20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài tập cuối chương 7 (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng
6.
\(\sqrt {15} \).
\(12\).
\(3\).
Ta có \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 3 = 6\). Chọn A.
Trong mặt phẳng \(Oxy\). Parabol \(\left( P \right):{y^2} = 8x\) có tiêu điểm là
\(F\left( { - 2;0} \right)\).
\(F\left( {1;0} \right)\).
\(F\left( {2;0} \right)\).
\(F\left( { - 1;0} \right)\).
Ta có \(F\left( {2;0} \right)\) là tiêu điểm của \(\left( P \right)\). Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và đường thẳng \(d:3x - 4y - 8 = 0\).Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) biết \(d\) cắt \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài bằng 6.
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 20\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 13\).
Ta có \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot \left( { - 3} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).
Khi đó \(R = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \).
Vậy phương trình đường tròn cần lập là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 13\). Chọn D.
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) là
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\).
Ta có \(R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = 5\).
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) hay \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\). Chọn C.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;5} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 + 6t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 6t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 6t\end{array} \right.\).
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right)\].
Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {2; - 1} \right)\) và nhận \[\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right)\] làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\). Chọn A.
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\) là
\(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( { - 4;3} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {4;3} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Chọn D.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm tiêu cự của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{7} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(8\).
\(4\).
\(2\).
\(16\).
Tiêu cự F1F2=2c=27+9=8. Chọn A.
Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + y - 10 = 0\) và \({\Delta _2}:2x + 2025 = 0\) bằng
\(135^\circ \).
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
Đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;0} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + 1 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 45^\circ \). Chọn C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {0;4} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {2;0} \right)\) có tọa độ tâm \(I\) là
\(\left( {1;1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( {1;0} \right)\).
\(\left( {0;0} \right)\).
Gọi \(I\left( {a;b} \right)\).
Theo đề ta có \(IA = IB = IC\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\\{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {b^2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = 4\\8b = 16\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2} \right)\). Chọn B.
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :2x - y + 4 = 0\) là
\(x + 2y - 3 = 0\).
\(x - 2y + 5 = 0\).
\(x + 2y = 0\).
\(x + 2y - 5 = 0\).
Đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(x + 2y + c = 0\).
Vì \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) nên \(1 + 2 \cdot 2 + c = 0 \Rightarrow c = - 5\).
Vậy \(d:x + 2y - 5 = 0\). Chọn D.
Cho ba điểm \(A\left( { - 1;1} \right),B\left( {2;1} \right),C\left( { - 1; - 3} \right)\).
Điểm \(N\) thuộc trục \(Oy\) sao cho \(N\) cách đều \(B,C\) có tung độ bằng \( - \frac{5}{8}\).
\(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.
\(ABC\) là tam giác vuông.
Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi \(D\left( {2; - 3} \right)\).
a) Điểm \(N\left( {0;b} \right) \in Oy\).
Vì \(N\) cách đều \(B,C\) nên \(NB = NC\)\( \Leftrightarrow {2^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 8b = - 5 \Leftrightarrow b = - \frac{5}{8}\).
Điểm \(N\) có tung độ là \( - \frac{5}{8}\).
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.
c) Có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot \left( { - 4} \right) = 0\).
Do đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
d) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x; - 3 - y} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 3\\ - 3 - y = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4; - 3} \right)\].
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - y + 2 = 0\).
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\).
Khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(d\) bằng \(2\sqrt 2 \).
Đường thẳng \(d\) tạo với hệ trục một tam giác có diện tích bằng 4.
Góc giữa \(d\) và trục \(Ox\) bằng \(45^\circ \).
a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\).
b) Ta có \(d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \).
c) Đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( { - 2;0} \right),B\left( {0;2} \right)\).
Khi đó \({S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\).
d) Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\) và trục \(Ox\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;1} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {d,Ox} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 0 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {d,Ox} \right) = 45^\circ \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 50\) và điểm \(A\left( { - 2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).
Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A\) có phương trình \(x + 7y + 9 = 0\).
Điểm \(A\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
Có hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(d:x + y + 7 = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {5; - 2} \right),R = 5\sqrt 2 \).
a) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - \left( { - 2} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 2 }} = 5\sqrt 2 = R\).
Do đó đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).
b) Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 7;1} \right)\).
Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A\) nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 7;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\( - 7\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(7x - y + 13 = 0\).
c) Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường tròn ta thấy thỏa mãn.
Do đó điểm \(A\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
d) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(d:x + y + 7 = 0\) có dạng \(d':x + y + c = 0,c \ne 7\)
Lại có \(d\left( {I,d'} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {5 - 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 5\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {3 + c} \right| = 10\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 + c = 10\\3 + c = - 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c = - 13\end{array} \right.\).
Vì \(c \ne 7\) nên \(c = - 13\).
Vậy có 1 tiếp tuyến là \(d':x + y - 13 = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {2;3} \right)\) và hai đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 1 = 0\) và \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 3t\end{array} \right.\).
Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\).
Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) song song với nhau.
Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(4x + 3y + 17 = 0\).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) bằng \(\frac{7}{5}\).
a) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy điểm \(M\) không thuộc đường thẳng \(d\).
b) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương và điểm \(A\left( {2;0} \right)\) thuộc \(d\) nhưng không thuộc \(\Delta \).
Do đó hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) song song với nhau.
c) Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\left( {4;3} \right)\) có dạng \(4\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0\) hay \(4x + 3y - 17 = 0\).
d) Ta có \(d\left( {d,\Delta } \right) = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{7}{5}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\).
Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là 8.
Điểm \(F\left( { - 5;0} \right)\) trùng với một tiêu điểm của \(\left( E \right)\).
Điểm \(K\left( {3;0} \right)\) thuộc \(\left( E \right)\).
Biết rằng hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{A^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{B^2}}} = 1\) có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của \(\left( E \right)\) và đi qua điểm \(N\left( {\sqrt {15} ;1} \right)\). Điểm \(M\) là một điểm bất kì nằm trên \(\left( H \right)\) thì \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 3 \).
a) Có \({a^2} = 25;{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4\).
Tiêu cự là \(2c = 8\).
b) Tiêu điểm \({F_1}\left( { - 4;0} \right),{F_2}\left( {4;0} \right)\).
c) Thay tọa độ điểm \(K\left( {3;0} \right)\) vào phương trình \(\left( E \right)\) ta thấy không thỏa mãn.
Do đó \(K\left( {3;0} \right)\) không thuộc \(\left( E \right)\).
d) Có \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{A^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{B^2}}} = 1\) có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của \(\left( E \right)\) nên \({A^2} + {B^2} = 16\).
Lại có \(\left( H \right)\) đi qua điểm \(N\left( {\sqrt {15} ;1} \right)\) nên \(\frac{{15}}{{{A^2}}} - \frac{1}{{{B^2}}} = 1 \Rightarrow 15{B^2} - {A^2} = {A^2}{B^2}\)\( \Rightarrow 240 - 16{A^2} = {A^2}\left( {16 - {A^2}} \right)\)\[ \Rightarrow {A^4} - 32{A^2} + 240 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{A^2} = 12\left( {TM} \right)\\{A^2} = 20\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\].
Với \({A^2} = 12 \Rightarrow A = 2\sqrt 3 \).
Suy ra \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 4\sqrt 3 \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho hình elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) như hình vẽ bên. Đường thẳng \(d\) song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng 2, \(d\) tạo với elip một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
Dựa vào hình vẽ ta thấy elip đi qua 2 điểm \(\left( {5;0} \right);\left( {0;3} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{{{a^2}}} = 1\\\frac{9}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Đường thẳng \(d\) song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng 2 có phương trình là \(y = 2\) hoặc \(y = - 2\).
Xét trường hợp \(y = 2\) (tương tự \(y = - 2\)).
Tọa độ giao điểm của elip với đường thẳng \(y = 2\)là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{5\sqrt 5 }}{3}\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right);{M_2}\left( { - \frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right)\).
Ta có \(OM_2^2 = {\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)^2} + {2^2}\).
Ta có \({M_1}{M_2} = 2I{M_2} = 2\sqrt {OM_2^2 - I{O^2}} = 2\sqrt {{{\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} + {2^2} - {2^2}} = \frac{{10\sqrt 5 }}{3} \approx 7,45\).
Cho parabol \({y^2} = 2px\) với \(p > 0\) như hình vẽ, trong đó đường thẳng \(d\) là đường chuẩn. Tìm hoành độ điểm \(M\) nếu \(2M{H^2} + 3MF = 44\).
Theo đề ta có phương trình đường chuẩn \(d\)là \(x = - 1 \Rightarrow p = 2\).
Do đó \(\left( P \right):{y^2} = 4x\).
Vì \(M \in \left( P \right) \Rightarrow MF = d\left( {M,d} \right) = MH\).
Do đó \(2M{H^2} + 3MF = 44\)\[ \Leftrightarrow 2M{H^2} + 3MH = 44\]\[ \Leftrightarrow MH = 4\] vì \(MH > 0\).
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nên \(MH = d\left( {M,d} \right) = \left| {{x_0} + 1} \right| = {x_0} + 1\) (vì \({x_0} > 0\)).
Do đó \({x_0} + 1 = 4 \Rightarrow {x_0} = 3\).
Vậy hoành độ của điểm \(M\) là 3.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\). Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( { - 1;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\) và \(B\). Khi đó \({S_{\Delta OAB}}\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Vì đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( { - 1;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\) nên \(\Delta \) có dạng \(2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(2x - 3y + 8 = 0\).
Vì \(\Delta \) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) nên \(A\left( { - 4;0} \right);B\left( {0;\frac{8}{3}} \right)\).
Khi đó \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3} \approx 5,33\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25\) và đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 35 = 0\). Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(3x + by + c = 0\). Tính \(b + c\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và \(R = 5\).
Vì tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(3x - 4y + c = 0,c \ne - 35\).
Lại có \(d\left( {I,d} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| {10 + c} \right| = 25\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 + c = 25\\10 + c = - 25\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c = - 35\end{array} \right.\).
Vì \(c \ne - 35\) nên \(c = 15\). Do đó \(d:3x - 4y + 15 = 0\).
Suy ra \(b = - 4;c = 15\). Vậy \(b + c = 11\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( { - 1;1} \right),B\left( {0;1} \right),C\left( {3;0} \right)\). Tọa độ điểm \(D\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {BD} = 5\overrightarrow {DC} \). Tính \(a + 3b\).
Gọi \(D\left( {x;y} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {BD} = \left( {x;y - 1} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {BD} = \left( {2x;2y - 2} \right)\).
\(\overrightarrow {DC} = \left( {3 - x; - y} \right) \Rightarrow 5\overrightarrow {DC} = \left( {15 - 5x; - 5y} \right)\).
Vì \(2\overrightarrow {BD} = 5\overrightarrow {DC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15 - 5x = 2x\\ - 5y = 2y - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 15\\7y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{7}\\y = \frac{2}{7}\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {\frac{{15}}{7};\frac{2}{7}} \right)\).
Khi đó \(a + 3b = \frac{{15}}{7} + \frac{6}{7} = \frac{{21}}{7} = 3\).
