Bài tập Sử dụng tính chất hình thang, hình thang cân để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau lớp 8 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho tứ giác ABCD, biết độ dài hai đường chéo AC và BD là bằng nhau và tổng số đo hai góc của tứ giác tại hai đỉnh A và D là 180°. Đáp án nào dưới đây là đúng về mối quan hệ giữa hai cạnh AD và BC?
AD = BC;
AD < BC;
AD > BC;
AD = 2BC.
Đáp án đúng là: A
Theo giả thiết, ta có: \[\widehat {\,D\,} + \widehat {\,{A_1}} = 180^\circ \]
Mà \[\widehat {\,{A_2}} + \widehat {\,{A_1}} = 180^\circ \] \[\widehat {\,D\,} = \widehat {\,{A_2}}\](Ở vị trí đồng vị)
Suy ra AB // CD hay tứ giác ABCD là hình thang.
Khi đó, hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.
Khi đó AD và BC là hai cạnh bên của hình thang cân ABCD nên AD = BC.
Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy hai điểm E và F trên AB sao cho AE = EF = FB. Đáp án nào dưới đây là đúng
\(\widehat {EDC}\) = 2\(\widehat {FCD}\);
\(\widehat {EDC}\) = \(\widehat {FCD}\);
\(\widehat {EDC}\) = 3\(\widehat {FCD}\);
\(\widehat {EDC}\) < \(\widehat {FCD}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: EF // CD do đó tứ giác CDEF là hình thang.
Xét hai tam giác vuông ADE và BCF, ta có:
+ AE = BF
+ AD = BC
∆ADE = ∆BCF (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)
Suy ra DE = CF.
Hình thang CDEF có hai cạnh bên bằng nhau nên CDEF là hình thang cân.
Do đó \(\widehat {EDC}\) và \(\widehat {FCD}\) là hai góc kề cạnh đáy của hình thang cân CDEF nên chúng bằng nhau.
Cho hình chữ nhật ABCD, gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, DE, CE. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
EF = FG;
CG = FG;
\(\widehat {CDE} = \widehat {DCE}\);
\(\widehat {CDE} + \widehat {DCE} = 180^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Xét hai tam giác vuông ADE và BCE, ta có:
+ AE = BE
+ AD = BC
∆ADE = ∆BCE (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)
Suy ra DE = CE hay ∆CDE là tam giác cân tại E.
FG // CD (FG là đường trung bình của ∆CDE) suy ra CDFG là hình thang.
Lại có F, G là trung điểm của DE và CE mà DE = CE.
Suy ra DF = CG Hình thang CDFG có hai cạnh bên bằng nhau nên nó là một hình thang cân.
Khi đó \(\widehat {CDE} = \widehat {DCE}\)
Cho tứ giác ABCD, biết độ dài hai đường chéo AC và BD là bằng nhau và tổng số đo hai góc của tứ giác tại hai đỉnh A và D là 180°. Đáp án nào dưới đây là đúng
2AB = CD;
AD = AC;
\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\);
\(\widehat {ADC} = \widehat {{A_1}}\).
Đáp án đúng là: D
Theo giả thiết, ta có: \[\widehat {\,D\,} + \widehat {\,{A_1}} = 180^\circ \]
Mà \[\widehat {\,{A_2}} + \widehat {\,{A_1}} = 180^\circ \] \[\widehat {\,D\,} = \widehat {\,{A_2}}\](Ở vị trí đồng vị)
Suy ra AB // CD hay tứ giác ABCD là hình thang.
Khi đó, hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.
Khi đó \(\widehat {ADC}\)và \(\widehat {BCD}\) là hai góc kề cạnh đáy của hình thang cân ABCD nên \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\)
Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Gọi E, F là các điểm đối xứng với D, C qua đoạn thẳng AB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
EF = CD;
\(\widehat {AEF} = \widehat {ADC}\);
\(\widehat {EFB} = \widehat {DCB}\);
EF = AE.
Đáp án đúng là: D
Do DE // CF nên tứ giác CDEF là hình thang.
E, F là các điểm đối xứng với D, C qua đoạn thẳng AB.
Mà AD và BC vuông góc với AB.
AB là đường trung trực của DE và CF.
Khi đó CD = EF. Suy ra (A) đúng.
Hình thang CDEF có hai cạnh bên bằng nhau nên tứ giác là hình thang cân.
Khi đó \(\widehat {AEF} = \widehat {ADC}\) và \(\widehat {EFB} = \widehat {DCB}\) nên đáp án (B) và (C) đúng.
Cho tam giác ABC có góc B là góc tù. Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Gọi D là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(\widehat {BAD} = \widehat {ABC}\);
\(\widehat {CDA} = \widehat {BCD}\);
\(\widehat {BAD} = \widehat {CDA}\);
AB = AD.
Đáp án đúng là: C
Do AD và BC cùng vuông góc với d AD // BC
Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.
AB và CD đối xứng với nhau qua đường thẳng d.
Do đó AB = CD.
Hình thang ABCD có hai cạnh bên bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.
Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA}\).
Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD. Lấy E đối xứng với B qua đoạn thẳng CD. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
AB = 2CE;
AB = BC;
AB > CE;
AB = CE.
Đáp án đúng là: D
Do tứ giác ABCD là hình thang cân
Khi đó, AB và CD là hai cạnh bên của ABCD nên AB = CD
Lại có D và E đối xứng với nhau qua đoạn thẳng BC nên BC nằm trên đường trung trực của DE
Suy ra CE = CD
Do đó AB = CE
Trên hai đường thẳng song song, lấy các điểm A, B trên đường thẳng thứ nhất, C, D trên đường thẳng thứ hai sao cho AD = BC. Khẳng định nào dưới đây là sai?
\(\widehat {\,{A_1}} = \widehat {\,{C_1}}\);
AB = AD;
\(\widehat {\,{A_2}} = \widehat {\,{B_1}}\);
\(\widehat {\,{A_2}} + \widehat {\,{D_1}} = 180^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Theo giả thiết, ta có AB // CD và AD = BC
Suy ra ABCD là một hình thang cân.
Khi đó các góc \(\widehat {\,{A_1}} = \widehat {\,{C_1}}\)và \(\widehat {\,{A_2}} = \widehat {\,{B_1}}\)(A và C đúng).
Do AB và CD song song nên \(\widehat {\,{A_2}}\) bù với \(\widehat {{D_1}}\)(D đúng).
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với C qua AD, F là điểm đối xứng với B qua A. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(\widehat {BFE} = \widehat {DEF}\);
\(\widehat {BFE} = \widehat {DEC}\);
AF = CG;
AB = GE.
Đáp án đúng là: A
Gọi G là giao điểm của AD và CE, suy ra G là trung điểm của CE.
F đối xứng với B qua A, E đối xứng với C qua G mà AG // BC
EF // BC // AG
Do đó tứ giác ADEF là hình thang.
Lại có AF = AB = CD mà CD = DE AF = DE
Hình thang ADEF có hai cạnh bên bằng nhau nên tứ giác là hình thang cân.
Do đó nên \(\widehat {BFE} = \widehat {DEF}\).
Cho tam giác ABC có góc B là góc tù. Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Gọi D là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
AB = CD;
\(\widehat {CDA} = \widehat {BCD}\);
\(\widehat {BAD} = \widehat {ABC}\);
AB = AD.
Đáp án đúng là: A
Do AD và BC cùng vuông góc với d AD // BC
Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.
AB và CD đối xứng với nhau qua đường thẳng d.
Do đó \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA}\).
Hình thang ABCD có hai góc kề cạnh đáy bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.
Suy ra AB = CD.
Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
AD = BC.
AB = CD.
AC =
BC = BD.
Đáp án đúng là: A
Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau.
Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC.
Cho hình thang cân MNPQ có hai đáy là MN và PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?
MP = NQ.
MN = PQ.
MQ // NP.
MP = MQ.
Đáp án đúng là: A
Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau.
Vì ABCD là hình thang cân nên MP = NQ.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có \[\widehat C = 70^\circ .\] Số đo của góc D là
110°.
70°.
180°.
20°.
Đáp án đúng là: B
Hình thang cân có hai góc kề một đáy bằng nhau, do đó \(\widehat D = \widehat C = 70^\circ .\)
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD và BC. Khẳng định nào sau đây diễn tả đúng nhất cơ sở logic để chứng minh hai góc \(\widehat {EAB}\) và \(\widehat {EBA}\) bằng nhau?
Hai góc này bằng nhau do chúng là hai góc so le trong với góc ở đáy CD.
Hai góc này bằng nhau do tam giác EAB mặc định là tam giác đều.
Hai góc này bằng nhau vì chúng cùng bù với hai góc kề một đáy của hình thang cân.
Hai góc này bằng nhau vì chúng là hai góc đối đỉnh.
Đáp án đúng là: C
Vì ABCD là hình thang cân nên \(\widehat {DAB} = \widehat {CBA}.\)
Mà \(\widehat {EAB} + \widehat {DAB} = 180^\circ \) và \(\widehat {EBA} + \widehat {CBA} = 180^\circ \) (các cặp góc kề bù).
Do đó \(\widehat {EAB} = \widehat {EBA}.\) Phép chứng minh này hoàn toàn dựa trên tính chất kề bù và góc kề đáy của hình thang cân, không chứa bất kì sự ngộ nhận nào về tam giác đều hay so le trong sai vị trí.
Cho hình thang cân ABCD có đáy AB song song với đáy CD (đáy AB nhỏ hơn đáy CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Để chứng minh OA = OB, một học sinh đã đưa ra 4 hướng lập luận dưới đây. Đâu là hướng lập luận đúng duy nhất?
Giao điểm hai đường chéo của một tứ giác có tính đối xứng tuyệt đối như hình thang cân sẽ tự động chia đôi mỗi đường chéo. Do đó, \(OA = \frac{1}{2}AC\) và \(OB = \frac{1}{2}BD\). Kết hợp với hai đường chéo bằng nhau (AC = BD), ta suy ra OA = OB.
Xét ∆OAD và ∆OBC, có AD = BC (tính chất hình thang cân) và cặp góc đối đỉnh \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\). Vì hình thang cân có các cặp góc kề một đáy bằng nhau, ta được phép trực tiếp suy ra cặp góc nhọn còn lại là \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\). Do đó, ∆OAD = ∆OBC (g.c.g), dẫn đến cạnh tương ứng OA = OB.
Vì đáy AB song song với đáy CD, ta có các cặp góc so le trong bằng nhau là \(\widehat {OAB} = \widehat {OCD}\) và \(\widehat {OBA} = \widehat {ODC}\). Nhìn hình ta có \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\). Khi đó, ∆OAB cân tại O, suy ra OA = OB.
Xét ∆ADC và ∆BCD, có AD = BC, AC = BD và cạnh đáy CD là cạnh chung. Suy ra ∆ADC = ∆BCD (c.c.c), kéo theo hai góc tương ứng \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\). Sự thật này chứng minh ∆OCD cân tại đỉnh O, tức là OC = OD. Kết hợp với hai đường chéo AC = BD, ta dùng phép trừ đoạn thẳng: OA = AC – OC và OB = BD – OD, từ đó có được kết quả OA = OB.
Đáp án đúng là: D
⦁ Phương án A sai: Hình thang cân không có tính chất hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm.
⦁ Phương án B sai: Hình thang cân có hai góc kề một đáy bằng nhau (tức là toàn bộ góc lớn \(\widehat {DAB} = \widehat {CBA}\)). Lập luận đã tự ý gán tính chất của góc lớn này cho các góc nhỏ \(\widehat {OAD}\) và \(\widehat {OBC}\) bên trong mà không thông qua bất kỳ chứng minh nào. Đây là một lập luận có lỗi nghiêm trọng.
⦁ Phương án C sai: Bạn học sinh “nhìn hình” để ép \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA},\) đây là lập luận vô căn cứ.
⦁ Phương án D đúng.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
AC = BD.
∆ABD = ∆ABC.
\(\widehat {CAB} = \widehat {DBA}.\)
OA = OB.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên AC = BD.
b) Sai. Xét ∆ABD và ∆BAC có:
AB là cạnh chung, BD = AC, AD = BC (tính chất hình thang cân)
Do đó ∆ABD = ∆BAC (c.c.c).
c) Đúng. Vì ∆ABD = ∆BAC (c.c.c) nên \(\widehat {CAB} = \widehat {DBA}.\)
d) Đúng. Vì \(\widehat {CAB} = \widehat {DBA}\) nên ∆OAB cân tại O, suy ra OA = OB.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ hai đường cao AH và BK lần lượt vuông góc với đáy CD tại H và K. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
∆AHD = ∆BKC.
AB = CK.
\(DH = \frac{{CD - AB}}{2}.\)
\(HC = \frac{{CD + AB}}{2}.\)
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Xét ∆AHD (vuông tại H) và ∆BKC (vuông tại K) có:
AD = BC và \(\widehat D = \widehat C\) (vì ABCD là hình thang cân),
Do đó ∆AHD = ∆BKC (cạnh huyền – góc nhọn).
b) Sai. Ta có AB // CD mà BK ⊥ CD nên AB ⊥ BK.
Lại có AH // BK (cùng vuông góc với CD) nên khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và BK bằng HK và bằng AB.
Vậy AB = HK.
c) Đúng. Vì ∆AHD = ∆BKC nên DH = CK.
Do đó CD = DH + HK + KC = 2DH + AB.
Suy ra \(DH = \frac{{CD - AB}}{2}.\)
d) Đúng. Ta có \(HC = HK + KC = AB + DH = AB + \frac{{CD - AB}}{2} = \frac{{CD + AB}}{2}.\)
Cho tam giác ABC cân tại A. Một đường thẳng d song song với BC cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E. Gọi I là giao điểm của BE và CD. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Tứ giác BDEC là hình thang cân.
IB = IC.
DE là đường trung trực của AI.
AI ⊥ BC.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Tứ giác BDEC có DE // BC nên BDEC là hình thang.
Lại có \(\widehat B = \widehat C\) (vì ABC là tam giác cân tại A) nên BDEC là hình thang cân.
b) Đúng. Xét ∆BCD và ∆CBE có:
BC là cạnh chung, \(\widehat {BCD} = \widehat {CBE}\), CD = BE (vì BDEC là hình thang cân)
Do đó ∆BCD = ∆CBE (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\).
Nên ∆IBC cân tại I. Khi đó IB = IC.
c) Đúng. Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC.
Mà BD = CE (vì BDEC là hình thang cân) nên AD = AE.
Suy ra A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
Lại có IB = IC, mà CD = BE (do BDEC là hình thang cân) nên ID = IE, suy ra I cũng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
Do đó AI chính là đường trung trực của DE.
Suy ra AI ⊥ DE.
d) Sai. Vì AI là đường trung trực của DE suy ra AI ⊥ DE.
Mà DE // BC nên AI ⊥ BC.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Tia phân giác của góc D và tia phân giác của góc C cắt nhau tại điểm K. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}.\)
Tam giác DKC cân tại K.
∆ADK = ∆BCK.
Tam giác ABK cân tại A.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì ABCD là hình thang cân nên \[\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\].
b) Đúng. Vì DK là phân giác của \(\widehat {ADC}\) nên \(\widehat {ADK} = \widehat {KDC} = \widehat {\frac{{ADC}}{2}.}\)
Vì CK là phân giác của \[\widehat {BCD}\] nên \[\widehat {BCK} = \widehat {KCD} = \frac{{\widehat {BCD}}}{2}.\]
Do đó \(\widehat {KDC} = \widehat {KCD}.\) Khi đó ∆DKC cân tại K.
c) Đúng. Từ các kết quả của ý b) ta cũng có \(\widehat {ADK} = \widehat {BCK}.\)
Xét ∆ADK và ∆BCK có:
AD = BC (vì ABCD là hình thang cân),
\(\widehat {ADK} = \widehat {BCK}\)
DK = CK (vì ∆DKC cân tại K).
Do đó ∆ADK = ∆BCK (c.g.c).
d) Sai. Vì ∆ADK = ∆BCK nên AK = BK, suy ra ∆ABK cân tại K.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Qua B kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại điểm E. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
∆ABE = ∆EDA.
Tam giác BCE cân tại B.
CE = CD – AB.
Kẻ đường cao BH (điểm H nằm trên đoạn thẳng CE). Khi đó khoảng cách từ D đến chân đường cao H có giá trị bằng \[\frac{{CD - AB}}{2}\].
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì AB // DE nên \(\widehat {BAE} = \widehat {DEA}\) (so le trong).
Vì BE // AD nên \(\widehat {BEA} = \widehat {DAE}\) (so le trong).
Xét ∆ABE và ∆EDA có:
\(\widehat {BAE} = \widehat {DEA},\) AE là cạnh chung, \(\widehat {BEA} = \widehat {DAE}\)
Do đó ∆ABE = ∆EDA (c.g.c).
b) Đúng. Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC.
Mà ∆ABE = ∆EDA (c.g.c) nên BE = AD.
Do đó BE = BC, suy ra ∆BCE cân tại B.
c) Đúng. Vì ∆ABE = ∆EDA (c.g.c) nên AB = DE.
Suy ra CE = CD – DE = CD – AB.
d) Sai. Vì ∆BCE cân tại B, đường cao BH xuất phát từ đỉnh cân sẽ đồng thời là đường trung tuyến.
Do đó, điểm H là trung điểm của CE.
Suy ra \(EH = \frac{1}{2}CE = \frac{1}{2}\left( {CD - AB} \right).\)
Khi đó, \(DH = DE + EH = AB + \frac{{CD - AB}}{2} = \frac{{CD + AB}}{2}\).
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có \(\widehat D = 45^\circ \) và chiều cao AH = 6 cm, AB = 4 cm. Tính độ dài đáy lớn CD (đơn vị: cm).
Đáp án: 16.
Trong ∆AHD vuông tại H có \(\widehat D = 45^\circ \) nên ∆AHD vuông cân tại H, suy ra DH = AH = 6 cm.
Kẻ đường cao BK, dễ dàng chứng minh được ∆AHD = ∆BKC (cạnh huyền – góc nhọn) nên CK = DH = 6 cm.
Chứng minh được HK = AB = 4 cm (khoảng cách giữa hai đường thẳng AH, BK song song với nhau).
Vậy CD = DH + HK + CK = 6 + 4 + 6 = 16 (cm).
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Biết chu vi hình thang bằng 40 cm và AB + CD = 26 cm. Tính độ dài cạnh bên AD.
Đáp án: 7.
Chu vi hình thang là AB + CD + AD + BC = 40 cm.
Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC.
Thay số ta được: 26 + 2∙AD = 40, suy ra 2∙AD = 14, vậy AD = 7 cm.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có đường chéo DB là tia phân giác của góc D. Biết chu vi hình thang là 34 cm và CD = 10 cm. Tính độ dài đáy nhỏ AB (đơn vị: cm).
Đáp án: 8.
Vì DB là phân giác góc D nên \(\widehat {ADB} = \widehat {BDC}\).
Vì AB // CD nên \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (so le trong).
Suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {ABD}\), nên tam giác ABD cân tại A, do đó AD = AB.
Vì ABCD là hình thang cân nên BC = AD.
Từ đó suy ra AB = BC = AD.
Chu vi hình thang là 3∙AB + CD = 34.
Suy ra 3∙AB + 10 = 34, dẫn đến 3∙AB = 24, vậy AB = 8 (cm).
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có \(\widehat A = 118^\circ .\) Tính số đo góc C (đơn vị: độ).
Đáp án: 62.
Vì AB // CD nên ta dễ dàng chứng minh được \(\widehat A + \widehat D = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat D = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ .\)
Lại có ABCD là hình thang cân nên \(\widehat C = \widehat D = 62^\circ .\)
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Biết tổng độ dài hai đường chéo bằng 24 cm và OD = 7 cm. Tính độ dài đoạn thẳng OA (đơn vị: cm).
Đáp án: 5.
Vì ABCD là hình thang cân nên AC = BD.
Mà AC + BD = 24 cm nên \(AC = BD = \frac{{24}}{2} = 12\) cm.
Xét ∆ADC và ∆BCD có:
AD = BC, \(\widehat D = \widehat C,\) AD = BD
Do đó ∆ADC = ∆BCD (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) nên tam giác OCD cân tại O.
Do đó OC = OD = 7 cm.
Khi đó OA = AC – OC = AC – OD = 12 – 7 = 5 (cm).
