Giải SBT Toán 7 CD Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác có đáp án

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của E trên BC, AB, AC.

Khi đó EM ⊥ BC, EN ⊥ AB, EP ⊥ AC và EN = EM.

• Xét ∆BNE và ∆BME có:

$\widehat{\text{BNE}}=\widehat{BME}\left(=90°\right)$ ,

EN = EM (giả thiết),

BE là cạnh chung.

Do đó ∆BNE = ∆BME (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{\text{NBE}}=\widehat{MBE}$  (hai góc tương ứng).

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ABC.

Do đó phát biểu a là sai.

• Do AB < AC nên $\widehat{ACB}<\widehat{ABC}$  (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Khi đó  $\widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}<\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\widehat{ECB}.$

Do đó phát biểu b là sai.

• Vì AF là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat{\text{BAE}}=\widehat{CAE}$

Xét DANE và DAPE có:

$\widehat{\text{ANE}}=\widehat{APE}\left(=90°\right)$,

AE là cạnh chung,

$\widehat{\text{NAE}}=\widehat{PAE}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆ANE = ∆APE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra EN = EP (hai cạnh tương ứng).

Mà EN = EM (giả thiết).

Nên EM = EN = EP hay điểm E cách đều ba cạnh AB, BC, CA.

Do đó phát biểu c là đúng.

• Xét hai ∆CPE và ∆CME có:

$\widehat{CPE}=\widehat{CME}\left(=90°\right)$,

EP = EM (chứng mình trên),

CE là cạnh chung.

Do đó ∆CPE = ∆CME (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{\text{PCE}}=\widehat{MCE}$  (hai góc tương ứng).

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ACB.

Do đó phát biểu d là đúng.

• Xét DABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}$  nên $3\widehat{BAC}=180°$.     

Suy ra $\widehat{BAC}=\frac{180°}{3}=60°$

Xét tam giác ABC có hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K

Nên AK là tia phân giác của góc BAC.

Suy ra  $\widehat{KAB}=\widehat{KAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{60°}{2}=30°$

Do đó phát biểu a là đúng.

Phát biểu b là sai.

• Vì BK là tia phân giác của góc ABC nên  $\widehat{KBC}=\widehat{KBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Vì CK là tia phân giác của góc ACB nên  $\widehat{KCB}=\widehat{KCA}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Suy ra $\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}+\frac{1}{2}\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}=2.60°=120°$

Do đó $\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=\frac{120°}{2}=60°$

Xét DKBC có $\widehat{KBC}+\widehat{KCB}+\widehat{CKB}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Nên $\widehat{CKB}=180°-\left(\widehat{KBC}+\widehat{KCB}\right)=180°-60°=120°$ .

Phát biểu d là sai.

a) Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

Suy ra I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.

Vậy I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

b) • Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên $\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ .

Vì CE là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat{ACE}=\widehat{ECB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ .

Mà  $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$(do tam giác ABC cân tại A).

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\widehat{ACE}=\widehat{ECB}$ .

• Xét ∆ABD và ∆ACE có:

$\widehat{BAC}$ là góc chung,

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (g.c.g).

Suy ra AD = AE (hai cạnh góc vuông).

• Xét ∆ABK và ∆ACK có:

AB = AC (chứng minh trên),

AK là cạnh chung,

BK = CK (do K là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABK = ∆ACK (c.c.c).

Suy ra $\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$  (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{EAK}=\widehat{DAK}$ .

• Xét ∆AEK và ∆ADK có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{EAK}=\widehat{DAK}$ (chứng minh trên),

AK là cạnh chung.

Do đó ∆AEK = ∆ADK (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AKE}=\widehat{AKD}$  (hai góc tương ứng).

Nên KA là đường phân giác của góc EKD.

Mặt khác do  nên AK là tia phân giác của góc BAC.

Mà theo câu a, I thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC

Nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC.

Do vậy, ba điểm A, I, K thẳng hàng.

Khi đó KI cũng là đường phân giác của góc EKD.

Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.

a) Tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CBA}=90°-\widehat{CAB}=90°-60°=30°$ .

Tam giác EBK vuông tại K có $\widehat{KEB}+\widehat{KBE}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{KEB}=90°-\widehat{KBE}=90°-30°=60°$ .

• Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên $\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\frac{1}{2}\widehat{CAB}=\frac{1}{2}.60°=30°$ .

Tam giác ACE vuông tại C có $\widehat{CEA}+\widehat{CAE}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CEA}=90°-\widehat{CAE}=90°-30°=60°$

Do đó $\widehat{DEB}=\widehat{CEA}=60°$  (hai góc đối đỉnh).

Ta có $\widehat{KEB}=\widehat{DEB}$  (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.

• Ta có $\widehat{KEA}+\widehat{KED}=180°$  (hai góc kề bù)

Hay $\widehat{KEA}+\widehat{KEB}+\widehat{BED}=180°$

Suy ra $\widehat{KEA}=180°-\widehat{KEB}-\widehat{BED}=180°-60°-60°=60°$ .

Do đó $\widehat{KEA}=\widehat{KEB}$  (cùng bằng 60°).

Nên EK là tia phân giác của góc BEA.

Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.

b) Xét ∆ACE và ∆AKE có:

$\widehat{ACE}=\widehat{AKE}\left(=90°\right)$,

AE là cạnh chung,

$\widehat{CAE}=\widehat{KAE}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = KE (hai cạnh tương ứng)   (1)

Xét ∆EKB và ∆EDB có:

$\widehat{EKB}=\widehat{E\text{D}B}\left(=90°\right)$,

BE là cạnh chung,

$\widehat{KEB}=\widehat{DEB}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra KE = DE (hai cạnh tương ứng)   (2)

Từ (1) và (2) ta có EC = EK = ED.

Vậy EC = ED = EK.

a) Vì EI là tia phân giác của góc aEF nên $\widehat{AEI}=\widehat{IEF}=\frac{1}{2}\widehat{AEF}$ .

Vì FI là tia phân giác của góc bFE nên $\widehat{BFI}=\widehat{IFE}=\frac{1}{2}\widehat{BFE}$ .

Vì a // b nên $\widehat{aEF}+\widehat{bFE}=180°$  (hai góc trong cùng phía).

Suy ra $\widehat{IEF}+\widehat{IFE}=\frac{\widehat{aEF}+\widehat{bFE}}{2}=\frac{180°}{2}=90°$ .

Xét DIEF có $\widehat{\text{IEF}}+\widehat{IFE}+\widehat{EIF}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra  $\widehat{EIF}=180°-\left(\widehat{\text{IEF}}+\widehat{IFE}\right)=180°-90°=90°.$

Vậy tam giác EIF là tam giác vuông tại I.

b) Gọi C là hình chiếu của I trên đường thẳng c.

Do EI là tia phân giác của góc AEF nên IA = IC     (1)

Do FI là tia phân giác của góc EFB nên IC = IB      (2)

Từ (1) và (2) ta có IA = IB.

Vậy IA = IB.

a) • Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$ .

Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = AB.

Vì D là trung điểm của AC nên AD = CD = AC.

Mà AB = AC nên AE = EB = AD = CD.

Tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng đi qua G.

Hay ba điểm A, G, M thẳng hàng.

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)

Suy ra  $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$(hai góc tương ứng).

Xét ∆AEG và ∆ADG có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{EAG}=\widehat{DAG}$ (do $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ ),

AG là cạnh chung

Do đó ∆AEG = ∆ADG (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AGE}=\widehat{AGD}$  (hai góc tương ứng).

Do vậy GA là tia phân giác của góc DGE.

• Ta có $\widehat{BGM}=\widehat{AGD},\widehat{CGM}=\widehat{AGE}$  (các cặp góc đối đỉnh)

Mà $\widehat{AGE}=\widehat{AGD}$

Nên $\widehat{BGM}=\widehat{CGM}$

Do đó GM là tia phân giác của góc BGC.

• Xét ∆AME và ∆AMD có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{E\text{A}M}=\widehat{DAM}$ (do $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ ),

AM là cạnh chung,

Do đó ∆AME = ∆AMD (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AME}=\widehat{AMD}$  (hai góc tương ứng)

Nên MA là tia phân giác của góc EMD.

Vậy GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.