Giải SBT Toán 9 Bài 3. Hình cầu có đáp án

Gọi r là bán kính của hình cầu (r > 0).

Ta có diện tích hình tròn lớn của nó bằng πr² và bằng 8π nên πr² = 8π hay r² = 8.

Vậy diện tích của mặt cầu đó là: 4πr² = 4π.8 = 32π (cm²).

Gọi bán kính quả bida là r (mm) (r > 0).

Thể tích quả bida là \(\frac{4}{3}\pi {r^3}\) và bằng 36 000π mm³  nên ta có:

\(\frac{4}{3}\pi {r^3} = 36\,\,000\pi \)

Suy ra \[{r^3} = 36\,\,000:\frac{4}{3} = 27\,\,000\]

Do đó r = 30 mm.

Vậy đường kính quả bida đó là 2.30 = 60 mm = 6 cm.

Từ 2R = l và 2l = 3r, suy ra \[R = \frac{l}{2},\,\,r = \frac{{2l}}{3}.\]

Diện tích mặt cầu (C) là: \(4\pi {R^2} = 4\pi \cdot {\left( {\frac{l}{2}} \right)^2} = 4\pi \cdot \frac{l}{4} = \pi {l^2}.\)

Diện tích toàn phần của hình nón (N) là:

\(\pi rl + \pi {r^2} = \pi \cdot \frac{{2l}}{3} \cdot l + \pi \cdot {\left( {\frac{{2l}}{3}} \right)^2} = \frac{2}{3}\pi {l^2} + \frac{4}{9}\pi {l^2} = \frac{{10\pi {l^2}}}{9}.\)

Do tổng diện tích mặt cầu (C) và diện tích toàn phần của hình nón (N) là 171π cm² nên:

\(\pi {l^2} + \frac{{10\pi {l^2}}}{9} = 171\pi \) hay 19πl² = 171π.9

Suy ra l² = 81 nên l = 9 cm (do l > 0).

Khi đó, bán kính mặt cầu (C) là \[R = \frac{l}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\] (cm).

Vậy diện tích của mặt cầu (C) là:

4πR² = 4π.(4,5)² = 81π ≈ 81.3,14 = 254,34 ≈ 254 (cm²).

Ta có bán kính hình cầu và bán kính đáy hình trụ đều là: 1,8 : 2 = 0,9 (m).

Tổng thể tích của hai nửa hình cầu chính là thể tích của một hình cầu có cùng bán kính và bằng:

\(\frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot {\left( {0,9} \right)^3} = 0,972\pi \) (m³).

Thể tích phần hình trụ là:

V = πR²h = π.(0,9)².3,62 = 2,9322π (m³).

Thể tích của bồn chứa là:

0,972π + 2,9322π = 3,9042π ≈ 3,9042.3,14 ≈ 12,3 (m³).

Gọi bán kính đường tròn đáy của cái cốc là R (cm) (R > 0).

Thể tích viên bi có dạng hình cầu với bán kính là 3 cm là:

\(\frac{4}{3}\pi \cdot {3^3} = 36\pi \;\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}).\)

Dễ thấy khi viên bi chìm xuống đáy cốc thì lượng nước trong cốc được dâng thêm bằng thể tích viên bi. Mặt khác, khi viên bi chìm xuống đáy cốc thì chiều cao mực nước dâng thêm 1,5 cm, do đó ta có πR².1,5 = 36π.

Suy ra R² = 24.

Thể tích của khối nước ban đầu trong cốc là:

πR².7,2 = π.24.7,2 = 172,8π ≈ 172,8 . 3,14 ≈ 542,6 (cm³).

Ta có lượng nước bị trào ra khỏi bể bằng thể tích hình cầu và bằng \(\frac{4}{3}\pi {a^3}.\)

Thể tích của bể nước có dạng hình lập phương đó là: (2a)³ = 8a³.

Do đó, lượng nước còn lại trong bể là:

\(8{a^3} - \frac{4}{3}\pi {a^3} = \frac{{\left( {24 - 4\pi } \right){a^3}}}{3}.\)

Ta có tỉ số phần trăm của lượng nước còn lại trong bể và lượng nước bị trào ra khỏi bể là:

   \(\left[ {\frac{{\left( {24 - 4\pi } \right){a^3}}}{3}:\left( {\frac{4}{3}\pi {a^3}} \right)} \right] \cdot 100\% = \left[ {\frac{{\left( {24 - 4\pi } \right){a^3}}}{3} \cdot \frac{3}{{4\pi {a^3}}}} \right] \cdot 100\% \)

\( = \frac{{6 - \pi }}{\pi } \cdot 100\% \approx 91,1\% .\)

Vậy lượng nước còn lại trong bể bằng khoảng 91,1% lượng nước bị trào ra khỏi bể.

Tổng thể tích của hai quả cầu là:

\(\frac{4}{3}\pi \cdot {1^3} + \frac{4}{3}\pi \cdot {3^3} = \frac{{112\pi }}{3}\) (cm³).

Ta có công thức tính độ dài đường sinh l qua chiều cao h và bán kính đáy r của hình nón là:

l² = h² + r². Suy ra h² = l² – r².

Khi đó, chiều cao của hình nón là:

\(\sqrt {{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {108 - 27} = \sqrt {81} = 9\) (cm).

Thể tích hình nón là:

\[\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} \cdot 9 = 81\pi \;\] (cm³).

Tỉ số tổng thể tích của hai quả cầu và thể tích hình nón là:

\(\frac{{112\pi }}{3}:\left( {81\pi } \right) = \frac{{112\pi }}{3} \cdot \frac{1}{{81\pi }} = \frac{{112}}{{243}}.\)

Đáp án đúng là: B

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

S_tp = 2πRh + 2πR²

Hay S_tp = 2πR² + 2πR² = 4πR².

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Thể tích hình trụ là:

V = πr²h = π.(3a)².4a = 36πa³.