}}{{{x^2} - 1}} = - \infty \).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (\sqrt {x + 2} - 1) = \sqrt {2 + 2} - 1 = 1\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {(4x - 3) \cdot \frac{1}{{x - 1}}} \right] = + \infty \) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (4x - 3) = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x - 1}} = + \infty \).
c)
\({\rm{ }}\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{{x^2} - 4}}} \right)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 2 - 1}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 2)}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left[ {\frac{{x + 1}}{{x + 2}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}}} \right] = - \infty ,{\rm{ do }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = \frac{3}{4}}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{x - 2}} = - \infty }\end{array}} \right.}\end{array}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{|x + 1|}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{ - x - 1}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{ - 1}}{{x - 1}} = \frac{1}{2}\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 1,x \le 1}\\{\sqrt {{x^2} + a} ,x > 1}\end{array}} \right.\)
Tìm giá trị của tham số \(a\) sao cho tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + 1) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {{x^2} + a} = \sqrt {1 + a} \).
Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\) thì \(\sqrt {1 + a} = 3\), suy ra \(a = 8\).
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x - 1} \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 + \frac{1}{x}}} = - 1.\)
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + m{\rm{ n\~O u }}x < 0,}\\{{x^2} - 1{\rm{ n\~O u }}x \ge 0}\end{array}} \right.\] với \(m\) là tham số.
Biết hàm số \(f(x)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to 0\). Tìm \(m\).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = - 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (x + m) = m\) nên \(m = - 1\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x{\rm{ n\~O u }}x > 1}\\{2{\rm{ n\~O u }}x = 1.{\rm{ }}}\\{1{\rm{ n\~O u }}x < 1}\end{array}} \right.\)Hàm số \(f(x)\)có giới hạn khi \(x \to 1\)không ?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 1\). Hàm số \(f(x)\) có giới hạn khi \(x \to 1\).
Tìm các số thực \(a\) và \(b\) sao cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - ax + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = b\).
Do \(x = 1\) là nghiệm của mẫu số nên ta phải có \(2{x^2} - ax + 1 = 0\) với \(x = 1\). Tức là \(a = 3\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = - 1\). Vậy \(b = - 1\).
Cho 3 số \[a\], \[b\], \[c\]thỏa mãn \[12a + 15b + 20c = 0\]. Chứng minh phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] luôn có nghiệm thuộc \[\left[ {0;\frac{4}{5}} \right]\].
Xét hàm số \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\].
Hàm số \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].
Ta có \[f\left( {\frac{4}{5}} \right) = \frac{{16}}{{25}}a + \frac{4}{5}b + c\]nên \[\frac{{75}}{4}f\left( {\frac{4}{5}} \right) = 12a + 15b + \frac{{75}}{4}c\].
\[f\left( 0 \right) = c\]nên \[\frac{5}{4}f\left( 0 \right) = \frac{5}{4}c\].
Do đó \[\frac{{75}}{4}f\left( {\frac{4}{5}} \right) + \frac{5}{4}f\left( 0 \right) = 12a + 15b + 20c = 0\].
Suy ra \[f\left( {\frac{4}{5}} \right)\], \[f\left( 0 \right)\] trái dấu hoặc cả hai đều bằng 0.
Vậy phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] luôn có nghiệm thuộc \[\left[ {0;\frac{4}{5}} \right]\].
