Giải SBT Toán 7 CD Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên có đáp án
19 câu hỏi
Cho góc xOy và điểm B thuộc tia Ox, B ≠ O. Vẽ H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng Oy trong các trường hợp sau:
a) xOy^ là góc nhọn;
a) xOy^ là góc nhọn
b) xOy^ là góc vuông;
b) xOy^ là góc vuông
c) xOy^ là góc tù.
c) xOy^ là góc tù
Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, lấy điểm M nằm giữa A và H. Chứng minh:
a) BH = CH;
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Xét DAHB và DAHC có:
AHB^=AHC^=90°,
BA = AC (chứng minh trên),
AH là cạnh chung
Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).
Vậy BH = CH.
b) MB = MC;
b) Vì ∆ABH = ∆ACH (chứng minh câu a)
Suy ra HAB^=HAC^ (hai góc tương ứng).
Xét DAMB và DAMC có:
BA = AC (chứng minh câu a),
MAB^=MAC^ (do HAB^=HAC^ ),
AM là cạnh chung
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c).
Suy ra BM = CM (hai cạnh tương ứng).
Vậy BM = CM.
c) MA < AC.
c) Vì AMC^ là góc ngoài của tam giác CMH tại đỉnh M
Nên AMC^=MHC^+MCH^
Mà MHC^=90° nên AMC^ là góc tù
Xét tam giác AMC có AMC^ là góc tù
Nên MC < AC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).
Vậy MC < AC.
Từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng d, vẽ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC tùy ý (Hình 40).
a) So sánh độ dài AH và AB, AH và AC.
a) Ta có AH và AB lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Suy ra AH < AB.
Tương tự, AH và AC lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Suy ra AH < AC.
Vậy AH < AB và AH < AC.
b) Chứng minh: Nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.
b) • Nếu AB = AC.
Xét DAHB và DAHC có:
AHB^=AHC^=90°,
AB = AC (giả thiết),
AH là cạnh chung
Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).
• Nếu BH = CH
Xét DAHB và DAHC có:
AHB^=AHC^=90°,
BH = CH (giả thiết),
AH là cạnh chung
Do đó ∆ABH = ∆ACH (hai cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).
Vậy nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC.
a) Vẽ E là hình chiếu của A trên đường thẳng BM.
a)
b) Vẽ F là hình chiếu của C trên đường thẳng BM.
b) 
c) Chứng minh BE + BF > 2AB.
c) Xét DMAE và DMCF có:
AEM^=CFM^=90°,
MA = MC (vì M là trung điểm của AC),
AME^=CMF^ (hai góc đối đỉnh)
Do đó ∆MAE = ∆MCF (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra ME = MF (hai cạnh tương ứng).
Ta có BA và BM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm B xuống đường thẳng AC
Suy ra AB < BM.
Hay AB < BE + EM (1) và AB < BF – MF (2)
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:
AB + AB < BE + EM + BF – MF
Mà ME = MF
Do đó 2AB < BE + BF.
Vậy BE + BF > 2AB.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:
a) ABM^=CAN^ ;
a) Xét DMAB vuông tại M có: ABM^+MAB^=90° (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 ).
Ta có MAB^+BAC^+CAN^=180°
Suy ra MAB^+CAN^=180°−BAC^=90°
Lại có ABM^+MAB^=90°
Suy ra ABM^=CAN^ .
Vậy ABM^=CAN^ .
b) CN = MA;
b) Xét DMAB và DNCA có:
BMA^=ANC^=90°,
BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),
ABM^=CAN^ (chứng minh câu a).
Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).
Vậy MA = NC.
c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.
c) Vì tam giác ABC cân tại A nên ACB^=ABC^
Lại có ACB^+ABC^+BAC^=180° (tổng ba góc của tam giác ABC)
Suy ra ACB^=ABC^=180°−90°2=45° .
• Nếu a // BC thì MAB^=ABC^ (hai góc so le trong).
Do đó MAB^=45° .
Xét DABM có AMB^+MBA^+MAB^=180° (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra MBA^=180°−AMB^−MAB^=180°−90°−45°=45° .
Do đó MAB^=MBA^ (cùng bằng 45°).
Xét ∆AMB có AMB^=90° và MAB^=MBA^ nên DAMB vuông cân tại M.
Suy ra MA = MB (1)
• Nếu a // BC thì CAN^=ACB^=45° (hai góc so le trong)
Xét DABM có ACN^+ANC^+CAN^=180° (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra ACN^=180°−ANC^−CAN^=180°−90°−45°=45° .
Do đó ACN^=CAN^ (cùng bằng 45°).
Xét ∆ANC có ANC^=90° và ACN^=CAN^ nên ∆ANC vuông cân tại N.
Suy ra CN = AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.
Vậy MA = AN.
Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh độ dài AD và DC.
Kẻ DH ⊥ BC.
Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên B^1=B^2 .
Xét DDAB và DDHB có:
BAD^=BHD^=90°,
BD là cạnh chung,
B^1=B^2 (chứng minh trên)
Do đó ∆DAB = ∆DHB (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng) (1)
Vì DDHC vuông tại H nên HD < DC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD < DC.
Vậy AD < DC.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), BD là tia phân giác của góc ABC (D ∈ AC). Qua C kẻ tia Cx vuông góc với AC cắt BD tại M.
a) Chứng minh tam giác CBM là tam giác cân.
a) Vì DABD vuông tại A nên B^1+D^1=90° (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 )
Mà B^1=B^2 (do BD là tia phân giác của góc ABC) và D^1=D^2 (hai góc đối đỉnh).
Nên B^2+D^2=90°
Vì DCDM vuông tại C nên M^+D^2=90° (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 ).
Suy ra M^=B^2
Do đó tam giác CBM cân tại C.
Vậy tam giác CBM cân tại C.
b) So sánh độ dài CM và AC.
b) Vì tam giác CBM cân tại C (chứng minh câu a)
Nên CM = BC.
Vì DABC vuông tại A nên BC > AC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Suy ra CM > AC.
Vậy CM > AC.
Cho tam giác ABC có B^ và C^ nhọn. H và K lần lượt là hình chiếu của B và C trên Ax (Hình 41).
Chứng minh:
a) BH + CK ≤ BC.
a) Vì DBHE vuông tại H nên BH ≤ BE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Vì DCKE vuông tại K nên CK ≤ CE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Suy ra BH + CK ≤ BE + CE = BC.
Vậy BH + CK ≤ BC.
b) Nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.
b) Ta có BH + CK ≤ BC (theo câu a).
Do đó BH + CK lớn nhất khi BH + CK = BC
Điều này xảy ra khi và chỉ khi BH = BE, CK = CE.
Khi đó BH ≡ BE, CK ≡ CE
Do đó BE ⊥ Ax và CE ⊥ Ax
Hay BC ⊥ Ax.
Vậy nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.
