Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án
18 câu hỏi
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. sinα = sin( 180° – α );
B. cosα = cos( 180° – α );
C. tanα = tan( 180° – α );
D. cotα = cot( 180° – α );
Lời giải
Đáp án đúng là A
Ta có sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau. Côsin, tan và côtan của hai góc bù nhau thì đối nhau. Vậy khẳng định đúng là A.
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A. cos45° = sin45°;
B. cos45° = sin135°;
C. cos30° = sin120°;
D. sin60° = cos120°.
Lời giải
Đáp án đúng là D
cos45° = sin( 90° – 45° ) = sin45°. Khẳng định A đúng.
cos45° = sin( 90° – 45° ) = sin45° = sin ( 180° – 45° ) = sin135°. Khẳng định B đúng.
cos30° = sin ( 90° – 30° ) = sin60° = sin ( 180° – 60° ) = sin120°. Khẳng định C đúng.
Có sin60° = cos30° ≠ cos120°. Khẳng định D sai.
Vậy chọn đáp án D.
Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. sin90° < sin150°;
B. sin90°15’ < sin90°30’;
C. cos90°30’ > cos100°;
D. cos150° > cos120°.
Lời giải
Đáp án đúng là C
Ta có:
sin90° = 1 mà sin150° = \(\frac{1}{2}\) ⇒ sin90° > sin150°. Vì vậy A sai.
sin90°15’ = 0,99999, sin90°30’ = 0,99996 ⇒ sin90°15’ > sin90°30’. Vì vậy B sai.
cos90°30’ ≈ – 8,72. 10-3 , cos100° ≈ – 0,17 ⇒ cos90°30’ > cos100°. Vì vậy C đúng.
cos150° = \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\), cos120° = \(\frac{{ - 1}}{2}\) ⇒ cos150° < cos120°. Vì vậy D sai.
Chọn đáp án C.
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào là đúng?
A. sin150° = \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\);
B. cos150° = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
C. tan150° = \(\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}\);
D. cot150° = \(\sqrt 3 \).
Lời giải
Đáp án đúng là C
Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được
sin150° = \(\frac{1}{2}\), cos150° = \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\), tan150° = \(\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}\), cot150° = \( - \sqrt 3 \).
Vậy khẳng định C đúng.
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu b2 + c2 – a2 > 0 thì góc A nhọn;
B. Nếu b2 + c2 – a2 > 0 thì góc A tù;
C. Nếu b2 + c2 – a2 < 0 thì góc A nhọn;
D. Nếu b2 + c2 – a2 < 0 thì góc A vuông.
Lời giải
Đáp án đúng là A
Theo định lí côsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccosA
Nếu b2 + c2 – a2 > 0 hay b2 + c2 > a2 thì 2bccosA > 0 hay cosA > 0 ( b,c là cạnh tam giác nên b,c > 0 ). Khi đó \(\widehat {\rm{A}}\) < 90° hay góc A nhọn.
Nếu b2 + c2 – a2 < 0 hay b2 + c2 < a2 thì 2bccosA < 0 hay cosA < 0 ( b,c là cạnh tam giác nên b,c > 0 ). Khi đó \(\widehat {\rm{A}}\) > 90° hay góc A tù.
Như vậy đáp án đúng là A.
Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 7 cm, CA = 9 cm. Giá trị cosA là:
A. \(\frac{2}{3}\);
B. \(\frac{1}{3}\);
C. \(\frac{{ - 2}}{3}\);
D. \(\frac{1}{2}\).
Lời giải
Đáp án đúng là A
Áp dụng hệ quả định lí côsin ta có:
cosA = \(\frac{{{{{\mathop{\rm AC}\nolimits} }^2} + {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{B}}{{\rm{C}}^2}}}{{2{\rm{AB}}{\rm{.AC}}}}\) = \(\frac{{{4^2} + {9^2} - {7^2}}}{{2.4.9}}\) = \(\frac{2}{3}\).
Vậy chọn đáp án A.
Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 18 cm và có diện tích bằng 64cm2. Giá trị sinA là:
A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
B. \(\frac{3}{8}\);
C. \(\frac{4}{5}\);
D. \(\frac{8}{9}\).
Lời giải
Đáp án đúng là D
Ta có: S = \(\frac{1}{2}\)AB.AC. sinA ⇒ sinA = \(\frac{{2{\rm{S}}}}{{{\rm{AB}}{\rm{.AC}}}}\) = \(\frac{{64.2}}{{18.8}} = \frac{8}{9}\).
Vậy đáp án đúng là D.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 30 cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích tam giác GFC là:
A. 50 cm2;
B. 50\(\sqrt 2 \) cm2;\(\)
C. 75 cm2;
D. 15\(\sqrt {105} \) cm2.
Lời giải
Đáp án đúng là C
Kẻ GH vuông góc với AC.
G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ GF = \(\frac{1}{3}\)BF .
Xét tam giác GFH và tam giác BFA:
\(\widehat {{\rm{GHF}}} = \widehat {{\rm{BAF}}}\)= 90°
\(\widehat {{\rm{GFH}}} = \widehat {{\rm{BFA}}}\)(hay chung \(\widehat {GFH}\))
⇒ tam giác GFH và tam giác BFA đồng dạng (g.g)
⇒ \(\frac{{{\rm{GH}}}}{{{\rm{AB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{GF}}}}{{{\rm{BF}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\) ( Tính chất hai tam giác đồng dạng)
⇒ GH = 10 cm
Lại có FC = \(\frac{1}{2}\)AC = 15 cm
⇒ SGFC = 10.15. \(\frac{1}{2}\) = 75 cm2
Vậy đáp án C đúng.
Tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:
A. 2S;
B. 3S;
C. 4S;
D. 6S.
Lời giải
Đáp án đúng là D
Diện tích tam giác ABC ban đầu là: S = \(\frac{1}{2}\). BC.AC.sinC
Diện tích tam giác ABC lúc sau là: Ss = \(\frac{1}{2}\).2BC.3AC.sinC = 6. \(\frac{1}{2}\). BC.AC.sinC = 6S.
Vậy đáp án đúng là D.
Cho \(\widehat {{\rm{xOy}}}\) = 30°. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:
A. 1,5;
B. \(\sqrt 3 \);
C. \(2\sqrt 2 \);
D. 2.
Lời giải
Đáp án đúng là D
Theo định lí sin ta có:
\[\frac{{{\rm{AB}}}}{{\sin \widehat {\rm{O}}}} = \frac{{{\rm{OB}}}}{{\sin \widehat {\rm{A}}}} = \frac{1}{{\sin 30^\circ }} = 2\]
OB = 2sin\(\widehat {\rm{A}}\).
Ta có –1 ≤ sin\(\widehat {\rm{A}}\)≤ 1 nên OB lớn nhất khi sin\(\widehat {\rm{A}}\) = 1 ⟺ \(\widehat {\rm{A}}\)= 90°.
Khi đó OB = 2.
Đáp án đúng là D.
Cho tam giác ABC với ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng: \(\frac{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} }}{{\rm{a}}} + \frac{{{\rm{cosB}}}}{{\rm{b}}} + \frac{{{\rm{cosC}}}}{{\rm{c}}} = \frac{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2abc}}}}\).
Lời giải
Theo định lí côsin: a2 = b2 + c2 – 2bccosA
⇒ cosA = \(\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{2{\rm{bc}}}}\)
⇒ \(\frac{{{\rm{cosA}}}}{{\rm{a}}}\)=\(\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{2{\rm{abc}}}}\).
Tương tự ta có:
\(\frac{{{\rm{cosB }}}}{{\rm{b}}}\)=\(\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{2{\rm{abc}}}}\) và \(\frac{{{\rm{cosC}}}}{{\rm{c}}}\)=\(\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {{\rm{c}}^2}}}{{2{\rm{abc}}}}\)
Như vậy: \(\frac{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} }}{{\rm{a}}} + \frac{{{\rm{cosB}}}}{{\rm{b}}} + \frac{{{\rm{cosC}}}}{{\rm{c}}}\) =\(\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{2a{\rm{bc}}}}\) + \(\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{2{\rm{abc}}}}\) + \(\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{2{\rm{abc}}}}\)
⇒ \(\frac{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} }}{{\rm{a}}} + \frac{{{\rm{cosB}}}}{{\rm{b}}} + \frac{{{\rm{cosC}}}}{{\rm{c}}} = \frac{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{2abc}}}}\). ( ĐPCM ).
Cho tam giác ABC. Biết a = 24; b = 36; \(\widehat {\rm{C}}\) = 52°. Tính cạnh c và hai góc \(\widehat {\rm{A}}\), \(\widehat {\rm{B}}\).
Lời giải
Áp dụng định lí côsin ta có:
c2 = a2 + b2 – 2abcos\(\widehat {\rm{C}}\)
c2 = 242 + 362 – 2.24.36.cos52°
c = \(\sqrt {{{24}^2} + {\rm{ }}{{36}^2}--{\rm{ }}2.24.36.{\rm{cos}}52^\circ } \)
c ≈ 28,43.
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{sinA}}}} = \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{sinB}}}} = \frac{{\rm{c}}}{{{\rm{sinC}}}}\)= \(\frac{{28,43}}{{\sin 52^\circ }}\)
⇒ sinA = a : \(\frac{{28,43}}{{\sin 52^\circ }}\) = 24 : \(\frac{{28,43}}{{\sin 52^\circ }}\) ≈ 0,665 ⇒ \(\widehat {\rm{A}}\)≈ 41°40’56’’.
⇒ sinB = b : \(\frac{{28,43}}{{\sin 52^\circ }}\) = 36 : \(\frac{{28,43}}{{\sin 52^\circ }}\) ≈ 0,998 ⇒ \(\widehat B\)≈ 86°22’32’’.
Vậy \(\widehat {\rm{A}}\)≈ 41°40’56’’ và \(\widehat B\)≈ 86°22’32’’.
Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 50 m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển, người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc \(\widehat {{\rm{BPA}}}\)= 40° và \(\widehat {{\rm{BQA}}}\) = 52°. Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.
Lời giải
Ta có hình vẽ sau:
Ta có: \(\widehat {{\rm{BPA}}}\)= 40°, \(\widehat {{\rm{BQA}}}\) = 52°, \(\widehat {{\rm{BAP}}}\)= 90°, PQ = 50 m.
\(\widehat {{\rm{BQP}}}\) là góc kề bù với \(\widehat {{\rm{BQA}}}\) ⇒ \(\widehat {{\rm{BQP}}}\) = 180° – 52° = 128°
Xét tam giác PBQ: \(\widehat {{\rm{PBQ}}}\)+ \(\widehat {{\rm{BQP}}}\)+ \(\widehat {{\rm{BPQ}}}\)= 180°
⇒ \(\widehat {{\rm{PBQ}}}\)= 180° – 128° – 40° = 12°.
Áp dụng định lí sin cho tam giác PBQ ta có:
\(\frac{{{\rm{PQ}}}}{{{\rm{sinB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{BQ}}}}{{{\rm{sinP}}}}\) = \(\frac{{50}}{{\sin 12^\circ }}\) ⇒ BQ = \(\frac{{50}}{{\sin 12^\circ }}\). sinP = \(\frac{{50}}{{\sin 12^\circ }}\).sin40° ≈ 154,58 m.
Xét tam giác ABQ vuông tại A: AB = BQ. sin52° = 154,58. sin52° ≈ 121,81 m.
Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 121,81 m.
Cho tam giác ABC có \(\widehat {\rm{A}}\) = 99°, b = 6, c = 10. Tính:
Diện tích tam giác ABC;
Lời giải
Diện tích tam giác ABC là:
S = \(\frac{1}{2}\).b.c.sin\(\widehat {\rm{A}}\)= \(\frac{1}{2}\).6.10.sin99° ≈ 29,63 (đvdt).
Vậy diện tích tam giác ABC là 29,63 đvdt.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Lời giải
Áp dụng định lí côsin ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bccosA
a2 = 62 + 102 – 2.6.10.cos99°
a = \(\sqrt {{6^2} + {\rm{ }}{{10}^2}--{\rm{ }}2.6.10.{\rm{cos}}99^\circ } \)
a ≈ 12,44.
Áp dụng định lí sin ta có: \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{sinA}}}} = 2{\rm{R}}\)
⇒ R = \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2sinA}}}}\) =\(\frac{{12,44}}{{2.\sin 99^\circ }}\) ≈ 6,30.
Nửa chu vi tam giác ABC là: p = \(\frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{12,44 + 6 + 10}}{2} = 14,22\).
Lại có: r = \(\frac{{\rm{S}}}{{\rm{p}}}\) = \(\frac{{29,63}}{{14,22}}\) ≈ 2,08.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,30 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 2,08.
Hai máy bay rời một sân bay cùng một lúc. Một chiếc máy bay với vận tốc 800 km/h theo hướng lệch so với hướng bắc 15° về phía tây. Chiếc còn lại bay theo hướng lệch so với hướng nam 45° về phía tây với vận tốc 600 km/h ( Hình 1). Hỏi hai máy bay đó cách nhau bao xa sau 3 giờ?
Lời giải
Ta có hình vẽ sau:
Ta có: \(\widehat {{\rm{AOB}}}\) = 180° – 15° – 45° = 120°.
Sau 3 giờ hai máy bay bay từ O đến A đi được quãng đường là: 800.3 = 2400 km.
Hay OA = 2 400.
Sau 3 giờ hai máy bay bay từ O đến B đi được quãng đường là: 600.3 = 1 800 km.
Hay OB = 1 800.
Sau 3 giờ, hai máy bay A, B và điểm xuất phát O tạo thành tam giác OAB với OA = 2400 và OB = 1800. Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta được:
AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos\(\widehat {{\rm{AOB}}}\)
AB2 = 24002 + 18002 – 2.1800.2400.cos120°
AB = \(\sqrt {{{2400}^2} + {\rm{ }}{{1800}^2}--{\rm{ }}2.1800.2400.{\rm{cos}}120^\circ } \)
AB ≈ 3650 km
Vậy sau 3 giờ hai máy bay cách nhau khoảng 3650 km.
Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng:
\[\frac{{\tan {\rm{A}}}}{{\tan {\rm{B}}}} = \frac{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{a}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}\].
Lời giải
Theo định lí côsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bcosA
cosA = \(\frac{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{2bc}}}}\)
Tương tự: cosB = \(\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{\rm{2ac}}}}\)
Theo định lí côsin ta có: \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{sinA}}}} = \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{sinB}}}} = 2{\rm{R}}\)
sinA = \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2R}}}}\) và sinB = \(\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{2R}}}}\)
Ta có:
\(\frac{{{\rm{tanA}}}}{{{\rm{tanB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{sinA}}}}{{{\rm{cosA}}}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{cosB}}}}{{{\rm{sinB}}}}\) = \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{2R}}}}\).\(\frac{{2{\rm{bc}}}}{{{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}\).\(\frac{{{{\rm{a}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{\rm{2ac}}}}\).\(\frac{{{\rm{2R}}}}{{\rm{b}}}\) = \[\frac{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{a}}^2} - {{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{c}}^2} + {{\rm{b}}^2} - {{\rm{a}}^2}}}\](ĐPCM).
Một tháp viễn thông cao 42 m được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc 34° so với phương ngang. Từ đỉnh tháp người ta neo một sợi cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp 33 m như Hình 2. Tính chiều dài của sợi dây cáp đó.
Lời giải
Ta biểu diễn lại hình như trên. AB là độ dài sợi dây cáp. AC là độ dài tháp. Như vậy AC = 42 m, BC = 33 m, \(\widehat {{\rm{CMH}}}\) = 34°, \(\widehat {{\rm{MHC}}}\)= 90°.
Xét tam giác MCH: \(\widehat {{\rm{MCH}}} + \widehat {{\rm{MHC}}} + \widehat {{\rm{CMH}}}\) = 180°.
⇒ \(\widehat {{\rm{MCH}}}\) = 180° – 90° – 34° = 56°.
\(\widehat {{\rm{ACB}}}\) và \(\widehat {{\rm{MCH}}}\)là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {{\rm{ACB}}}\) = 56° ( tính chất hai góc đối đỉnh).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC:
AB2 = AC2 + BC2 – 2.AC.BC.cos\(\widehat {{\rm{ACB}}}\)
AB2 = 422 + 332 – 2.42.33.cos56°
AB = \[\sqrt {{{42}^2} + {\rm{ }}{{33}^2}--{\rm{ }}2.42.33.{\rm{cos}}56^\circ } \]
AB ≈ 36,1 m
Vậy chiều dài sợi dây cáp khoảng 36,1 m.
