Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 11: Hình thang cân có đáp án

Trong hình thang ABCD có:

 A^ và  D^ là 2 góc bù nhau,  B^ và  C^ là 2 góc bù nhau.

Do đó  A^+D^=180°,  B^+C^=180°

Mà  A^=2D^ nên  2D^+D^=180°, suy ra  D^=60°. Do đó  A^=2D^=2⋅60°=120°.

        B^=C^+40° nên C^+40°+C^=180°, hay  2C^=140°, suy ra  C^=70°

Do đó  B^=C^+40°=70°+40°=110°

Vậy hình thang ABCD có  A^=120°;B^=110°;C^=70°;D^=60°.

Xét hình thang ABCD có AB // CD

Ta có:

•  A^ và  D^ là hai góc kề với cạnh bên AD

Suy ra  A^+D^=180° nên trong hai góc đó có có quá 1 góc tù

•  B^ và  C^ là hai góc kề với cạnh bên BC

Suy ra  B^+C^=180° nên trong hai góc đó có có quá 1 góc tù

Do đó, trong bốn góc  A^;B;^C^;D^ có nhiều nhất 2 góc là góc tù.

Do ∆ABC vuông cân tại đỉnh A nên  ABC^=ACB^;  A^=90°

Xét trong ∆ABC ta có:  ABC^+ACB^+A^=180° 

Nên  ABC^=ACB^=180°−A^2=180°−90°2=45°.

Do ∆BCD vuông cân tại đỉnh B nên  BCD^=BDC^;  CBD^=90°

Xét trong ∆BCD ta có:  BCD^+BDC^+CBD^=180° 

Nên  BCD^=BDC^=180°−CBD^2=180°−90°2=45°.

Ta có  ABC^=45°=BCD^ nên AB // CD (hai góc so le trong bằng nhau).

Vậy ABCD là một hình thang với AB, CD là hai đáy; cạnh bên của hình thang đó là AC vuông góc với đáy AB nên hình thang đó là hình thang vuông.

Do ABCD là hình thang cân nên AD= BC, AC = BD,   ADC^=BCD^

Xét ∆ABC và ∆BAD có

BC = AD, AC = BD, cạnh AB chung

Do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c)

Suy ra  BAC^=ABD^.

Từ đó OAB là tam giác cân tại O, nên OA = OB.

Ta có: OA + OC = AC; OB + OD = BD, mà OA = OB, AC = BD

Suy ra OC = OD.

Do đó O cách đều A và B; O cách đều C và D;

Do AB // CD nên  SAB^=SDC^;  SBA^=SCD^ (các cặp góc ở vị trí đồng vị)

Mà  ADC^=BCD^ hay  SDC^=SCD^ suy ra  SAB^=SDC^=SBA^=SCD^

Suy ra SAB, SCD là các tam giác cân tại đỉnh S nên SA = SB, SC = SD

Do đó S cũng cách đều A và B, cách đều C và D.

Vậy S và O cùng nằm trên đường trung trực của AB, của CD nên đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, CD.

 

Do CA là tia phân giác của  C^ nên  BCA^=ACD^

Mà ABCD là hình thang cân nên AB // CD, suy ra  BAC^=ACD^ (hai góc so le trong)

Do đó,  BAC^=BCA^, suy ra ∆ABC cân tại B.

Đặt  BAC^=α thì  C^=2α.

Vì ABCD là hình thang cân nên  D^=C^=2α.

Tam giác ADC vuông tại A nên  ADC^+ACD^=2α+α=90°, suy ra  α=30°, D^=60°.

Lấy điểm M thuộc cạnh huyền DC sao cho DM = AD, mà  D^=60° thì AMD là tam giác đều, nên  MAD^=60°

Khi đó  MAC^=CAD^−MAD^=90°−60°=30°

Suy ra  ACM^=CAM^=30° nên tam giác MAC cân tại M

Do đó AM = MC, mà AM = DM = AD

Nên AM = DM = AD = MC hay DC = 2AD.

Vậy AB = BC = AD, DC = 2AD nên chu vi hình thang bằng

AB + BC + CD + AD = 5AD = 5.2 = 10 cm.