30 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

tan89° = tan(90° ‒ 1°) = cot1°;

tan88° = tan(90° ‒ 2°) = cot2°;

…

tan46° = tan(90° ‒ 44°) = cot44°.

Do đó: M = tan1°.tan2°.tan3°….tan89°

M = tan1°.tan2°….tan44°.tan45°.cot44°….cot2°.cot1°

M = (tan1°.cot1°).(tan2°.cot2°)…(tan44°.cot44°).tan45°

M = 1.1….1.1

M = 1.

Vậy M = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: M=sin60°+tan30°cot120°+cos30°

M=32+33−33+32

M=33+236:−23+336

M=536:36  

M=536.63=5. 

Vậy M = 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có: cosA=AC2+AB2−BC22.AC.AB

⇒cosA=92+82−1022.9.8=516>0

Suy ra A^ là góc nhọn.

Tam giác ABC có cạnh BC lớn nhất đối diện với A^ nên A^ là góc lớn nhất.

Do đó B^,C^ cũng là góc nhọn.

Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC có A^=75°,B^=45° ta có:

A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒C^=180°−A^−B^ 

⇒C^=180°−75°−45°=60°

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ACsinB=ABsinC

⇒ABAC=sinCsinB=sin60°sin45°=3222=62. 

Vậy ABAC=62. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

a² = b² + c² ‒ 2.bc.cosA

Þ a² = b² + c² ‒ 2.bc.cos120°

⇒a2= b2+ c2−2.bc.−12 

Þ a² = b² + c² + bc.

Vậy a² = b² + c² + bc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD là hình thoi nên BC // AD (tính chất hình thoi)

Do đó BAD^+ABC^=180° (hai góc trong cùng phía)

Mà BAD^=60°⇒ABC^=120° 

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cosABC^ 

Þ AC² = 1² + 1² – 2.1.1.cos120° = 3

⇒AC=3cm. 

Vậy AC=3cm. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

+) cosABC^=AB2+BC2−AC22.AB.BC

⇒cosBAC^=6−222+32−222.6−22.3=22

⇒ABC^=45°

+) cosBAC^=AB2+AC2−BC22.AB.AC

⇒cosBAC^=6−222+22−322.6−22.2=−12

⇒BAC^=120°⇒BAD^=60° ( vì AD là tia phân giác của BAC^)

Xét tam giác ABD có BAD^=60° và ABD^=ABC^=45° ta có:

BAD^+ABD^+ADB^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒ADB^=180°−BAD^−ABD^ 

⇒ADB^=180°−60°−45°=75°

Vậy ADB^=75°. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nửa chu vi tam giác là: p=3+2+12 

Diện tích tam giác theo công thức Heron là:

S=p.p−3.p−2.p−1=22 (đơn vị diện tích)

Mặt khác S=12h.đáy 

Do đó đường cao ứng với cạnh lớn nhất 3 là: h=2Sđáy=2.223=63. 

Vậy độ dài đường cao ứng với cạnh lớn nhất của tam giác là 63. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC có góc B tù nên suy ra góc A là góc nhọn.

Diện tích tam giác ABC là:

S=12AB.AC.sinA⇒sinA=2SAB.AC=2.333.4=32 

Mà góc A là góc nhọn

⇒A^=60° 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, giả sử AB = AC = a, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a²

⇒BC=a2. 

Do đó nửa chu vi tam giác ABC là p=AB+AC+BC2=a+a+a22=a.2+22 

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

S=12.AB.AC=12.a.a=a22

Mặt khác S=pr=AB.AC.BC4R 

⇒r=Sp=a22a.2+22=a2+2  và R=AB.AC.BC4S=a.a.a24.a22=a22 

Do đó Rr=a22a2+2=a22:a2+2=a22.2+2a=1+2 

Vậy Rr=1+2. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = 3.

Vì ND = 3NC nên NC = 1 và ND = 3.

Tam giác CMN vuông tại C theo định lí Py – ta – go có:

MN² = MC² + NC² = 3² + 1² = 10 ⇒MN=10. 

Tam giác AND vuông tại D theo định lí Py – ta – go có:

AN² = AD² + DN² = 6² + 3² = 45 ⇒AN=35. 

Tam giác ABM vuông tại B theo định lí Py – ta – go ta có:

AM² = AB² + BM² = 4² + 3² = 25 Þ AM = 5.

Nửa chu vi của tam giác AMN là: p=AM+AN+MN2=5+35+102 

Diện tích tam giác AMN theo công thức Heron là:

S=pp−AMp−ANp−MN=7,5 (đơn vị diện tích)

Mặt khác S=AM.AN.MN4R⇒R=AM.AN.MN4S 

⇒R=5.35.104.7,5=522. 

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng 522. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử tam giác có độ dài ba cạnh là a = 52, b = 56, c = 60.

Nửa chu vi tam giác là: p=a+b+c2=52+56+602=84 

Ta có diện tích tam giác là: S=abc4R=pr 

⇒S=52.56.604R=84.r 

 Þ 52.56.60 = 84r.4R

Þ R.r = 520.

Vậy R.r = 520.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: c² = a² + b² – 2.a.b.cosC

Þ a² + b² ‒ c² = 2.a.b.cosC

+) Nếu a² + b² – c² < 0 thì 2.a.b.cosC < 0 nên cosC < 0 Þ C^ là góc tù;

+) Nếu a² + b² – c² > 0 thì 2.a.b.cosC > 0 nên cosC > 0 Þ C^ là góc nhọn.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

- Tam giác ABC là tam giác đều nên BAC^=60° 

Diện tích tam giác ABC là:

SABC=12.AB.AC.sinBAC^=12.1.1.sin60°=34 (đơn vị diện tích).

- Hình vuông ABDE có cạnh AB = 1 nên có diện tích là: S_ABDE = 1² = 1 (đơn vị diện tích).

Tương tự S_BCMN = 1 (đơn vị diện tích) và S_CAHK = 1 (đơn vị diện tích).

- Tam giác AEH có:

EAH^=360°−EAB^−BAC^−CAF^=360°−90°−60°−90°=120°. 

Diện tích tam giác AEH là:

SAEH=12.AE.AH.sinEAH^=12.1.1.sin120°=34 (đơn vị diện tích).

Tương tự ta có: SBDN=34 (đơn vị diện tích) và SCKM=34 (đơn vị diện tích)

Do đó diện tích của lục giác DEHKMN là:

S_DEHKMN = S_ABC + 3.S_ABDE + 3.S_AEH

⇒SDEHKMN=34+3.1+3.34=3+3 (đơn vị diện tích).

Vậy SDEHKMN=3+3 (đơn vị diện tích).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

Áp dụng hệ quả định lí sin cho tam giác ABC ta có:

BC = 2R.sinA; AC = 2R.sinB; AB = 2R.sinC.

Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có: AB + AC > BC

Þ 2R.sinC + 2R.sinB > 2R.sinA

Þ sinC + sinB > sinA.

Chứng minh tương tự ta cũng có: sinA + sinB > sinC và sinA + sinC > sinB.

Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC ta có: A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒B^+C^=180°−A^ 

Þ cos(B + C) = cos(180° ‒ A) = ‒cosA;

Và sin(B + C) = sin(180° ‒ A)= sinA.

Do đó:

sinA.cos(B + C) + cosA.sin(B + C)

= sinA.(‒cosA) + cosA.sinA

= ‒sinA.cosA + cosA.sinA

= 0

Vậy sinA.cos(B + C) + cosA.sin(B + C) = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

+) sin0° + cos0° = 0 + 1 = 1. Do đó phương án A là mệnh đề sai.

+) sin90° + cos90° = 1 + 0 = 1. Do đó phương án B là mệnh đề đúng.

+) sin180° + cos180° = 0 + (‒1) = ‒1. Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

+) sin60°+cos60°=32+12=3+12. Do đó phương án D là mệnh đề đúng.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tanα = ‒3 nên sinαcosα=−3 do đó cosα ≠ 0

Ta có: P=6sinα−7cosα7sinα+6cosα

P=6sinα−7cosαcosα7sinα+6cosαcosα (do cosα ≠ 0)

P=6sinαcosα−77sinαcosα+6

P=6tanα−77tanα+6

 

P=6.−3−77−3+6=−25−15=53 

Vậy P=53 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi (x₀; y₀) là toạ độ điểm M, ta có:

- Tung độ y₀ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = y₀;

- Hoành độ x₀ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = x₀;

- Tỉ số y0x0(x₀ ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là tanα=y0x0; 

- Tỉ số x0y0 (y₀ ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là cotα=x0y0.

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy.

Khi đó ta có: OH = x₀ = cosα, MH = OK = y₀ = sinα, OM = 1.

Tam giác OMH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

MH² + OH² = OM²

Hay sin²α + cos²α = 1.

Do đó phương án A là mệnh đề đúng.

Với 0° < α < 180° và α ≠ 90° ta có: tanα=y0x0;cotα=x0y0.

⇒tanα.cotα=y0x0.x0y0=1. Do đó phương án B là mệnh đề đúng.

Với α ≠ 90° ta có: 1+tan2α=1+sin2αcos2α=cos2α+sin2αcos2α=1cos2α (do sin²α + cos²α = 1).

Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

Với 0° < α < 180° và α ≠ 90° ta có:

1+cot2α=1+cot2αsin2α=sin2α+cos2αsin2α=1sin2α(do sin²α + cos²α = 1).

Do đó phương án D là mệnh đề sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để tìm α khi biết tanα = 1,607 thì ta sử dụng máy tính cầm tay và tính được: α ≈ 58°.

Vậy α ≈ 58°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: cosA.sinB−C2=0⇒cosA=0sinB−C2=0

⇒A=90°B−C2=0°vì  B−C2=180° là vô lí  

Þ ⇒A^=90°B^=C^

ÞDABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Vậy DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có A⏞ là góc tù nên B^,C^ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ACsinB=ABsinC=2R

⇒R2sinB=RsinC=2R 

⇒sinB=R22R=22sinC=R2R=12 ⇒B^=45°C^=30° (vì B^,C^ là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có B^=45°,C^=30° ta có:

A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒A^=180°−B^−C^ 

⇒A^=180°−45°−35°=105°

Vậy A^=105°. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

cosC=AC2+BC2−AB22.AC.BC=32+42−222.3.4=78.

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng 78 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là: S=12.AB.AC.sinA

⇒sinA=2SAB.AC=2.12010.24=1

Mà 0°<A^<180°

⇒A^=90°

ÞDABC vuông tại A

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² Þ BC² = 10² + 24² = 676

Þ BC = 26.

Do đó trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC có độ dài là: AM=12BC=12.26=13. 

Vậy độ dài đường trung tuyến AM bằng 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì BE là trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC.

Do đó EC=12.AC=12.30=15cm 

Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GE=13BE (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay GEBE=13. 

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ G xuống AC.

Suy ra GH // AB.

Do đó GHBA=GEBE (định lí Ta – let trong tam giác ABE)

Hay GHBA=13⇒GH=13.BA=13.30=10cm

Diện tích tam giác GEC là: SGEC=12.GH.EC=12.10.15=75cm2 

Vậy diện tích tam giác GEC là 75 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có diện tích ban đầu của tam giác ABC là: S=12.BC.AC.sinC.

Diện tích của tam giác mới sau khi thay đổi kích thước là:

S'=12.2BC.3AC.sinC=6.12.BC.AC.sinC=6S.

Vậy diện tích của tam giác mới được tạo thành là 6S.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có CAB^=180°−51°40'=128°20'

Xét tam giác ABC ta có: CAB^+ABC^+ACB^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒ACB^=180°−CAB^−ABC^ 

⇒ACB^=180°−128°20'−45°39'=6°1'.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ACsinABC^=ABsinACB^

 ⇒ACsin45°39'=10sin6°1' ⇒AC=10.sin45°39'sin6°1'

Xét tam giác ACH vuông tại H có: CH=AC.sinCAH^ 

⇒CH=10.sin45°39'sin6°1'.sin51°40' ≈ 53,51 (m)

Chiều cao của cột cờ là khoảng: 1,5 + 53,51 = 55,01 (m)

Vậy cột cờ cao khoảng 55,01 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABC là: p=AB+AC+BC2=4,3+7,5+3,72=314cm

Diện tích tam giác ABC theo công thức Heron là:

S=pp−ABp−ACp−BC≈5,2cm2 

Mặt khác: S=AB.AC.BC4R⇒R=AB.AC.BC4S≈4,3.7,5.3,74.5,2≈5,73cm 

Vậy bán kính của chiếc đĩa là khoảng 5,73 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x giờ (x > 0) là khoảng thời gian kể từ khi bắt đầu chạy từ điểm O đến khi hai vận động viên cách nhau 10 km.

Khi đó đoạn đường mà vận động viên A chạy được là 13x (km);

Đoạn đường mà vận động viên B chạy được là 12x (km).

Theo hình vẽ trên ta có: AB = 10, OA = 13x, OB = 12x và AOB^=135°−15°=120° 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB ta có:

AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.sinAOB^ 

Þ 10² = (13x)² + (12x)² – 2.13x.12x.sin120°

⇒102=169x2+144x2−312x2.32 

⇒102=313−1563x2 

⇒x2=10313−1563 Þ x ≈ 0,483 (giờ) (vì x > 0) ≈ 29 phút.

Do đó thời điểm mà hai vận động viên cách nhau 10 km là khoảng: 9 giờ 29 phút.

Vậy vào khoảng 9 giờ 29 phút thì hai vận động viên sẽ cách nhau 10 km.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: SQB^=PQT^=α,TPO^=β 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

PQ² = OP² + OQ² – 2.OP.OQ.cos POQ^ 

⇒PQ2=22+2+62– 2.2.2+6.cos45°  Þ PQ² = 8 ⇒PQ=22m 

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

cosα=cosOQP^=OQ2+PQ2−OP22.OQ.PQ=2+62+8−222.2++6.22=32. 

Þ α = 30°

Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)

Þ β = 45° + 30° = 75° ⇒TPO^=75° 

Xét tam giác OTP ta có: OTP^+TOP^+TPO^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hay OTP^+45°+75°=180°

⇒OTP^=180°−45°−75°=60° 

Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: OPsinOTP^=PTsinTOP^ 

⇒2sin60°=PTsin45° ⇒PT=2.sin45°sin60°=2.2232=263. 

Vậy PT=263.