25 bài tập Toán 9 Cánh diều Ôn tập cuối chương 7 có đáp án
25 câu hỏi
Hàm số nào sau đây có dạng \({\rm{a}}{x^2}({\rm{a}} \ne 0)\)? Đối với những hàm số đó, xác định hệ số a của \({\rm{a}}{x^2}\).
a) \(y = {x^2}\). b) \(y = - 3{x^2}\). c) \(y = \frac{{4{x^2}}}{9}\). d) \(y = \frac{2}{{{x^2}}}\).
Các hàm số có dạng \({\rm{a}}{x^2}({\rm{a}} \ne 0)\) là:
a) \(y = {x^2}\), có \({\rm{a}} = 1\); b) \(y = - 3{x^2}\), có \({\rm{a}} = - 3\) c) \(y = \frac{{4{x^2}}}{9}\), có \({\rm{a}} = \frac{4}{9}\).
Cho hàm số \({\rm{y}} = 4{x^2}({\rm{a}} \ne 0)\). Tính giá trị của y khi:
a) \(x = 0\); b) \(x = 2\); c) \(x = - 2\).
a) Với \(x = 0\) thì \(y = {4.0^2} = 0\).
b) Với \(x = 2\) thì \(y = 4 \cdot {2^2} = 16\).
c) Với \(x = - 2\) thì \(y = 4 \cdot {( - 2)^2} = 16\).
Cho hàm số \(y = f(x) = a{x^2}(a \ne 0)\). Xác định a biết rằng \(f( - 2) = 4\).
Thay \(x = - 2\) và \(y = 4\) vào phương trình \(y = a{x^2}\), ta được: \(4 = a.{( - 2)^2} \Leftrightarrow 4a = 4 \Leftrightarrow a = 1\).
Hàm số có dạng \({\rm{y}} = {{\rm{x}}^2}\).
Lập bảng giá trị của hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = - {x^2}\) với các giá trị x lần lượt bằng: \( - 3; - 2; - 1;0;1;2;3\).
Bảng giá trị của hàm số \(y = {x^2}\):
\(x\) | \[ - 3\] | \( - 2\) | \[ - 1\] | \[0\] | \[1\] | \[2\] | \[3\] |
\[y = {x^2}\] | \[9\] | \[4\] | \[1\] | \[0\] | \[1\] | \[4\] | \[9\] |
Bảng giá trị của hàm số \(y = - {x^2}\):
\(x\) | \[ - 3\] | \[ - 2\] | \[ - 1\] | \(0\) | \[1\] | \[2\] | \[3\] |
\[y = - {x^2}\] | \[ - 9\] | \[ - 4\] | \[ - 1\] | \(0\) | \( - 1\) | \[ - 4\] | \[ - 9\] |
Vẽ đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\).
Bảng giá trị của hàm số:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) | \( - 2\) | \( - \frac{1}{2}\) | 0 | \( - \frac{1}{2}\) | \( - 2\) |
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), lấy các điểm \(E\left( { - 2; - 2} \right);F\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right);O\left( {0;0} \right);F'\left( {1; - \frac{1}{2}} \right);E'\left( {2; - 2} \right)\).
Đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) là một đườnh parabol đỉnh \(O\), đi qua các điểm trên và có dạng như hình dưới đây.
Cho hàm số \({\rm{y}} = ({\rm{m}} + 1){{\rm{x}}^2}\) và \({\rm{y}} = 2{\rm{x}} - 1\).
a) Tìm m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm A có hoành độ bằng 2.
b) Vẽ đồ thị hàm số \({\rm{y}} = ({\rm{m}} + 1){{\rm{x}}^2}\) với m vừa tìm được ở câu \(\left. a \right)\).
a) \(A\) thuộc đường thẳng \({\rm{y}} = 2{\rm{x}} - 1\) và hoành độ bằng 2 nên tung độ của \(A:y = 2.2 - 1 \Rightarrow y = 3\). Vậy \(A(2;3)\).
Lại có A là giao điểm của parabol \(y = (m + 1){x^2}\) và \(y = 2x - 1\) nên ta có \(3 = (m + 1) \cdot {(2)^2}\)
\( \Rightarrow 4\;{\rm{m}} + 4 = 3 \Rightarrow \;{\rm{m}} = - \frac{1}{4}\). Vậy \({\rm{y}} = \frac{3}{4}{{\rm{x}}^2}\).
b) Vẽ parabol (P): \(y = \frac{3}{4}{x^2}\).
Bảng giá trị:
Parabol \(({\rm{P}})\) có đỉnh O và nhận trục tung làm trục đối xứng.
Cho hàm số \({\rm{y}} = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}\).
a) Vẽ đồ thị \(({\rm{P}})\) của hàm số đã cho.
b) Trên \(({\rm{P}})\) lấy hai điểm \({\rm{A}},{\rm{B}}\) có hoành độ lần lượt -2 và 1. Viết phương trình đường thẳng AB.
a) Bảng giá trị:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) | \( - 2\) | \( - \frac{1}{2}\) | 0 | \( - \frac{1}{2}\) | \( - 2\) |
Đồ thị \(({\rm{P}})\) là một parabol có đỉnh O và nhận trục tung làm trục đối xứng.
b) Đặt A(-2; \(\left. {{{\rm{y}}_0}} \right) \in ({\rm{P}})\)\( \Rightarrow {{\rm{y}}_0} = \left( { - \frac{1}{2}} \right){( - 2)^2} \Rightarrow {{\rm{y}}_0} = - 2\)
Vậy \({\rm{A}}( - 2; - 2)\).
Đặt \(B\left( {1;{y_1}} \right) \in (P) \Rightarrow {y_1} = \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot {(1)^2} \Rightarrow {y_1} = - \frac{1}{2}\). Vậy \(B\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\)
Đường thẳng AB có phương trình \({\rm{y}} = {\rm{ax}} + {\rm{b}}({\rm{d}})\).
\(A \in (d) \Rightarrow - 2 = - 2a + b;B \in (d) \Rightarrow - \frac{1}{2} = a + b\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a + b = - 2}\\{a + b = - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - b = 2}\\{a + b = - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{2}}\\{a + b = - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{2}}\\{b = - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)
Vậy phương trình đường thẳng AB có dạng: \({\rm{y}} = \frac{1}{2}{\rm{x}} - 1\).
Cho phương trình \({x^2} - x - 10 = 0\). Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) và tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\).
Ta có: \(a = 1;c = - 10 \Rightarrow ac < 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Theo định lí Viete, ta có: \({x_1} + {x_2} = 1;{x_1}{x_2} = - 10\). Vậy \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 - 2.( - 10) = 21\).
Nhận xét: - Ta có \(ac < 0 \Rightarrow \frac{c}{a} < 0\) mà \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \Rightarrow {x_1}{x_2} < 0\). Vậy khi \[a{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}c\] trái dấu thì phương trình bậc hai có hai nghiệp phân biệt và trái dấu (chẳng hạn: \({x_1} < 0 < {x_2}\) ).
- Biểu thức \({x_1}^2 + {x_2}^2\) không thay đổi khi ta thay \({x_1}\) bởi \({x_2}\) và ngược lại, gọi là biểu thức đối xứng của \({x_1}\) và \({x_2}\). Bạn cần nhớ một vài công thức sau: \(S = {x_1} + {x_2}\), ta có:
\({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P\) (biểu thị qua tổng và tích các nghiệm)
\[{{\rm{x}}_1}^3 + {\rm{x}}_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = S\left( {{S^2} - 3P} \right) = {S^3} - 3SP\]
\({x_1}^4 + {x_2}^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2{x_1}^2{x_2}^2 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{x_1}^2x_2^2 = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}\)
\({\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {S^2} - 4P\)
Theo phương trình \(3{x^2} + 2x - 6 = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\); trong đó \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.
Ta có \(a = 3;b = 2;c = - 6 \Rightarrow \;a.c = - 18 < 0 \Rightarrow \) phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt (khác dấu) \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{2}{3};{x_1}{x_2} = - 2\).
Vậy \(A = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} - 4.( - 2) = \frac{{76}}{9}\)
Nhận xét: Từ kết quả trên, ta có thể tìm được: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{{\sqrt {76} }}{3} = \frac{{2\sqrt {19} }}{3} \Rightarrow {x_1} - {x_2} = \pm \frac{{2\sqrt {19} }}{3}\)
Cho phương trình \(3{x^2} - 7x - 4 = 0\). Gọi \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình, hãy tính.
a) \(A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\); b) \(B = \frac{{x_1^1}}{{{x_2}}} + \frac{{x_2^2}}{{{x_1}}}\)
Ta có: \(a = 3;b = - 7;c = - 4 \Rightarrow a.c = - 12 < 0\). Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{7}{3};{x_1}{x_2} = \frac{{ - 4}}{3}\).
a) Ta có: \({A^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} - 4.\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) = \frac{{97}}{9} \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {97} }}{3}\)
b) Ta có \(B = \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}.\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^3} - 3.\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right).\frac{7}{3}}}{{\frac{{ - 4}}{3}}} = - \frac{{595}}{{36}}\)
Cho phương trình \({x^2} - 2x + m + 2 = 0\). Tìm m để phương trình có nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10\).
Ta có: \(a = 1;b = - 2 \Rightarrow b' = - 1;c = m + 2\). Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) khi và chỉ khi
\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \;m \le - 1\)
Theo hệ thức Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = m + 2\). Vậy \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)
\( \Leftrightarrow 4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10 \Leftrightarrow - 2m = 10 \Leftrightarrow m = - 5{\rm{ }}\)(thỏa mãn điều kiện \(m \ge - 1\))
Đáp số: \(m = - 5\).
Cách khác: Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\). Theo hệ thức Viète, ta có:
\({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = m + 2\) (Tương tự cách giải trên):
\({x_1}^2 + {x_2}^2 = 10 \Leftrightarrow 4 - 2\left( {\;m + 2} \right) = 10 \Leftrightarrow \;m = - 5\)
Thử lại: Với \(m = - 5\), ta có phương trình \({x^2} - 2x - 3 = 0\). Ta có \(a = 1;b = - 2;c = - 3 \Rightarrow ac = - 2 < 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm.
Chú ý: Vì ta giả sử có nghiệm, để tìm được \(m\), sau đó ta phải thử lại. Nếu làm như cách thứ nhất, ta tìm điều kiện cho phương trình có nghiệm thì không cần thử lại.
Cho phương trình \({x^2} - 2mx + 2\;m - 3 = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2\), trong đó \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.
Hướng dẫn: Trước hết phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm; sau đó áp dụng hệ thực Viète để tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\) qua các hệ số.
Ta có \(a = 1;b = - 2\;m \Rightarrow \;b' = - m;c = 2\;m - 3\). Phương trình đã cho có nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{\Delta ' \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ne 0}\\{{{\left( { - m} \right)}^2} - \left( {2m - 3} \right) \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 2 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(m\) vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\)) Vậy \(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right) = 4{m^2} - 4m + 6 = \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) + 5n\)
\( = {(2m - 1)^2} + 5 \ge 5;\forall m\left( {{{(2m - 1)}^2} \ge 0,\forall m} \right)\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)
Chú ý: Nếu ta không đặt điều kiện phương trình có nghiệm thì vẫn đúng đáp số, nhưng lời giải như vậy chưa chính xác.
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} + 2x + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(3{x_1} + 2{x_2} = 1\).
Hướng dẫn: Biểu thức \(3{x_1} + 2{x_2}\) gọi là không đối xứng. Áp dụng hệ thức Viète, tính \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\) và \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\). Ta có hệ phương trình, từ đó tìm được \(m\).
Ta có: \(a = 1;b = 2 \Rightarrow \;b' = 1;c = m\). Phương trình có nghiệm \({x_1}\); \({x_2}\) khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\)
Theo hệ thức Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - 2\) và \({x_1}{x_2} = m\). Xét hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2}\\{3{x_1} + 2{x_2} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 5}\\{{x_2} = - 7}\end{array}} \right.} \right.\) (hệ hai ẩn bậc nhất đối
với \({x_1}\) và \({x_2}\) ). Thế \({x_1} = 5\) và \({x_2} = - 7\) vào phương trình \({x_1}{x_2} = m\), ta có: \(m = 5.( - 7) \Leftrightarrow m = - 35\) (thỏa mãn điều kiện \(m \le 1\)).
Đáp số: \[m{\rm{ }} = - 35\].
Sau những vụ va chạm giữa các xe trên đường, cảnh sát thường sử dụng công thức dưới đây để ước lượng tốc độ \(v\) (đơn vị: dặm/giờ) của xe từ vết trượt trên mặt đường sau khi thắng đột ngột \(d = \frac{1}{{30f}}{v^2}\). Trong đó, \(d\) là chiều dài vết trượt của bánh xe trên nền đường tính bằng feet \(({\rm{ft}}),f\) là hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đường (là thước đo sự "trơn trượt" của mặt đường).
Đường Cao tốc Long Thành - Dầu Giây có tốc độ giới hạn là \(100\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\). Sau một vụ va chạm giữa hai xe, cảnh sát đo được vết trượt của một xe là \(d = 185{\rm{ft}}\) và hệ số ma sát mặt đường tại thời điểm đó là \(f = 0,73\). Chủ xe đó nói xe của ông không chạy quá tốc độ. Hãy áp dụng công thức trên để ước lượng tốc độ chiếc xe đó rồi cho biết lời nói của người chủ xe đúng hay sai? (Biết 1 dặm \( = 1609\;{\rm{m}})\). (Làm tròn các kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
1 dặm \( = 1609\;{\rm{m}} = 1,609\;{\rm{km}}\). Tốc độ của người lái xe là:
\(d = \frac{1}{{30f}} \cdot {v^2} \Rightarrow {v^2} = 30fd = 30 \cdot 185 \cdot 0,73 = 4051,5 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = 63,65{\rm{ (nh\^a n) }}}\\{v = - 63,65{\rm{ (loai) }}}\end{array}} \right.\)
\(v = 63,65 \cdot 1,609 = 102,41(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\)
Vì \(102,41 > 100\) (km/giờ) nên người chủ xe chạy quá tốc độ.
Vậy người chủ xe nói sai.
Một xe tải có chiều rộng là \(2,4\;{\rm{m}}\) chiều cao là \(2,5\;{\rm{m}}\) muốn đi qua một cái cổng hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là \(2\sqrt 5 \;{\rm{m}}\) (bỏ qua độ dày của cổng).
a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) gọi parabol \((P):y = a{x^2}\) với a \( < 0\) là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh \(a = - 1\).
b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?
a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên \({\rm{MA}} = {\rm{NA}} = 2\;{\rm{m}}\). Theo giả thiết ta có \({\rm{OM}} = {\rm{ON}} = 2\sqrt 5 \).
Xét vuông tại \(A\), ta có: \({\rm{OA}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{M}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{M}}^2}} = \sqrt {{{(2\sqrt 5 )}^2} - {2^2}} = 4\;{\rm{m}}\).
\( \Rightarrow {\rm{M}}(2; - 4) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 4 = a{.2^2} \Rightarrow a = - 1\).
b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.
\( \Rightarrow {\rm{AB}} = 2,5\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{OB}} = {\rm{OA}} - {\rm{AB}} = 4 - 2,5 = 1,5\;{\rm{m}}\)
\(({\rm{HT}}):y = - \frac{3}{2}\)
Đường thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = - {x^2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = \frac{3}{2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right),T\left( { - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right)} \right.\)
\( \Rightarrow {\rm{HT}} = 3\sqrt 2 \approx 4,24\;{\rm{m}} > 2,4\;{\rm{m}}.\)Vậy xe tải có thể đi qua cổng.
Giả sử Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m, điểm cao nhất trên cổng cách mặt đất 185,6m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Hỏi vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn bao nhiêu mét? (làm tròn đến cm )
Cái cổng có hình dạng là một parabol có phương trình dạng: \((P):y = a{x^2}(a < 0)\).
\({\rm{OA}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{162}}{2} = 81\;{\rm{m}}\) \( \Rightarrow {\rm{A}}(81; - 185,6) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 185,6 = a{.81^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 185,6}}{{{{81}^2}}} = \frac{{ - 185}}{{6561}}\)
\((P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2}\)
\({\rm{HM}} = {\rm{EH}} - {\rm{ME}} = 185,6 - 43 = 142,6\;{\rm{m}}\)
\( \Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_{\rm{M}}}; - 142,6} \right) \in (P):y = \frac{{ - 185}}{{6561}}{x^2} \Rightarrow - 142,6 = \frac{{ - 185}}{{6561}}x_{\rm{M}}^2\)
\( \Rightarrow {x_{\rm{M}}}^2 = \frac{{ - 142,6.6561}}{{ - 185}} = \frac{{4677993}}{{925}} \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = \sqrt {\frac{{4677993}}{{925}}} \approx 71,11\;{\rm{m}}\)
\( \Rightarrow {\rm{OE}} = 71,11\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{EA}} = {\rm{OA}} - {\rm{OE}} = 81 - 71,11 = 9,89\;{\rm{m}}.\)
Vậy vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng \(A\) một khoảng là \(9,89\;{\rm{m}}\).
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 4x + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} - {x_2} = 4\).
Ta có: \(a = 1;b = - 4 \Rightarrow \;b' = - 2;c = m\). Phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) khi và chỉ khi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 0}\\{\Delta ' \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ne 0}\\{4 - m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \;m \le 4} \right.} \right.\)
Theo hệ thức Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 4;{x_1}{x_2} = m\). Xét hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 4}\\{{x_1} - {x_2} = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 4}\\{{x_2} = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy \(m = 0\) (thỏa điều kiện \(m \le 4\)).
Tìm hai số biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 và hiệu các bình phương của chúng là 119.
Gọi \(x\) và \(y\) là hai số cần tìm. Theo đề Câu, ta có hệ
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y = 9}\\{{x^2} - {y^2} = 119}\end{array}} \right.\)
Giải ra hai số cần tìm là \(\left( {12;5} \right)\) hoặc \(\left( { - 19,2; - 15,8} \right)\).
Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự định. Nếu năng suất tăng lên 10 sản phẩm thì tổ đó hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến.
Gọi năng suất dự kiến là \(x\) (sản phẩm/ngày; \(x \in \mathbb{N}\) ).
Nếu tăng năng suất lên 10 sản phẩm thì số ngày hoàn thành 350 sản phẩm là \(\frac{{350}}{{x + 10}}\) (ngày).
Nếu giảm năng suất 10 sản phẩm thì số ngày hoàn thành 350 sản phẩm là \(\frac{{350}}{{x - 10}}\) (ngày).
Theo đề Câu, ta có phương trình
\(\frac{{350}}{{x - 10}} - \frac{{350}}{{x + 10}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 3600 \Leftrightarrow x = \pm 60\)
So với điều kiện, vậy năng suất dự kiến là 60 (sản phẩm/ngày)
Một nhóm thợ phải thực hiện kế hoạch sản suất 3000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu, họ thực hiện đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ đã vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm, nên đã hoàn thành sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày cần phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất là \(x\) (sản phẩm/ngày, \(\left. {x \in {\mathbb{Z}^*}} \right)\).
Suy ra số sản phẩm làm trong 8 ngày đầu là \(8x\) (sản phẩm).
Thời gian làm số sản phẩm còn lại là: \(\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}\) (ngày).
Thời gian theo kế hoạch là \(\frac{{3000}}{x}\)(ngày).
Theo đề Câu nhóm thợ đã hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với dự định, ta có phương trình:
\(8 + \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} + 2 = \frac{{3000}}{x} \Leftrightarrow {x^2} + 50x - 15000 = 0\).
Ta có\(\Delta = {21^2} - 4 \cdot \left( { - 270} \right) = 1521 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = - 30\) (loại); \({x_2} = 9\) (nhận).
Vậy mỗi ngày nhó thợ cần sản xuất 9 sản phẩm.
Một người đi xe đạp quãng đường từ \(A\) đến \(B\) dài \(30\;{\rm{km}}\). Khi từ \(B\) về \(A\), người đó chọn con đường khác dài hơn \(6\;{\rm{km}}\) và đi với vân tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là \(3\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\), nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Ta có 20 phút \( = \frac{1}{3}\) giờ. Gọi vận tốc lúc đi là \(x\,(\;{\rm{km}}/{\rm{h}},x > 0)\).
Suy ra thời gian đi quãng đường từ \(A\) đến \(B\) dài \(30\;{\rm{km}}\) hết \(\frac{{30}}{x}\) (h).
Khi về, người đó đi quãng đường dài hơn quãng đường lúc đi \(6\;{\rm{km}}\) và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là \(3\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\) nên thời gian hết là \(\frac{{36}}{{x + 3}}\) (h).
Theo đầu Câu, vì thời gian về ít hơn thời gian đi là \(\frac{1}{3}\) giờ nên có phương trình
\(\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{{x + 3}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {x^2} + 21x - 270 = 0.\).
Ta có \(\Delta = {21^2} - 4 \cdot ( - 270) = 1521 > 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} = - 30\) (loại); \({x_2} = 9\) (nhận).
Vậy vận tốc lúc đi là \(9\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\).
Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài \(120\;{\rm{km}}\). Cả đi lẫn về mất 6 giờ 45 phút. Tính vận tốc tàu thủy khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là \(4\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\).
Ta có 6 giờ 45 phút= \(\frac{{27}}{4}\)giờ.
Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là \[x\,({\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}},x > 4)\]
Suy ra vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng là \(x + 4\,(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\).
Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng là \(x - 4\,(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\).
Thời gian tàu thủy đi xuôi dòng \(120\;{\rm{km}}\) là \(\frac{{120}}{{x + 4}}\) (giờ).
Thời gian tàu thủy đi ngược dòng \(120\;{\rm{km}}\) là \(\frac{{120}}{{x - 4}}\) (giờ).
Theo đề Câu, thời gian cả đi lẫn về mất \(\frac{{27}}{4}\) giờ. Ta có phương trình
\(\frac{{120}}{{x + 4}} + \frac{{120}}{{x - 4}} = \frac{{27}}{4} \Leftrightarrow 9{x^2} - 320x - 144 = 0.\)
Ta có \(\Delta = {320^2} - 4 \cdot 9 \cdot ( - 144) = 107584 > 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} = - \frac{4}{9}\) (loại); \({x_2} = 36\) (nhận).
Vậy vận tốc tàu thủy khi nước yên lặng là \(36\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\).
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi \(280\;{\rm{m}}\). Người ta làm một lối đi xung quanh vườn thuộc đất của vườn rộng \(2\;{\rm{m}}\), diện tích đất còn lại để trồng trọt là \(4256\;{{\rm{m}}^2}\). Tính các kích thước của vườn.
Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(x\,(\;{\rm{m}},x > 70)\), khi đó, chiều rộng của khi vườn hình chữ nhật \(280 \div 2 - x = 140 - x(\;{\rm{m}}).\)
Người ta làm một lối đi xung quanh vườn thuộc đất của vườn rộng \(2\;{\rm{m}}\), thì chiều dài phần đất còn lại để trồng trọt là \(x - 4(\;{\rm{m}})\), chiều rộng phần đất còn lại để trồng trọt là \(140 - x - 4 = 136 - x\) \(({\rm{m}}).\)
Theo đầu Câu, diện tích đất trồng còn lại là \(4256\;{{\rm{m}}^2}\), ta có phương trình
\((x - 4) \cdot (136 - x) = 4256 \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 4800 = 0.\)
Ta có \(\Delta = {140^2} - 4 \cdot (4800) = 400 > 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} = 60\) (loại); \({x_2} = 80\) (nhận).
Vậy chiều dài mãnh đất hình chữ nhật là \(80\;{\rm{m}}\), chiều rộng là \(60\;{\rm{m}}\).
Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần. Nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho.
Gọi chữ số hàng chục là \(x\), chữ số hàng đơn vị là \(y\,(x,y \in \mathbb{N},0 < x \le 9,0 \le y \le 9)\).
Theo đề Câu, tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, ta có phương trình
\(6(x + y) = 10x + y{\rm{. }}\) (1)
Nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho, ta có phương trình
\(xy + 25 = 10y + x{\rm{. }}\) (2)
Từ (1) suy ra \(x = \frac{{5y}}{4}\)thay vào (2) ta có \({y^2} - 9y + 20 = 0\).
Giải phương trình này, ta được \({y_1} = 5,{y_2} = 4\).
Với \({y_1} = 5\) thì \({x_1} = 6,25\) (không thỏa mãn).
Với \({y_2} = 4\) thì \({x_2} = 5\) (thỏa mãn).
Vậy số phải tìm là 54.
Một lâm trường dự định làm 75 ha rừng trong một tuần lễ. Do trồng mỗi tuần vượt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm 1 tuần. Hỏi mỗi tuần dự định trồng bao nhiêu ha rừng?
Gọi số ha dự định trồng mỗi tuần là \(x\,({\rm{ha}},x > 0)\).
Suy ra thực tế mỗi tuần trồng được \(x + 5\) (ha).
Thời gian dự định trồng 75 ha rừng là \(\frac{{75}}{x}\) (tuần).
Thời gian thực tế trồng 80 ha rừng là \(\frac{{80}}{{x + 5}}\) (tuần).
Theo đề bài, thực tế hoàn thành sớm 1 tuần ta có phương trình
\(\frac{{75}}{x} - \frac{{80}}{{x + 5}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 375 = 0\).
\(\Delta = {10^2} - 4 \cdot ( - 375) = 1600 > 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} = - 25\) (loại); \({x_2} = 15\) (nhận).
Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng 15 ha.
