Giải SBT Toán 7 CD Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên có đáp án

c) Xét DMAE và DMCF có:

$\widehat{AEM}=\widehat{CFM}\left(=90°\right)$,

MA = MC (vì M là trung điểm của AC),

$\widehat{AME}=\widehat{CMF}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆MAE = ∆MCF (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra ME = MF (hai cạnh tương ứng).                  

Ta có BA và BM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm B xuống đường thẳng AC

Suy ra AB < BM.

Hay AB < BE + EM (1) và AB < BF – MF (2)       

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:

AB + AB < BE + EM + BF – MF

Mà ME = MF

Do đó 2AB < BE + BF.

Vậy BE + BF > 2AB.

a) Xét DMAB vuông tại M có: $\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 ).

Ta có $\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=180°$

Suy ra $\widehat{MAB}+\widehat{CAN}=180°-\widehat{BAC}=90°$

Lại có $\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90°$

Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ .

Vậy $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ .

b) Xét DMAB và DNCA có:

$\widehat{BMA}=\widehat{ANC}\left(=90°\right)$,

BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),

$\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).

Vậy MA = NC.

c) Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

Lại có $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180°$  (tổng ba góc của tam giác ABC)

Suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\frac{180°-90°}{2}=45°$ .

• Nếu a // BC thì $\widehat{MAB}=\widehat{ABC}$  (hai góc so le trong).

Do đó $\widehat{MAB}=45°$ .

Xét DABM có $\widehat{AMB}+\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{MBA}=180°-\widehat{AMB}-\widehat{MAB}=180°-90°-45°=45°$ .

Do đó $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$  (cùng bằng 45°).

Xét ∆AMB có $\widehat{AMB}=90°$  và $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$  nên DAMB vuông cân tại M.

Suy ra MA = MB             (1)

• Nếu a // BC thì $\widehat{CAN}=\widehat{ACB}=45°$  (hai góc so le trong)

Xét DABM có $\widehat{ACN}+\widehat{ANC}+\widehat{CAN}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACN}=180°-\widehat{ANC}-\widehat{CAN}=180°-90°-45°=45°$ .

Do đó $\widehat{ACN}=\widehat{CAN}$  (cùng bằng 45°).

Xét ∆ANC có  $\widehat{ANC}=90°$ và $\widehat{ACN}=\widehat{CAN}$  nên ∆ANC vuông cân tại N.

Suy ra CN = AN              (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.

Vậy MA = AN.

Kẻ DH ⊥ BC.

Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên ${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$ .

Xét DDAB và DDHB có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BHD}\left(=90°\right)$,

BD là cạnh chung,

${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$ (chứng minh trên)

Do đó ∆DAB = ∆DHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng)  (1)

Vì DDHC vuông tại H nên HD < DC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất)         (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD < DC.

Vậy AD < DC.

a) Vì DABD vuông tại A nên ${\widehat{B}}_1+{\widehat{D}}_1=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 )

Mà ${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$  (do BD là tia phân giác của góc ABC) và ${\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$  (hai góc đối đỉnh).

Nên ${\widehat{B}}_2+{\widehat{D}}_2=90°$

Vì DCDM vuông tại C nên $\widehat{M}+{\widehat{D}}_2=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 ).

Suy ra $\widehat{M}={\widehat{B}}_2$

Do đó tam giác CBM cân tại C.

Vậy tam giác CBM cân tại C.

b) Vì tam giác CBM cân tại C (chứng minh câu a)

Nên CM = BC.

Vì DABC vuông tại A nên BC > AC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Suy ra CM > AC.

Vậy CM > AC.

a) Vì DBHE vuông tại H nên BH ≤ BE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).      

Vì DCKE vuông tại K nên CK ≤ CE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Suy ra BH + CK ≤ BE + CE = BC.

Vậy BH + CK ≤ BC.

b) Ta có BH + CK ≤ BC (theo câu a).

Do đó BH + CK lớn nhất khi BH + CK = BC

Điều này xảy ra khi và chỉ khi BH = BE, CK = CE.

Khi đó BH ≡ BE, CK ≡ CE

Do đó BE ⊥ Ax và CE ⊥ Ax

Hay BC ⊥ Ax.

Vậy nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.