Bài tập cuối chương IV có đáp án

Áp dụng định lí côsin ta có:

c² = a² + b² – 2abcosC = 49,4² + 26,4² – 2.49,4.26,4.cos47°20' ≈ 1 369,6

⇒ c = 1369,6≈37.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có

cosA = b2+c2−a22bc=26,42+372−49,422.26,4.37≈−0,192.

⇒ A^≈101o3'.

Tam giác ABC có:

A^+B^+C^=180o⇒B^=180o−(A^+C^)=180o−(101o3'+47o20')=31o37'

Vậy A^≈101o3'; B^≈31o37'; c ≈ 37.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosA = b2+c2−a22bc=132+152−2422.13.15≈−0,467

⇒ A^≈117o49'

cosB = a2+c2−b22ac=242+152−1322.24.15≈0,878

⇒ B^≈28o37'

Tam giác ABC có:

A^+B^+C^=180o⇒C^=180o−(A^+B^)=180o−(117o49'+28o37')=33o34'

Vậy A^≈117o49'; B^≈28o37'; C^=33o34'.

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosC = a2+b2−c22ab=82+102−1322.8.10=−0,03125

⇒ C^≈91o47'26''

Suy ra C^>90o

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

b) Do AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC, tức là MB = MC = BC : 2 = 4.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ACM ta có:

AM² = AC² + CM² – 2.AC.CM.cosC = 10² + 4² – 2.10.4.cos91°47'26" = 118,5

⇒ AM ≈ 10,9.

Nửa chu vi của tam giác ABC là :

 p=a+b+c2=8+10+132=15,5

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là:

S=p(p−a)(p−b)(p−c)=15,5.(15,5−8).(15,5−10).(15,5−13)≈40

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:

S=abc4R⇒R=abc4S=8.10.134.40=6,5

Vậy độ dài đường trung tuyến AM ≈ 10,9; diện tích tam giác ABC là 40; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,5.

c) Vì D đối xứng với A qua C nên C là trung điểm của AD.

Suy ra AD = 2AC = 2.10 = 20.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosA = b2+c2−a22bc=102+132−822.10.13=205260=4152

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABD ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cosA = 20² + 13² – 2.20.13.4152 = 159

⇒ BD =  159≈ 12,6.

Vậy BD ≈ 12,6.

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bccosA = 8² + 5² – 2.8.5.cos120° = 129

⇒ a = 129≈11,4

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosB = a2+c2−b22ac=11,42+52−822.11,4.5≈0,798

⇒ B^≈37o4'

Tam giác ABC có:

A^+B^+C^=180o⇒C^=180o−(A^+B^)=180o−(120o+37o4')=22o56'

Vậy a ≈ 11,4; B^≈37o4'; B^=22o56'.

b) Nửa chu vi tam giác ABC là :

 p=a+b+c2=11,4+8+52=12,2

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

S=12,2.(12,2−11,4).(12,2−8).(12,2−5)=295,1≈17,2

Vậy diện tích tam giác ABC khoảng 17,2 (đơn vị diện tích).

c) Ta có diện tích tam giác ABC: 

S=abc4R⇒R=abc4S=11,4.8.54.17,2≈6,6

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khoảng 6,6 (đơn vị độ dài).

Gọi h_a là độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A, tức là h_a = AH.

Khi đó S=12aha⇒ha=2Sa=2.17,211,4≈3

⇒ AH = h_a ≈ 3.

Vậy AH ≈ 3.

a) Do ABCD là hình bình hành nên BC = AD; AB = DC,

Và AB // CD nên A^+D^=180o⇒D^=180o−A^ suy ra cosD = cos(180 – A)= – cosA.

Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác ABD và ADC ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cosA = BC² + AB² – 2.BC.AB.cosA

AC² = AD² + DC² – 2.AD.DC.cosD = BC² + AB² + 2.BC.AB.cosA

Khi đó : BD² + AC² = 2AB² + 2BC² = 2(AB² + BC²).

Vậy 2(AB² + BC²) = AC² + BD².

b) Thay AB = 4, BC = 5, BD = 7 vào biểu thức 2(AB² + BC²) = AC² + BD² ta được:

2.(4² + 5²) = AC² + 7² ⇒ AC² = 2.(4² + 5²) – 7² = 33

⇒ AC = 33≈5,7

Vậy AC ≈ 5,7.

a) Nửa chu vi tam giác ABC là : 

p=a+b+c2=15+20+252=30

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

S=30.(30−15).(30−20).(30−25)=22500=150

Vậy diện tích tam giác ABC là 150 (đơn vị diện tích).

b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có diện tích tam giác ABC: 

S=abc4R⇒R=abc4S=15.20.254.150=12,5

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 12,5 (đơn vị độ dài).

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Ta có: cotA = cosAsinA mà theo hệ quả định lí côsin cosA = b2+c2−a22.b.c ;

Vì S=12bcsinA ⇒ sinA = 2Sbc

Do đó cotA = cosAsinA=b2+c2−a22bc2Sbc=b2+c2−a24S

Tương tự, ta có : cotB = a2+c2−b24S; cotC = a2+b2−c24S;

Suy ra: cotA + cotB + cotC = b2+c2−a24S+ a2+c2−b24S+ a2+b2−c24S= a2+b2+c24S

Mặt khác S = abc4R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Suy ra: cotA + cotB + cotC =

a2+b2+c24S=a2+b2+c24.abc4R=R(a2+b2+c2)abc

Vậy cotA + cotB + cotC = R(a2+b2+c2)abc

Gọi vị trí của vệ tinh là C. Khi đó ta có tam giác ABC có : AC = 370 km, BC = 350 km, C^=2,1o .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có :

AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cosC = 370² + 350²  – 2.370.350.cos2,1° ≈ 573,9

⇒ AB = 573,9 ≈ 24.

Vậy khoảng cách giữa hai nóc nhà A và B khoảng 24 km.

Ta có tam giác ABP và tam giác ABQ là các tam giác vuông tại B.

Trong tam giác ABP vuông tại B ta có:

tan BPA^ = ABPB=ABPQ+QB=AB300+QB.

Suy ra : tan35° = AB300+QB ⇒ AB = (300 + QB).tan35°            (1)

Trong tam giác ABQ vuông tại B ta có: tan BQA^ = ABQB

Suy ra : tan48° =  ABQB ⇒ AB = QB.tan48°                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra : (300 + QB).tan35°  = QB.tan48°

⇒ QB = 300.tan35otan48o−tan35o ≈ 511,8.

⇒ AB = QB.tan48^o  ≈ 511,8.tan 48° ≈ 568,4.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 568,4 m.

Do phương nằm ngang hợp với phương thẳng đứng của tháp góc 90° nên hai tam giác DC₁A₁ và DC₁B₁ là hai tam giác vuông tại C₁.

Tam giác DC₁A₁ có : tan49° = DC1C1A1

⇒ DC₁ = C₁A₁tan49°         (1).

Tam giác DC₁B₁ có :

tan35° =  DC1C1B1=DC1C1A1+A1B1=DC1C1A1+12

⇒ DC₁ = (C₁A₁ + 12). tan35° = C₁A₁ tan35° + 12tan35°              (2).

Từ (1) và (2) suy ra: C₁A₁tan49° = C₁A₁ tan35° + 12tan35°

⇒ C₁A₁ = 12tan35otan49o−tan35o≈ 18,7.

⇒ DC₁ = C₁A₁tan49° ≈ 18,7.tan49° ≈ 21,5.

Mà DC = DC₁ + C₁C = 21,5 + 1,2 = 22,7.

Vậy chiều cao của tháp CD khoảng 22,7 m.