Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài tập cuối chương VII có đáp án

Đáp án đúng là: D

Giả sử hàm số cần tìm có dạng y = ax² (a ≠ 0).

Từ Hình 11, ta thấy đồ thị của hàm số đi qua điểm \(\left( {\sqrt 2 ;4} \right)\) nên ta có:

\(4 = a \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2},\) hay 2a = 4, suy ra a = 2.

Vậy hàm số cần tìm là y=2x².

Đáp án đúng là: B

Phương trình 4x²–ax+9=0 có ∆ = (‒a)² ‒ 4.4.9 = a² ‒ 144.

Để phương trình có nghiệm kép thì ∆ = 0, tức là a² ‒ 144 = 0, hay a² = 144, suy ra a = 12 hoặc a = ‒12.

Đồ thị hàm số y=(m+2)x²(m ≠–2) đi qua điểm A(–1; –2) nên thay x = ‒1 và y = ‒2 vào hàm số ta có:

–2=(m+2) .(–1)² hay m + 2 = –2, suy ra m = –4 (thỏa mãn m ≠–2).

Do đó, hàm số là y=–2x².

a) Thay x = 3 vào hàm số y=–2x², ta có: y=–2.3²=–18.

Vậy giá trị của hàm số tại x=3 là y = ‒18.

b) Xét điểm B(0,5; –0,25):

Thay x = 0,5 vào hàm số y=–2x², ta có y = –2.0,5² = –0,5 ≠ –0,25.

Do đó điểm B(0,5; –0,25) không thuộc đồ thị hàm số y=–2x².

c) Xét hàm số y=–2x².

• Ta có bảng giá trị của y tương ứng với giá trị của t như sau:

x	‒2	‒1	1	2
y=–2x2	‒8	‒2	‒2	‒8

Do đó các điểm A(‒2; ‒8); B (‒1; ‒2); C(1; ‒2); D(2; ‒8)thuộc đồ thị hàm số y=–2x².

• Vẽ các điểm A(‒2; ‒8); B (‒1; ‒2); O(0; 0); C(1; ‒2); D(2; ‒8)thuộc đồ thị hàm số y=–2x²trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

• Vẽ đường parabol đi qua 5 điểm A, B, O, C, D, ta nhận được đồ thị của hàm số y=–2x² (hình vẽ).

Từ Hình 12, ta thấy C(2;–4).

Đồ thị hàm số y=ax² đi qua C(2;–4) nên thay x = 2; y = ‒4 vào hàm số ta có:

–4=a.2²hay 4a = –4, suy ra a=–1.

Do đó, y=–x².

Chiều cao của chiếc xe tải là 3m nên mái xe của chiếc xe tải còn cách vị trí cao nhất của cổng một khoảng là 4 – 3 = 1 (m).

Gọi K(0;–1) nằm trên trục Oy.

Thay y = –1 vào hàm số y=–x², ta được –1=–x², hay x² = 1 nên x = –1 hoặc x = 1.

Để chiếc xe tải có chiều cao 3 m và chiều ngang p đi vào chính giữa cổng mà không chạm vào cổng thì p<1 + 1 hay p < 2.

Dễ thấy, nếu p<2 thì chiếc xe tải có chiều cao 3 m và chiều ngang p đi vào chính giữa cổng sẽ không chạm vào cổng.

Vậy p<2.

a) \(\left( {\sqrt 2 - 1} \right){x^2} + x = 0\)

\[x\left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + 1} \right] = 0\]

x = 0 hoặc \[\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + 1 = 0\]

Từ \[\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + 1 = 0,\] suy ra \[x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 - 1}} = \frac{{ - \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} = \frac{{ - \sqrt 2 - 1}}{{2 - 1}} = - \sqrt 2 - 1.\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 0;\,\,{x_2} = - \sqrt 2 - 1.\)

b) 9x²–17x+4=0

Phương trình trên có ∆ = (‒17)² ‒ 4.9.4 = 145 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{17 - \sqrt {145} }}{{2 \cdot 9}} = \frac{{17 - \sqrt {145} }}{{18}};\)

\({x_2} = \frac{{17 + \sqrt {145} }}{{2 \cdot 9}} = \frac{{17 + \sqrt {145} }}{{18}}.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là\({x_1} = \frac{{17 - \sqrt {145} }}{{18}};\,\,{x_2} = \frac{{17 + \sqrt {145} }}{{18}}.\)

c) –x²+5,5x=2x²–3,3x+4,84

–x²+5,5x‒2x²+3,3x‒4,84 = 0

‒3x² + 8,8x ‒4,84 = 0

Phương trình trên có ∆’ = 4,4² ‒ (‒3).(‒4,84) = 4,84 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {4,84} = 2,2.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{ - 4,4 + 2,2}}{{ - 3}} = \frac{{ - 2,2}}{{ - 3}} = \frac{{22}}{{30}} = \frac{{11}}{{15}};\]

\[{x_2} = \frac{{ - 4,4 - 2,2}}{{ - 3}} = \frac{{ - 6,6}}{{ - 3}} = 2,2.\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là\[{x_1} = \frac{{11}}{{15}};\,\,{x_2} = 2,2.\]

d) \(\left( {\sqrt 3 - 5} \right){x^2} + 3x + 4 = \sqrt 3 {x^2} - 1.\)

\(\sqrt 3 {x^2} - 5{x^2} + 3x + 4 = \sqrt 3 {x^2} - 1\)

   5x² ‒ 3x ‒ 5 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (‒3)² ‒ 4.5.(‒5) = 109 > 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{3 + \sqrt {109} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{3 + \sqrt {109} }}{{10}};\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt {109} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{3 - \sqrt {109} }}{{10}}.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{{3 + \sqrt {109} }}{{10}};\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt {109} }}{{10}}.\)

a) \( - 3{x^2} + 2\sqrt 5 x + 3 + 2\sqrt 5 = 0\)

Phương trình đã cho có các hệ số: a = ‒3; \[b = 2\sqrt 5 ;\,\,c = 3 + 2\sqrt 5 .\]

Ta thấy:\[a - b + c = - 3 - 2\sqrt 5 + 3 + 2\sqrt 5 = 0.\]

Do đó, phương trình có hai nghiệm \({x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{{3 + 2\sqrt 5 }}{{ - 3}} = \frac{{3 + 2\sqrt 5 }}{3}.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - 1;\,\,{x_2} = \frac{{3 + 2\sqrt 5 }}{3}.\)

b) \(\frac{1}{3}{x^2} - \frac{7}{{12}}x + \frac{1}{4} = 0\)

Phương trình đã cho có các hệ số: \[a = \frac{1}{3};\,\,b = - \frac{7}{{12}};\,\,c = \frac{1}{4}.\]

Ta thấy: \[a + b + c = \frac{1}{3} + \left( { - \frac{7}{{12}}} \right) + \frac{1}{4} = \frac{4}{{12}} - \frac{7}{{12}} + \frac{3}{{12}} = 0.\]

Do đó phương trình có hai nghiệm  \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{4}.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{3}{4}.\)

c) 7x²+(3m–1)x+3m–8=0.

Phương trình đã cho có các hệ số: a = 7; b = 3m ‒ 1; c = 3m ‒ 8.

Ta thấy: a ‒ b + c = 7 ‒ (3m – 1) + 3m ‒ 8 =7 – 3m + 1 + 3m – 8 = 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{{3m - 8}}{7} = \frac{{ - 3m + 8}}{7}.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - 1,{x_2} = \frac{{ - 3m + 8}}{7}.\)

Đặt t = –v, khi đó ta có: u + t = 10.

Từ t = –v, ta có v = –t nên u(–t) = 11 hay ut = –11.

Hai số u và t có tổng bằng 10 và tích bằng –11 nên hai số này là hai nghiệm của phương trình: x² – 10x – 11 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = 5² ‒ 1.(‒11) = 36 > 0 và \[\sqrt {\Delta '} = \sqrt {36} = 6.\]

Do đó phương trình có hai nghiêm phân biệt là:

\[{x_1} = \frac{{ - 5 + 6}}{1} = 1;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 5 - 6}}{1} = - 11.\]

Khi đó, u = 1; t = –11 hoặc u = –11; t = 1.

⦁Với u = 1 và t = –11 hay v = 11, ta có |u+v|=|1 + 11| = 12.

⦁Với u = ‒11 và t = 1 hay v = –1, ta có |u+v|=|–11 + (–1)| = |–12| = 12.

Vậy |u+v| = 12.

a) Doanh thu từ bán đường bằng 0 tức là –550x²+22 000x=0.

Giải phương trình:

–550x²+22 000x=0

x(‒550x + 22000) = 0

x = 0 hoặc ‒550x + 22000 = 0

x = 0 hoặc x = 40.

Ta thấy chỉ có giá trị x = 40 thoả mãn điều kiện x > 20.

Vậy mức giá bán một kilôgam đường mía bằng 40 nghìn đồng sẽ là quá cao dẫn đến việc doanh thu từ bán đường mía bằng 0 .

b) Doanh thu là 211200 nghìn đồng nên ta có phương trình:

–550x²+22000x=211 200 hay x²‒ 40x + 384 =0.

Phương trình trên có ∆’ = (‒20)² ‒ 1.384 = 16 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {16} = 4.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

\[{x_1} = \frac{{20 + 4}}{1} = 26;\]

\[{x_2} = \frac{{20 - 4}}{1} = 16.\]

Ta thấy chỉ có giá trị x = 26 thoả mãn điều kiện x > 20.

Vậy giá bán mỗi kilôgam đường mía là 26 nghìn đồng.

Khối lượng xuất khẩu cà phê Robusta của công ty năm 2022 là:

12 000 – 12 000.x% = 12 000 – 120x (tấn).

Khối lượng xuất khẩu cà phê Robusta của công ty năm 2023 là:

12 000 – 120x – (12 000 – 120x).x%

 = 12 000 – 120x – 120x + 1,2x²

 = 1,2x² – 240x + 12 000 (tấn).

Theo bài, khối lượng xuất khẩu cà phê Robusta của công ty năm 2023 là 10 830 tấn nên ta có phương trình: 1,2x² – 240x + 12 000 = 10 830.

Giải phương trình:

1,2x² – 240x + 12 000 = 10 830

1,2x² – 240x + 1 170 = 0

x² – 200x + 975 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = (–100)² – 1.975 = 9 025 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {9\,\,025} = 95.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{100 + 95}}{1} = 195;\)

\({x_2} = \frac{{100 - 95}}{1} = 5.\)

Ta thấy chỉ có giá trị x₂ = 5 thỏa mãn điều kiện x < 10.

Vậy x = 5.

a) Độ dài AL là: \[\frac{{y - x}}{2} = \frac{{25 + x - x}}{2} = \frac{{25}}{2} = 12,5\,\,(cm).\]

Do AL=AB=CD=DE=FG=GH=IJ=JK nên diện tích phần không phải chữ thập (diện tích 4 hình vuông có cạnh bằng 12, 5 cm) là:

4.12,5² = 625 (cm²).

Diện tích biển báo giao thông có dạng hình vuông cạnh y (cm) là:

y²= (x + 25)² (cm²).

Diện tích phần hình chữ thập của biển báo giao thông đó là:

(x + 25)² ‒ 625 = x² + 50x ‒ 625 + 625 = x² + 50x (cm²).

b) Theo bài, diện tích phần hình chữ thập của biển báo giao thông đó là 975 cm² nên ta có phương trình: x² + 50x = 975 hay x² + 50x ‒ 975 = 0.

Phương trình trên có ∆’ = 25² ‒ 1.(‒975) = 1 600 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {1\,\,600} = 40.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{x_1} = \frac{{ - 25 + 40}}{1} = 15;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 25 - 40}}{1} = - 65.\]

Ta thấy chỉ có giá trị x₁ = 15 thỏa mãn điều kiện x > 0.

Vậy nếu diện tích phần hình chữ thập của biển báo giao thông đó là 975 cm² thì x = 15 cm.

a) Đặt t = –y, ta có y = –t.

Khi đó \(x + t = \frac{1}{4} - \sqrt 7 \) và \(xy = x\left( { - t} \right) = \frac{{\sqrt 7 }}{4},\) suy ra \(xt = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\)

Hai số x và t có tổng bằng \(\frac{1}{4} - \sqrt 7 \) và tích bằng \( - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) nên hai số này là hai nghiệm của phương trình: \({X^2} - \left( {\frac{1}{4} - \sqrt 7 } \right)X - \frac{{\sqrt 7 }}{4} = 0\) hay \[4{X^2} - \left( {1 - 4\sqrt 7 } \right)X - \sqrt 7 = 0.\]

Phương trình trên có: \[\Delta = {\left[ { - \left( {1 - 4\sqrt 7 } \right)} \right]^2} - 4 \cdot 4 \cdot \left( { - \sqrt 7 } \right)\]

 

\[ = 1 - 8\sqrt 7 + 112 + 16\sqrt 7 = 1 + 8\sqrt 7 + 112\]

\[ = {\left( {1 + \sqrt 7 } \right)^2} > 0\]

Ta có \(\sqrt \Delta   = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 7 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 7 .\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{X_1} = \frac{{1 - 4\sqrt 7 + 1 + 4\sqrt 7 }}{{2 \cdot 4}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4};\]

\[{X_2} = \frac{{1 - 4\sqrt 7 - \left( {1 + 4\sqrt 7 } \right)}}{{2 \cdot 4}} = \frac{{1 - 4\sqrt 7 - 1 - 4\sqrt 7 }}{8} = \frac{{ - 8\sqrt 7 }}{8} = - \sqrt 7 .\]

Khi đó, \(x = \frac{1}{4};\,\,t = - \sqrt 7 \) hoặc \(x = - \sqrt 7 ;\,\,t = \frac{1}{4}.\)

⦁ Với \(t = - \sqrt 7 \) thì \(y = \sqrt 7 ,\) ta có \(x = \frac{1}{4};\,\,y = \sqrt 7 \)

⦁ Với \(t = \frac{1}{4}\) thì \(y = - \frac{1}{4},\) ta có \(x = - \sqrt 7 ;\,\,y = - \frac{1}{4}.\)

Vậy \(x = \frac{1}{4};\,\,y = \sqrt 7 \) hoặc \(x = - \sqrt 7 ;\,\,y = - \frac{1}{4}.\)

b) Hai số x và y có tổng bằng \(\frac{1}{6}\) và tích bằng \( - \frac{1}{6}\) nên hai số này là hai nghiệm của phương trình: \({X^2} - \frac{1}{6}X - \frac{1}{6} = 0.\)

Phương trình trên có\[\Delta = {\left( { - \frac{1}{6}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{6}} \right) = \frac{1}{{36}} + \frac{2}{3} = \frac{{25}}{{36}} > 0\] và \(\sqrt \Delta   = \sqrt {\frac{{25}}{{36}}} = \frac{5}{6}.\)

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[{X_1} = \frac{{\frac{1}{6} + \frac{5}{6}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{\frac{6}{6}}}{2} = \frac{1}{2};\]

\[{X_2} = \frac{{\frac{1}{6} - \frac{5}{6}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - \frac{4}{6}}}{2} = - \frac{1}{3}.\]

Vậy \(x = \frac{1}{2};\,\,y = - \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - \frac{1}{3};\,\,y = \frac{1}{2}.\)

Xét phương trình: 2x²+2(m+1)x–3=0.

a) Phương trình đã cho có ∆’ = (m + 1)² ‒ 2.(‒3) = (m + 1)² + 6.

Với mọi m, ta có (m + 1)² ≥ 0 nên (m + 1)² + 6 ≥ 6 hay ∆’ > 0.

Vậy phương trình đó luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo định lí Viète, ta có:

\[{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{2} = - m - 1\] và \[{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}.\]

Ta có: \[A = x_1^2 + x_2^2 + 3{x_1}{x_2}\]

 = (x₁ + x₂)² + x₁x₂

Thay x₁ + x₂ = – m – 1 và\[{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}\] vào biểu thức trên ta có:

\(A = {\left( { - m - 1} \right)^2} + \frac{{ - 3}}{2} = {\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2}.\)

Với mọi m ta luôn có: (m + 1)² ≥ 0 nên \({\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2} \ge - \frac{3}{2}.\)

Khi đó, A có giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{3}{2}\) khi m + 1 = 0 hay m = –1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là \( - \frac{3}{2}\) tại m = –1.