Giải SBT Toán 10 CD Bài 5: Phương trình đường tròn có đáp án

c) Bán kính của đường tròn chính bằng khoảng cách từ I đến đường thẳng d: 3x + 4y + 19 = 0.

Suy ra  $R=d\left(I,d\right)=\frac{\left|3.1+4.2+19\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{30}{5}=6$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=36$ .

d) Gọi I là tâm của đường tròn thì IA = R và I là trung điểm của AB

Suy ra I(-1; 2),  $IA=\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{{\left(-1+2\right)}^2+{\left(2-3\right)}^2}=\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=2$ .

e) Tâm I thuộc đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=1-t\end{array}\right.$  nên I(1 + t; 1 – t)

Đường tròn có 2 tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến 2 tiếp tuyến bằng nhau và bằng bán kính của đường tròn.

Ta có:  $d\left(I,{\Delta }_2\right)=d\left(I,{\Delta }_3\right)$

 $\iff \frac{\left|3.\left(1+t\right)+4\left(1-t\right)-1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\left|3\left(1+t\right)-4\left(1-t\right)+2\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}$

 $\iff \left|t-6\right|=\left|7t+1\right|$

$\iff \left[\begin{array}{l}t-6=7t+1\\ 6-t=7t+1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{-7}{6}\\ t=\frac{5}{8}\end{array}\right.$

 Với t = $\frac{5}{8}$  thì I $\left(-\frac{1}{6};\frac{13}{8}\right)$  và R = d(I; ∆2) = $\frac{\left|\frac{5}{8}-6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{43}{40}$ . Khi đó phương trình đường tròn là: ${\left(x-\frac{13}{8}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{8}\right)}^2={\left(\frac{43}{40}\right)}^2$ .

Với t =  thì I  và R = d(I; ∆2) = $\frac{\left|-\frac{7}{6}-6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{43}{30}$ . Khi đó phương trình đường tròn là: ${\left(x+\frac{1}{6}\right)}^2+{\left(y-\frac{13}{6}\right)}^2={\left(\frac{43}{30}\right)}^2$ .

Đường tròn có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 2.

a) Hoành độ của điểm có tung độ bằng 3 là:

 ${\left(x+2\right)}^2+{\left(3-3\right)}^2=4\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-4\end{array}\right.$

Suy ra ta có 2 điểm M(0; 3) và điểm N(-4; 3).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IM là: $\overrightarrow{IM}=\left(2;0\right)$ .

Phương trình đường thẳng IM: 2(x – 0) = 0 hay x = 0.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IN là:$\overrightarrow{IN}=\left(-2;0\right)$ .

Phương trình đường thẳng IN: - 2(x + 4) = 0 hay x + 4 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng là: x = 0 hoặc x + 4 = 0.

b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0

nên ∆ có dạng: 12x + 5y + c = 0.

Khoảng cách từ I đến ∆ bằng R nên  

 $\begin{array}{l}\iff \frac{\left|12.\left(-2\right)+5.3+c\right|}{\sqrt{{12}^2+5^2}}=2\\ \iff \left[\begin{array}{l}c=35\\ c=-17\end{array}\right.\end{array}$

Với c = 35 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y + 35 =0

Với c = - 17 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y – 17 =0

c) Gọi H(a ;b) là tiếp điểm.

Do D(0; 4) thuộc $∆$  nên DH vuông góc với IH và IH = R = 2.

Ta có: $\overrightarrow{DH}=\left(a;b-4\right)$  và  $\overrightarrow{IH}=\left(a+2;b-3\right)$

⇒ IH =$\left|\overrightarrow{IH}\right|=\sqrt{{\left(a+2\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2}=2$

⇔ a2 + 4a + 4 + b2 – 6b + 9 = 4

⇔ a2 + 4a  + b2 – 6b + 9 = 0 (1)

Ta lại có:  $\overrightarrow{DH}.\overrightarrow{IH}=0\iff a\left(a+2\right)+\left(b-4\right)\left(b-3\right)=0$

⇔ a2 + 2a + b2 – 7b + 12 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{l}{a}^2+4a +b^2–6b+\text{ 9 }=0\\ a^2+2a+b^2–7b+12=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2a +b=33\\ a^2+2a+b^2–7b+12=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=3-\text{2}a \\ a^2+2a+{\left(3-\text{2}a\right)}^2–7\left(3-\text{2}a\right)+12=0\end{array}\right.$

.

Với a = 0, b = 3 thì H(0; 3)

Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(2;0\right)$

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2(x – 0) = 0 ⇔ x = 0.

Với $a=-\frac{4}{5};b=\frac{23}{5}$

Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(\frac{6}{5};\frac{8}{5}\right)=\frac{2}{5}\left(3;4\right)$

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3(x – 0) + 4(y – 4) = 0 ⇔ 3x + 4y – 16 = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu là x = 0 hoặc 3x + 4y – 16 = 0.

a) Đường tròn (C) có tâm I(-2; 4) và bán kính R =$\sqrt{25}$  = 5.

Ta có: $IA=\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{{\left(-2+1\right)}^2+{\left(4-3\right)}^2}=\sqrt{2}$  < 5

Do đó A nằm trong đường tròn (C).

b) Dây cung MN ngắn nhất khi khoảng cách từ tâm I đến dây cung là lớn nhất

Do d đi qua A cố định nên khi d thay đổi thì khoảng cách lớn nhất từ I đến d chính bằng IA.

Hay IA vuông góc với d.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d:  $\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)$

Phương trình đường thẳng d: (x + 1) – (y – 3) = 0 ⇔ x – y + 4 = 0.

Đường tròn (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 3.

Ta có: $d\left(I,{\Delta }_1\right)=\frac{\left|-3+1+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}<3$ , suy ra  ${\Delta }_1$cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

$d\left(I,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|3.\left(-3\right)+4.1+20\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3=R$, suy ra ${\Delta }_2$  tiếp xúc với đường tròn.

$d\left(I,{\Delta }_3\right)=\frac{\left|2.\left(-3\right)-1+50\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{43}{\sqrt{5}}>3$, suy ra ${\Delta }_3$  không có điểm chung với đường tròn.

Gọi H là hình chiếu của M lên $∆$

Suy ra MH là khoảng cách từ M đến  $∆$

MH =  $\frac{\left|3.1+4.1+3\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$

Xét tam giác MNH vuông tại H có:

MN =$\frac{MH}{\sin {60}^o}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

Mà R = MN =  $\frac{4}{\sqrt{3}}$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=\frac{16}{3}$