Bài tập Giới hạn một bên lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có  $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^2-1}\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+1-1}{x^2-1}$

 $=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=-\infty$.

Vì  $\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }x=1>0,\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+1\right)=2>0\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x-1\right)=0\\ x\to 1^{-}\Rightarrow x-1<0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\left( {x - 3} \right) \cdot \left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\sqrt {x - 3} \left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 3} }}} \right)} \right] = 0\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left[ {\left( {{x^3} + 1} \right) \cdot \sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} } \right]\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left[ {\sqrt {x + 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{x - 1}}} } \right] = 0\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: |x + 2| = x + 2 với mọi x > -2, do đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} 3 = 3\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: D = ℝ

Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} + ax + 1} \right) = 2a + 5\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 7\).

Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x = 2 khi và chỉ khi:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow 2a + 5 = 7 \Leftrightarrow a = 1\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: x + 3 > 0 với mọi x > -3 nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{{x^2} + 13x + 30}}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{\sqrt {x + 3} \cdot \left( {x + 10} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} }}\)

\( = \frac{{\sqrt { - 3 + 3} \cdot \left( { - 3 + 7} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + 5} }} = 0\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 2 \cdot 1 + 1 = 3\].

b) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = {1^2} = 1\).

c) Sai. Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).

d) Đúng. f(1) = 1² = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {\sqrt {x + 2} } \right) = \sqrt 5 \].

b) Đúng. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {1 - {x^2}} \right) = 1 - {2^2} = - 3\]

c) Đúng. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {x + 2} } \right) = \sqrt {2 + 2} = 2\]

d) Sai. Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\] nên không tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\]

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 4\)

b) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x - 2} \right) = - 1 - 2 = - 3\).

c) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} = \sqrt 2 \).

d) Sai. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Sai.                   d) Đúng.

a) Sai. f(2) = 2a + 2024.

b) Đúng. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 4\].

c) Sai. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax + 2024} \right) = 2a + 2024\].

d) Đúng. Hàm số f(x) có giới hạn khi x $\to$ 2 khi và chỉ khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\]

$\iff$ 4 = 2a + 2024 $\iff$ a = -1010.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. f(-1) = (-1)² – (-1) – m = 2 – m.

b) Sai. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - x - m} \right) = {2^2} - 2 - m = 2 - m\].

c) Đúng. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {3x + 3} - 3}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{{\left( {\sqrt {3x + 3} } \right)}^2} - {3^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {3x + 3} + 3} \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{3}{{\sqrt {3x + 3} + 3}} = \frac{1}{2}\].

d) Sai. Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow 2 - m = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 1}} = - \frac{1}{2}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x}}{2} = - \frac{1}{2}\).

Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\). Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\).

Do đó, a = -1; b = 2 $\Rightarrow$ a + 2b = (-1) + 2.2 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {{x^3} - 3x + 2} }}{{{x^2} - 5x + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {\left( {x + 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {x + 2} \cdot \left| {x - 1} \right|}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}\)

Do x $\to$ 1^- nên x – 1 < 0 suy ra |x – 1| = 1 – x .

Vậy  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {x + 2} \cdot \left| {x - 1} \right|}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {x + 2} \cdot \left( {1 - x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - \sqrt {x + 2} }}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

$\Rightarrow$ a = 3, b = 3 $\Rightarrow$ a + b = 3 + 3 = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + m} \right) = m\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 1\)

Hàm số có giới hạn tại x = 0 khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \Leftrightarrow m = 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 40.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{ - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x - 3} \right) = - 6 = a\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {1 - x} \right) = - 2 = b\).

Khi đó: a² + b² = (-6)² + (-2)² = 40.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -0,3.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2 - x}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{1 - 2x}} = - \frac{1}{3} \approx - 0,3\).