Giải SBT Toán 10 CD Bài 7: Bài tập cuối chương 7 có đáp án

Đường elip $\frac{x^2}{40}+\frac{y^2}{36}=1$  có  $a^2=\mathrm{40,}{b}^2=36$

Suy ra $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4}=2$

Do đó 2 tiêu điểm của Elip đối xứng với nhau qua Oy sẽ có tọa độ là: (-2;0) và (2;0)

Vậy chọn đáp án A.

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:  $\overrightarrow{AB}=\left(6;6\right)$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB:  $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;-1\right)$

Phương trình đường thẳng AB là: x + 3 – (y + 1) = 0 ⇔ x – y + 2 = 0.

Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{AC}=\left(6;-3\right)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{AC}}$  = (1; 2). Suy ra phương trình đường thẳng AC là: 1(x + 3) + 2(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y + 5 = 0 .

Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là:$\overrightarrow{BC}=\left(0;-9\right)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{BC}}$  = (1; 0). Suy ra phương trình đường thẳng BC là: 1(x – 3) + 0(y – 5) = 0 ⇔ x – 3 = 0.

b) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:

 $x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{-3+3+3}{3}=1$

$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-1+5+\left(-4\right)}{3}=0$

Suy ra G(1; 0).

AH vuông góc với BC nên đường thẳng AH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=\left(0;-9\right)$

Phương trình đường thẳng AH đi qua A(-3; -1): 0.(x + 3) – 9(y +1) = 0 ⇔ y + 1 = 0.

CH vuông góc với AB nên đường thẳng CH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{AB}=\left(6;6\right)$ = 6(1; 1).

Phương trình đường thẳng CH đi qua C(3; -4): 1.(x - 3) + 1.(y + 4) = 0 ⇔ x + y + 1 = 0.

H là giao của AH và CH nên là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}y+1=0\\ x+y+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$ ⇒ H(0; -1).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC; d1, d2 lần lượt là trung trực của AB, BC

Suy ra M(0; 2) và N  $\left(3;\frac{1}{2}\right)$

Đường thẳng d1 vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{AB}=\left(6;6\right)$  = 6(1; 1).

Phương trình đường thẳng d1 đi qua M(0; 2) là: 1.(x – 0) + 1.(y – 2) = 0 hay x + y – 2 = 0.

Đường thẳng d2 vuông góc với BC nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=\left(0;-9\right)$ .

Phương trình đường thẳng d1 đi qua N$\left(3;\frac{1}{2}\right)$ là: 0(x – 0) – 9(y – $\frac{1}{2}$ ) = 0 ⇔ y –$\frac{1}{2}$  = 0.

Giao điểm của d1 và d2 là tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên tọa độ I là nghiệm của hệ:

 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ y-\frac{1}{2}=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Do đó I$\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$ .

c) Diện tích tam giác ABC:

S = $\frac{1}{2}.d\left(A,BC\right).BC$  =$\frac{1}{2}.\frac{\left|-3-3\right|}{\sqrt{1^2}}.\sqrt{0^2+{\left(-9\right)}^2}=27$ .

Vậy diện tích tam giác ABC là 27 đvdt.

a) Gọi I là tâm đường tròn, suy ra I là trung điểm của $F_1{F}_2$  $\Rightarrow I\left(0;0\right)$

Bán kính đường tròn là: R =  $\frac{1}{2}{F}_1{F}_2=\frac{1}{2}.\sqrt{{\left(-4-4\right)}^2+0^2}=4$

Vậy phương trình đường tròn là: $x^2+y^2=16$ .

b)

Theo định nghĩa Elip tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 12 là một đường elip (E) nhận 2 tiêu điểm là F1(-4; 0) và F2(4;0), suy ra c = 4.

Ta có:  $M{F}_1+M{F}_2=2a=12\Rightarrow a=6$

Suy ra b2 = a2 – c2 = 62 – 42 = 20.

Phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ .

c) Theo định nghĩa Hypebol tập hợp các điểm M thỏa mãn |MF1 – MF2| = 4 nhận 2 tiêu điểm là F1(-4; 0) và F2(4;0), suy ra c = 4.

Ta có:  $\left|M{F}_1+M{F}_2\right|=2a=4\Rightarrow a=2$

Suy ra b2 =  $c^2-a^2=16-4=12$

Phương trình chính tắc của Hypebol là:$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ .

Gọi M là trung điểm của AC, K là hình chiếu của C lên AB.

Do CK vuông góc với AB nên AB có dạng: 3x – y + c = 0.

Thay A(-1; -2) vào phương trình trên ta có: 3. (-1) – (-2) + c = 0 ⇒ c = 1.

Phương trình đường thẳng AB: 3x – y + 1 = 0.

B là giao của AB và BM nên tọa độ của B là nghiệm của hệ:

 $\left\{\begin{array}{l}3x-y+1=0\\ 5x+y-9=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4\end{array}\right.$

Suy ra B(1; 4)

Do C thuộc CK nên C(5 – 3t; t)

M là trung điểm AC nên M  $\left(\frac{4-3t}{2};\frac{t-2}{2}\right)$

M thuộc BM nên thay tọa độ M vào phương trình BM ta có:

 $5.\frac{4-3t}{2}+\frac{t-2}{2}-9=0\iff t=0$

⇔ 20 – 15t + t – 2 – 18 = 0

⇔ – 14t = 0

⇔ t = 0

Suy ra C(5; 0).

Gọi M(x; y). Ta có  $MA=\left|\overrightarrow{AM}\right|=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}$; $MB=\left|\overrightarrow{BM}\right|=\sqrt{x^2+{\left(y-3\right)}^2}$

Do MA = 2MB nên  $\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}=2.\sqrt{x^2+{\left(y-3\right)}^2}$

⇔ (x – 1)2 + y2 = 4[x2 + (y – 3)2]

⇔ x2 – 2x + 1 + y2 = 4x2 + 4y2 – 24y + 36

⇔ 3x2 + 2x + 3y2 – 24y + 35 = 0

⇔ x2 +$\frac{2}{3}$ x + y2 – 8y +  $\frac{35}{3}$= 0

⇔ x2 + 2.$\frac{1}{3}$ .x +${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ + y2 – 2.4.y + 42 +$\frac{35}{3}$  = 0

⇔ ${\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2$ + y2 – 2.4.y + 42 +  $\frac{35}{3}$= 0

$\iff {\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=\frac{40}{9}$ 

Phương trình trên là phương trình đường tròn.

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I $\left(-\frac{1}{3};4\right)$ bán kính $R=\frac{2\sqrt{10}}{3}$