Bài tập Cuối chương 7 có đáp án

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A(– 3; 2) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;\, - 3} \right)\), do đó phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x – (– 3)) – 3(y – 2) = 0 hay 2x – 3y + 12 = 0.

 Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;\, - 3} \right)\), do đó nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;\,\,2} \right)\).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 3t\\y = 2 + 2t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm B(– 2; – 5) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 7;\,6} \right)\), do đó phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - 7t\\y = - 5 + 6t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 7;\,6} \right)\), suy ra nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {6;\,7} \right)\).

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là 6(x + 2) + 7(y + 5) = 0 hay 6x + 7y + 47 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow {CD} = \left( {5 - 4;\,2 - 3} \right) = \left( {1;\, - 1} \right)\).

Đường thẳng d đi qua 2 điểm C, D nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {CD} = \left( {1;\, - 1} \right)\).

Do đó, phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 3 - t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,1} \right)\).

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là 1(x – 4) + 1(y – 3) = 0 hay x + y – 7 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C) có tâm I(– 4; 2) và bán kính R = 3.

Vậy phương trình đường tròn (C) là (x – (– 4))² + (y – 2)² = 3² hay (x + 4)² + (y – 2)² = 9.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm P(3; – 2) và đi qua điểm E(1; 4) nên bán kính của đường tròn chính bằng khoảng cách từ P đến E.

Do đó, R = PE = \(\sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 36} = \sqrt {40} \).

Vậy phương trình đường tròn (C) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 2} \right)} \right)^2} = {\left( {\sqrt {40} } \right)^2}\) hay (x – 3)² + (y + 2)² = 40.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm Q(5; – 1) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x + 4y – 1 = 0, do đó bán kính của đường tròn chính bằng khoảng cách từ tâm Q đến đường thẳng ∆.

Hay R = d(Q, ∆) = \(\frac{{\left| {3.5 + 4.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\).

Vậy phương trình đường tròn (C) là (x – 5)² + (y – (– 1))² = 2² hay (x – 5)² + (y + 1)² = 4.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) đi qua ba điểm A(– 3; 2), B(– 2; – 5) và D(5; 2).

 Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IB = ID ⇔ IA² = IB² = ID².

Vì IA² = IB², IB² = ID² nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 3 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( { - 5 - b} \right)^2}\\{\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( { - 5 - b} \right)^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 6a + 9 + {b^2} - 4b + 4 = {a^2} + 4a + 4 + {b^2} + 10b + 25\\{a^2} + 4a + 4 + {b^2} + 10b + 25 = {a^2} - 10a + 25 + {b^2} - 4b + 4\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 14b = 16\\14a + 14b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.\)

Đường tròn tâm I(1; – 1) bán kính R = ID = \(\sqrt {{{\left( {5 - a} \right)}^2} + {{\left( {2 - b} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2}} = 5\)

Phương trình đường tròn (C) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 1} \right)} \right)^2} = {5^2}\).

Vậy phương trình đường tròn (C) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25\).

Hướng dẫn giải

Quan sát Hình 64 ta thấy đường thẳng d đi qua hai điểm A(– 1; 1) và B(2; 3).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;\,\,2} \right)\).

Do đó, đường thẳng d đi qua điểm A(– 1; 1) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {3;\,\,2} \right)\) nên phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Hướng dẫn giải:

Quan sát Hình 64 ta thấy đường tròn (C) có tâm I(2; 1) và bán kính R = 2, do đó phương trình đường tròn (C) là (x – 2)² + (y – 1)² = 2² hay (x – 2)² + (y – 1)² = 4.

Hướng dẫn giải:

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm \(M\left( {2 + \sqrt 2 ;\,1 + \sqrt 2 } \right)\) là

\(\left( {2 + \sqrt 2 - 2} \right)\left( {x - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \right) + \left( {1 + \sqrt 2 - 1} \right)\left( {y - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 x - 2\sqrt 2 - 2 + \sqrt 2 y - \sqrt 2 - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 x + \sqrt 2 y - 3\sqrt 2 - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow x + y - 3 - 2\sqrt 2 = 0\).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là \(x + y - 3 - 2\sqrt 2 = 0\).

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x + y - 4 = 0\\x + \sqrt 3 y - 2\sqrt 3 = 0\end{array} \right.\).

Giải hệ trên, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x + y - 4 = 0\\x + \sqrt 3 y - 2\sqrt 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x + y = 4\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sqrt 3 x + 3y = 6\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được: 3y – y = 6 – 4 ⇔ 2y = 2 ⇔ y = 1.

Thay y = 1 vào (1) ta được: \(\sqrt 3 x + 1 = 4 \Leftrightarrow \sqrt 3 x = 3 \Leftrightarrow x = \sqrt 3 \).

Do đó, hệ trên có nghiệm duy nhất \(\left( {\sqrt 3 ;\,\,1} \right)\).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ là \(\left( {\sqrt 3 ;\,\,1} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆₁ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;\,\,1} \right)\).

Đường thẳng ∆₂ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\,\sqrt 3 } \right)\).

Ta có: \(co{\rm{s}}\left( {{\Delta _1},\,\,{\Delta _2}} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\)\( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \,\,.\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2.2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó, (∆₁, ∆₂) = 30°.

Hướng dẫn giải

Ta có: y² = 18x ⇔ y² = 2 . 9 . x

Do đó, phương trình trên là phương trình của parabol với p = 9.

Ta có \(\frac{p}{2} = \frac{9}{2}\) nên tọa độ tiêu điểm của parabol là \(F\left( {\frac{9}{2};0} \right)\).

Hướng dẫn giải:

\(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{8^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = 1\).

Do đó, phương trình trên là phương trình của elip với a = 8, b = 5 thỏa mãn a > b > 0.

Ta có: c² = a² – b² = 64 – 25 = 39, suy ra c = \(\sqrt {39} \).

Vậy tọa độ các tiêu điểm của elip là \({F_1}\left( { - \sqrt {39} ;\,\,0} \right),\,\,\overrightarrow {{F_2}} \left( {\sqrt {39} ;\,\,0} \right)\).

Hướng dẫn giải:

\(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\).

Do đó, phương trình trên là phương trình của hypebol với a = 3, b = 4 thỏa mãn a > 0, b > 0.

Ta có: c² = a² + b² = 9 + 16 = 25, suy ra c = 5.

Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol là F₁(– 5; 0) và F₂(5; 0).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {A{F_1}} = \left( { - 3;\, - 4} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AF₁, do đó đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4;\,\, - 3} \right)\).

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng AF₁ là 4(x – 0) – 3(y – 4) = 0 hay 4x – 3y + 12 = 0.

Lại có: \(\overrightarrow {A{F_2}} = \left( {3;\, - 4} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AF₂, do đó đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4;\,\,3} \right)\).

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng AF₂ là 4(x – 0) + 3(y – 4) = 0 hay 4x + 3y – 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AF₁F₂ là đường tròn đi qua 3 điểm A, F₁, F₂.

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IF₁ = IF₂ ⇔ IA² = \(IF_1^2\)= \(IF_2^2\) .

Vì IA² = \(IF_1^2\), \(IF_1^2\) = \(IF_2^2\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {0 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( { - 3 - a} \right)^2} + {\left( {0 - b} \right)^2}\\{\left( { - 3 - a} \right)^2} + {\left( {0 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {0 - b} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 8b + 16 = {a^2} + 6a + 9 + {b^2}\\{a^2} + 6a + 9 + {b^2} = {a^2} - 6a + 9 + {b^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a + 8b = 7\\12a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{7}{8}\end{array} \right.\)

Đường tròn tâm \(I\left( {0;\,\frac{7}{8}} \right)\) bán kính R = IA = \(\sqrt {{{\left( {0 - a} \right)}^2} + {{\left( {4 - b} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {4 - \frac{7}{8}} \right)}^2}} = \frac{{25}}{8}\).

Phương trình đường tròn (C) là \({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{8}} \right)^2} = {\left( {\frac{{25}}{8}} \right)^2}\).

Vậy phương trình đường tròn (C) là \({x^2} + {\left( {y - \frac{7}{8}} \right)^2} = \frac{{625}}{{64}}\).

Hướng dẫn giải:

Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\).

Elip (E) đi qua điểm A(0; 4), thay tọa độ điểm A vào phương trình elip ta được \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{4^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = {4^2} \Rightarrow b = 4\left( {do\,\,b > 0} \right)\).

Elip (E) có hai tiêu điểm là F₁(– 3; 0), F₂(3; 0), do đó c = 3.

Suy ra a² – b² = c² hay a² – 4² = 3² ⇔ a² = 9 + 16 = 25 = 5², suy ra a = 5 (do a > 0).

Khi đó a > b > 0 (do 5 > 4 > 0), vậy a = 5, b = 4 là thỏa mãn.

Vậy phương trình elip (E) cần lập là \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\,\,\,hay\,\,\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Lúc 14 giờ 30 phút máy bay đã bay được: 14 giờ 30 phút – 14 giờ = 30 phút = 0,5 giờ.

Vị trí của máy bay tại thời điểm t = 0,5 giờ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}.0,5 = 300\\y = \frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}.0,5 = 400\end{array} \right.\).

Vậy vị trí của máy bay lúc 14 giờ 30 phút ở tại điểm có tọa độ E(300; 400).

 Ta có: \(\overrightarrow {OE} = \left( {300;\,400} \right)\) nên \(OE = \sqrt {{{300}^2} + {{400}^2}} = 500\), hay khoảng cách từ đài kiểm soát không lưu O đến vị trí E của máy bay lúc 14 giờ 30 phút là 500 km.

Vậy thời điểm này máy bay đã xuất hiện trên màn hình ra đa.

Hướng dẫn giải:

Máy bay bay trên đường thẳng d có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t\\y = \frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t\end{array} \right.\).

Gọi H là hình chiếu của O đến đường thẳng d. Khi đó OH là khoảng cách ngắn nhất từ O đến H hay chính là tại vị trí H máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

Ta có H thuộc d nên tọa độ \(H\left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t;\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)\).

Khi đó, \[\overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t;\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)\].

Lại có đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = - \frac{3}{{1400}}\left( { - \frac{{1400}}{3}; - \frac{{1400}}{3}} \right) = \left( {1;\,\,1} \right)\).

Vì OH ⊥ d nên \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right).1 + \left( {\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right).1 = 0\)\( \Leftrightarrow t = \frac{5}{4}\).

Khi đó H(– 50; 50).

Do đó, OH = \(50\sqrt 2 \).

Ta có: t = \(\frac{5}{4}\) giờ = 1 giờ 15 phút.

Vậy máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất lúc: 14 giờ + 1 giờ 15 phút = 15 giờ 15 phút và khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc này là \(50\sqrt 2 \) km.

Hướng dẫn giải:

Gọi \(K\left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t;\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)\) là vị trí máy bay ra khỏi màn hình ra đa.

Khi đó OK > 500 km.

Ta có: \[\overrightarrow {OK} = \left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t;\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)\]

Do đó, \(OK = \sqrt {{{\left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)}^2}} \).

Hay \(\sqrt {{{\left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)}^2}} > 500\)

Suy ra \({\left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)^2} + {\left( {\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)^2} > 250000\)

\( \Leftrightarrow \frac{{3920000}}{9}{t^2} - \frac{{9800000}}{9}t + \frac{{3920000}}{9} > 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < \frac{1}{2}\\t > 2\end{array} \right.\)

Ta có t = \(\frac{1}{2}\) giờ = 30 phút.

Vậy máy bay bay ra khỏi màn hình ra đa vào khoảng thời gian từ 14 giờ đến trước 14 giờ 30 phút và sau 16 giờ.