Giải SBT Toán 11 Cánh diều Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án
24 câu hỏi
Đáp án đúng là: C
Vì M, M' đối xứng nhau qua gốc tọa độ O nên M, O, M' thẳng hàng.
Ta có:
(OA, OM') = (OA, OM) + (OM, OM') + k360° = 40° + 180° + k360° = 220° + k360°.
Đáp án đúng là: B
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên tan α < 0.
Do đó, từ \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\), ta suy ra
\(\tan \alpha = - \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1} = - \sqrt {\frac{1}{{{{\left( { - \frac{2}{5}} \right)}^2}}} - 1} = - \frac{{\sqrt {21} }}{2}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có tan α + cot α = 2
Suy ra (tan α + cot α)2 = 22 = 4.
Mà (tan α + cot α)2 = tan2 α + 2tan α . cot α + cot2 α
= tan2 α + 2 . 1 + cot2 α = tan2 α + cot2 α + 2 = 4.
Do đó, tan2 α + cot2 α = 4 – 2 = 2.
Đáp án đúng là: A
\(A = \sin \left( {\pi + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi - x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right)\)
\( = - \sin x + \sin x + \cot \left( {\pi + \pi - x} \right) + \tan \left( {\pi + \frac{\pi }{2} + x} \right)\)
\( = \cot \left( {\pi - x} \right) + \tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\)
\( = \cot \left( { - x} \right) + \tan \left( {\pi + x - \frac{\pi }{2}} \right)\)
\( = - \cot x + \tan \left[ { - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]\)
\( = - \cot x - \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)
\( = - \cot x - \cot x = - 2\cot x\).
Đáp án đúng là: B
Vì tan α = 2 xác định nên cos α ≠ 0, hay cos2 α ≠ 0, do đó chia cả tử và mẫu của A cho cos2 α ta được:
\(A = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \frac{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{3{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha - 2\tan \alpha }}{{1 + 3{{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{{2^2} - 2.2}}{{1 + {{3.2}^2}}} = 0\).
Vì ABCDEF là lục giác đều nên
\(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOA} = \frac{{360^\circ }}{6} = 60^\circ = \frac{\pi }{3}\).
Khi đó, ta có:
\(\left( {OA,OB} \right) = \frac{\pi }{3} + k2\pi \);
\(\left( {OA,OC} \right) = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{3} + k2\pi = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \);
\(\left( {OA,OD} \right) = \pi + k2\pi \);
\(\left( {OA,OE} \right) = - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{3} + k2\pi = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \);
\(\left( {OA,OF} \right) = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \).
Vì \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) nên cos α < 0.
Do đó từ sin2 α + cos2 α = 1, suy ra
\(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Khi đó, \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\];
\(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{4}}} = - 2\sqrt 2 \).
Ta có: \(\tan x = \frac{1}{{\cot x}} = \frac{1}{{ - 3}} = - \frac{1}{3}\).
Áp dụng công thức \(1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\), ta được \({\sin ^2}x = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}x}} = \frac{1}{{1 + {{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{{10}}\).
Mà \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) nên sin x > 0. Suy ra \(\sin x = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Khi đó từ \(\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\), suy ra cos x = cot x . sin x = \( - 3.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}} = - \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).
VT = sin4 x + cos4 x
= (sin2 x)2 + (cos2 x)2 + 2sin2 x . cos2 x – 2sin2 x . cos2 x
= (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x . cos2 x
= 12 – 2sin2 x . cos2 x = 1 – 2sin2 x . cos2 x = VP (đpcm).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 24 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
VT = sin6 x + cos6 x
= (sin2 x)3 + (cos2 x)3
= (sin2 x + cos2 x)3 – 3sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x)
= 13 – 3sin2 x cos2 x . 1
= 1 – 3sin2 x cos2 x (đpcm).Vì tan x xác định nên cos x ≠ 0. Chia cả tử và mẫu của A cho cos x ta được:
\(A = \frac{{3\sin x - 5\cos x}}{{4\sin x + \cos x}}\)\( = \frac{{3\tan x - 5}}{{4\tan x + 1}} = \frac{{3.\left( { - 2} \right) - 5}}{{4.\left( { - 2} \right) + 1}} = \frac{{11}}{7}\).Vì tan x xác định nên cos2 x khác 0. Chia cả tử và mẫu của B cho cos2 x ta được:
\(B = \frac{{2{{\sin }^2}x - 3\sin x\cos x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x + \sin x\cos x}}\)\( = \frac{{2{{\tan }^2}x - 3\tan x - 1}}{{{{\tan }^2}x + \tan x}}\)\( = \frac{{2.{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3.\left( { - 2} \right) - 1}}{{{{\left( { - 2} \right)}^2} + \left( { - 2} \right)}} = \frac{{13}}{2}\).
Do \(\cos \frac{{7\pi }}{8} = \cos \left( {\pi - \frac{\pi }{8}} \right) = - \cos \left( { - \frac{\pi }{8}} \right) = - \cos \frac{\pi }{8}\);
\(\cos \frac{{5\pi }}{8} = \cos \left( {\pi - \frac{{3\pi }}{8}} \right) = - \cos \left( { - \frac{{3\pi }}{8}} \right) = - \cos \frac{{3\pi }}{8}\).
Nên A = \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{{5\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{{7\pi }}{8}\)
= \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\left( { - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)^2} + {\left( { - \cos \frac{\pi }{8}} \right)^2}\)
\( = 2\left( {{{\cos }^2}\frac{\pi }{8} + {{\cos }^2}\frac{{3\pi }}{8}} \right)\)
\( = 2\left[ {{{\cos }^2}\frac{\pi }{8} + {{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3\pi }}{8}} \right)} \right]\)
\( = 2\left( {{{\cos }^2}\frac{\pi }{8} + {{\sin }^2}\frac{\pi }{8}} \right) = 2.1 = 2\).
Nhận thấy \(\sin \frac{{9\pi }}{5} = \sin \left( { - \frac{\pi }{5} + 2\pi } \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{5}} \right) = - \sin \frac{\pi }{5}\) nên \(\sin \frac{\pi }{5} + \sin \frac{{9\pi }}{5} = 0\).
Tương tự ta có: \(\sin \frac{{2\pi }}{5} + \sin \frac{{8\pi }}{5} = 0,\,\,\sin \frac{{3\pi }}{5} + \sin \frac{{7\pi }}{5} = 0,\,\,\sin \frac{{4\pi }}{5} + \sin \frac{{6\pi }}{5} = 0\).
Suy ra B = \(\sin \frac{\pi }{5} + \sin \frac{{2\pi }}{5} + ... + \sin \frac{{9\pi }}{5}\)
\[ = \left( {\sin \frac{\pi }{5} + \sin \frac{{9\pi }}{5}} \right) + \left( {\sin \frac{{2\pi }}{5} + \sin \frac{{8\pi }}{5}} \right) + \left( {\sin \frac{{3\pi }}{5} + \sin \frac{{7\pi }}{5}} \right) + \left( {\sin \frac{{4\pi }}{5} + \sin \frac{{6\pi }}{5}} \right) + \sin \frac{{5\pi }}{5}\]
\( = 0 + \sin \pi = 0\).
C = tan 1° . tan 2° . tan 3°. ... . tan 89°
= (tan 1° . tan 89°) . (tan 2° . tan 88°) . ... . (tan 44° . tan 46°) . tan 45°
= [tan 1° . cot(90° – 89°)] . [tan 2° . cot(90° – 88°)] . ... . [tan44° . cot(90° – 46°)] . tan 45°
= (tan 1° . cot 1°) . (tan 2° . cot 2°) . ... . (tan 44° . cot 44°) . tan 45°
= 1 . 1 . ... . 1 . 1
= 1.
Sử dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác.
Do A + C = π – B nên sin(A + C) = sin(π – B) = sin B.
Vậy sin B = sin(A + C).
Sử dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác.
Do A + B + 2C = A + B + C + C = π + C
Nên cos(A + B + 2C) = cos(π + C) = – cos C.
Suy ra cosC = – cos(A + B + 2C).
Ta có: \(\frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2}\), suy ra \(\frac{{B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}\).
Nên \(\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{{B + C}}{2}\).
Ta có: \(\frac{{A + B - 2C}}{2} = \frac{{A + B + C - 3C}}{2} = \frac{{\pi - 3C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{{3C}}{2}\).
Suy ra \(\tan \frac{{A + B - 2C}}{2} = \cot \frac{{3C}}{2}\).
Do sin α + cos α = \(\frac{1}{3}\) nên (sin α + cos α)2 = \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\).
Mà (sin α + cos α)2 = sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α = 1 + 2 sin α cos α.
Do đó, 1 + 2 sin α cos α = \(\frac{1}{9}\), suy ra A = sinα . cos α = \(\frac{{\frac{1}{9} - 1}}{2} = - \frac{4}{9}\).
Ta có: B2 = (sin α – cos α)2 = 1 – 2 sin α cos α = \(1 - 2.\left( { - \frac{4}{9}} \right) = 1 + \frac{8}{9} = \frac{{17}}{9}\).
Do \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) nên sin α < 0 và cos α > 0. Do đó sin α – cos α < 0.
Vậy B = \( - \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).Ta có:
C = sin³ α + cos³ α = (sin α + cos α)3 – 3 sin α cos α(sin α + cos α)
\( = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - 3.\left( { - \frac{4}{9}} \right).\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{13}}{{27}}\).
Ta có:
D = sin4 α + cos4 α = 1 – 2sin2 α cos2 α (theo Bài 9a)
= 1 – 2 (sin α cos α)2 = \(1 - 2.{\left( { - \frac{4}{9}} \right)^2} = \frac{{49}}{{81}}\).Do vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút và chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau 15 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng – 2π (rad).
Do đó, sau 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng \(\frac{{ - 2\pi }}{{15}}.10 = \frac{{ - 4\pi }}{3}\) (rad).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
