Đáp án đúng là: A

Ta có CDEF là hình chữ nhật, lại có CD = DE = 4 nên CDEF là hình vuông.

Do đó EF = CF = CD = DE = 4.

Xét ∆ADE vuông tại E, có: AE = DE.cotA = 4.cot70°.

Xét ∆CFB vuông tại F, có: BF = CF.tanC = 4.tan50°.

Mà AB = AE + EF + FB

Nên y = 4.cot70° + 4 + 4.tan 50° ≈ 10,2.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

C = sin 75° – cos 15° + sin 30°

   = cos(90° ‒ 75°) – cos 15° + sin 30°

   = cos 15° – cos 15° + sin 30°

   = sin30° =

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAB vuông tại O, ta có:$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}=\sqrt{289}=17\text{ (cm).}$

Xét tam giác OAB vuông tại O, có:

⦁ $\tan A=\frac{OB}{OA}=\frac{15}{8}.$  Do đó ý a) là đúng.

⦁ $\sin B=\frac{OA}{AB}=\frac{8}{17}.$  Do đó ý b) là sai.

⦁ $\sin A=\frac{OB}{AB}=\frac{15}{17}.$  Do đó ý c) là sai.

⦁ $\cot A=\frac{OA}{OB}=\frac{8}{15};\tan B=\frac{OA}{OB}=\frac{8}{15}.$  Do đó cotA = tanB nên ý d) là đúng.

Vậy: a) Đ;

 b) S;

 c) S;

 d) Ð.

– Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{25}^2-{24}^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7\text{ (cm).}$

Do đó ý a) là sai.

– Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

⦁ $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{25},$  suy ra $\widehat{B}\approx 16,26°.$  Do đó, ý b) là đúng.

⦁ $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{25}.$  Do đó ý c) là sai.

– Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:$\sin B=\frac{AH}{AB}.$

Mà $\sin B=\frac{7}{25},$  nên$\frac{AH}{AB}=\frac{7}{25}$

Suy ra $AH=\frac{7}{25}AB=\frac{7}{25}\cdot 24=6,72\text{ (cm)}\approx 7\text{ (cm).}$  Do đó ý d) là đúng.

Vậy: a) S;

 b) Đ;

 c) S;

 d) Ð.

– Ta có:$\widehat{ABO}=\widehat{A}=55°$  (2 góc ở vị trí so le trong). Do đó ý d) là sai.

$\widehat{OAB}=90°-55°=35°.$ Do đó ý c) là đúng.

– Xét tam giác OAB vuông tại O, ta có:

⦁ OB = OA.cotB = 30.cot55° ≈ 21 m. Do đó ý a) là đúng.

⦁$\sin B=\frac{OA}{AB},$ suy ra$AB=\frac{OA}{\sin B}=\frac{30}{\sin 55°}\approx 36,62\text{ (m).}$

Do đó ý b) là sai.

Vậy: a) Đ;

 b) S;

 c) Đ;

 d) S.

Ta có BC = BH + CH = 1 + 4 = 5 (cm).

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$  (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có: $\widehat{B}+\widehat{BAH}=90°$  (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Suy ra $\widehat{C}=\widehat{BAH}$  (cùng phụ với góc B).

Xét ∆ABH và ∆CBA có:

Góc B chung,$\widehat{C}=\widehat{BAH}$

Do đó ∆ABH ᔕ ∆CBA (g.g), suy ra  $\frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BA}$

Hay AB² = BH.BC = 1.5 = 5, suy ra$AB=\sqrt{5}\text{ (cm).}$

Tương tự, ta có ∆CAH ᔕ ∆CBA (g.g), suy ra  $\frac{AC}{BC}=\frac{CH}{CA}$

Hay AC² = CH.BC = 4.5 = 20, suy ra  $AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ (cm).}$

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5},$ suy ra$\widehat{C}\approx 26°34\text{'}.$

Mà $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$  nên $\widehat{B}=90°-\widehat{C}\approx 90°-26°{34}^{\text{'}}=63°26\text{'}.$

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

⦁ $\widehat{B}+\widehat{C}=90°,$  suy ra  $\widehat{C}=90°-\widehat{B}=90°-15°=75°;$

⦁ AB = AC.cotB = 5.cot15° ≈ 18,66;

⦁ AC = BC.sinB, suy ra$BC=\frac{AC}{\sin B}=\frac{5}{\sin 15°}\approx 19,32.$

b) Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

⦁$\widehat{A}+\widehat{B}=90°,$  suy ra  $\widehat{A}=90°-\widehat{B}=90°-32°=58°;$

⦁ AC = AB.sinB = 56.sin32° ≈ 29,68;

⦁ BC = AB.cosB = 56.cos32° ≈ 47,49.

c) Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

⦁ AB² = AC² + BC² (định lí Pythagore)

Suy ra  $BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{{25}^2-{20}^2}=\sqrt{225}=15;$

⦁ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5},$  suy ra  $\widehat{A}\approx 36°{52}^{\text{'}};$

a) Do AH là đường cao tam giác ABC nên AH ⊥ BC tại H.

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:$AH=AB\cdot \sin \widehat{ABH}=15\cdot \sin 64°\approx 13,48\text{ (cm).}$

b) Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:$BH=AB\cdot \cos \widehat{ABC}=15\cdot \cos 64°\approx 6,58\text{ (cm).}$

Suy ra CH = BC – BH ≈ 20 – 6,58 = 13,42 (cm).

c) Áp dụng định lí Pythagore cho ∆AHC vuông tại H, có:$AC=\sqrt{A{H}^2+C{H}^2}\approx \sqrt{13,{48}^2+13,{42}^2}\approx 19,02\text{ (cm).}$

Gọi khoảng cách từ tâm của cánh quạt gió đến mặt đất là AE.

Người đứng ở vị trí điểm D, khoảng cách từ mắt người đó đến mặt đất là CD, suy CD = BE = 1,5 m (do BCDE là hình chữ nhật).

Người đứng cách thân quạt gió 16 m, suy ra DE = BC = 16 m.

Xét ∆ABC vuông tại B, có:

AB = BC.tanC = 16.tan 56,5° ≈ 24,17 (m).

Do đó AE = AB + BE ≈ 24,17 + 1,5 = 25,67 (m).

Vậy khoảng cách từ tâm quạt gió đến mặt đất là khoảng 25,67 m.

Ta có chiều cao của tòa tháp là AB, khoảng cách từ vị trí người đứng đến chân tòa tháp là AC.

Du khách đếm được 645 bước chân khi đi từ A đến C và khoảng cách trung bình của mỗi bước chân là 0,4 m, suy ra AC = 645.0,4 = 258 (m).

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

$AB=AC\cdot \tan \widehat{ACB}=258\cdot tan45°=258\text{ (m).}$ 

Vậy chiều cao của tháp là 258 m.

Gọi độ cao từ mắt người đó đến mặt nước biển là AB, suy ra AB = 75 m.

Gọi vị trí chiếc thuyền hướng về phía ngọn hải đăng mà từ trên ngọn tháp quan sát với góc hạ lần lượt là 30° và 45° tương ứng là C, D.

Vì Bx // AD nên $\widehat{BDA}=\widehat{xBD}=45°$  và $\widehat{BCA}=\widehat{xBC}=30°$  (các cặp góc so le trong).

Xét ∆ABD vuông tại A có $\widehat{BDA}=45°,$  suy ra ∆ABD vuông cân tại A.

Do đó AD = AB = 75 m.

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:$AC=AB\cdot \cot \widehat{BCA}=75\cdot \cot 30°=75\sqrt{3}\approx 129,90\text{ (m).}$

Suy ra DC = AC – AD ≈ 129,90 – 75 = 54,90 (m).

Vậy giữa hai lần quan sát, thuyền đi được khoảng 54,90 m.