Giải SBT Toán 10 Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp có đáp án
16 câu hỏi
Sau khi biên soạn 9 câu hỏi trắc nghiệm, cô giáo có thể tạo ra bao nhiêu đề kiểm tra khác nhau bằng cách đảo thứ tự các câu hỏi đó.
Mỗi cách sắp xếp thứ tự câu hỏi để được một đề ta được một hoán vị của 9 câu hỏi đó. Do đó số đề khác nhau có thể tạo ra là 9! = 362880 đề.
Cô giáo đã biên soạn 10 câu hỏi trắc nghiệm. Từ 10 câu hỏi này, cô giáo chọn ra 6 câu hỏi và sắp xếp theo thứ tự để tạo nên một đề trắc nghiệm. Cô giáo có thể tạo bao nhiêu đề kiểm tra trắc nghiệm khác nhau?
Mỗi đề được tạo ra là một chỉnh hợp chập 6 của 10 câu hỏi. Do đó số đề có thể được tạo ra là A106= 10!4!= 151200 đề.
Một giải đấu có 4 đội bóng A, B, C và D tham gia. Các đội đấu vòng tròn một lượt để tính điểm và xếp hạng.
a) Có tất cả bao nhiêu trận đấu?
a) Cứ hai đội bất kì thì có một trận đấu. Do đó, số trận đấu của đội bằng số tổ hợp chập 2 của 4 đội, tức bằng C42=4!2!.2! = 6 trận đấu.
b) Có tất cả bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về đội vô địch và á quân?
b) Mỗi kết quả của giải đấu về đội vô địch và á quân là một chỉnh hợp chập 2 của 4 đội, tức bằng A42= 4.3 = 12 khả năng có thể xảy ra về đội vô địch và á quân,
c) Có bao nhiêu khả năng về bảng xếp hạng sau khi giải đấu kết thúc? Biết rằng không có hai đội nào đồng hạng.
c) Mỗi kết quả về bảng xếp hạng của giải đấu là một hoán vị của 4 đội. Do đó số kết quả có thể xảy ra là P4 = 4! = 24.
Cho 7 điểm trong mặt phẳng.
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là 2 trong 7 điểm đã cho?
a) Mỗi đoạn thẳng tương ứng với một tổ hợp chập 2 của 7 điểm.
Số đoạn thẳng bằng C72 = 21.
b) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 7 điểm đã cho?
b) Mỗi vectơ tương ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 7 điểm.
Số vectơ bằng A72 = 42.
Chọn 4 trong 6 giống hoa khác nhau và trồng trên 4 mảnh đất khác nhau để thử nghiệm. Có bao nhiêu cách thực hiện khác nhau?
Mỗi cách chọn 4 trong 6 giống hoa khác nhau và trồng trên 4 mảnh đất khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 giống hoa.
Do đó, số cách thực hiện là A64=6!4! = 360.
Một tổ công nhân 9 người làm vệ sinh cho một toà nhà lớn. Cần phân công 3 người lau cửa sổ, 4 người lau sàn và 2 người lau cầu thang. Tổ có bao nhiêu cách phân công?
Có C93 cách chọn 3 trong 9 người để lau cửa sổ.
Có C64 cách chọn 4 trong 6 người còn lại để lau sàn.
Có C22 cách chọn 2 người còn lại để lau cầu thang.
Áp dụng quy tắc nhân ta có C93.C64.C22= 84.15.1 = 1260 cách phân công.
Chọn 4 trong số 3 học sinh nam và 5 học sinh nữ tham gia một cuộc thi.
a) Nếu chọn 2 nam và 2 nữ thì có bao nhiêu cách chọn?
a) Số cách chọn 4 bạn gồm 2 nam và 2 nữ tham dự một kì thi gồm 2 công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn 2 nam có C32 cách chọn 2 trong số 3 học sinh nam.
Công đoạn 2:Ứng với 2 bạn nam được chọn, cách chọn 2 bạn nữ là C52 cách chọn 2 trong số 5 học sinh nữ.
Áp dụng quy tắc nhân ta có C32.C52 = 3.10 = 30 cách chọn 2 nam và 2 nữ.
b) Nếu trong số học sinh được chọn nhất thiết phải có học sinh nam A và học sinh nữ B thì có bao nhiêu cách chọn?
b) Trong 4 học sinh có hai học sinh là A và B, ta chọn tiếp 2 trong 6 học sinh còn lại. Vậy có C62 = 15 cách chọn thỏa mãn yêu cầu.
c) Nếu phải có ít nhất một trong hai học sinh A và B được chọn, thì có bao nhiêu cách chọn?
c) Chia thành 3 phương án: chỉ có A, chỉ có B, có cả A và B.
Phương án 1: Trong 4 học sinh chỉ có A không có B. Sau khi chọn A, ta chọn tiếp 3 trong 6 học sinh còn lại không có B. Có C63cách chọn.
Phương án 2: Trong 4 học sinh chỉ có B không có A. Sau khi chọn B, ta chọn tiếp 3 trong 6 học sinh còn lại không có A. Có C63 cách chọn.
Phương án 3: Trong 4 học sinh có cả A và B. Sau khi chọn A và B, ta chọn tiếp 2 trong 6 học sinh còn lại. Có C62 = 15 cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng, ta có C63+C63+C62 = 20 + 20 + 15 = 55 cách chọn thỏa mãn yêu cầu.
d) Nếu trong 4 học sinh được chọn phải có cả học sinh nam và học sinh nữ thì có bao nhiêu cách chọn?
d) Chia thành 3 phương án: có 1 học sinh nam, có 2 học sinh nam, có 3 học sinh nam.
Phương án 1: Trong 4 học sinh có 1 học sinh nam. Có 3 cách chọn 1 trong 3 học sinh nam và C53 cách chọn 3 trong 5 học sinh nữ. Có 3. C53 cách chọn.
Phương án 2: Trong 4 học sinh có 2 học sinh nam. Có C32 cách chọn 2 trong 3 học sinh nam và C52 cách chọn 2 trong 5 học sinh nữ. Có C32.C52 cách chọn.
Phương án 3: Trong 4 học sinh có 3 học sinh nam. Có 1 cách chọn 3 học sinh nam và 5 cách chọn 1 trong 5 học sinh nữ. Có 5 cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng ta có 3. C53+C32.C52+5 = 3.10 + 3.10 + 5 = 65 cách chọn thỏa mãn yêu cầu.
Lấy hai số bất kì từ 1; 3; 5; 7; 9 và lấy hai số bất kì từ 2; 4; 6; 8, để lập các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau.
a) Lập được bao nhiêu số như vậy?
a) Chia thành 3 công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn 2 trong 5 chữ số lẻ. Có C52 cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn 2 trong 4 chữ số chẵn. Có C42 cách chọn.
Công đoạn 3: Sắp xếp 4 chữ số chọn được. Có 4! cách sắp xếp.
Áp dụng quy tắc nhân ta có C52.C42.4! = 10.6.24 = 1440 số thoả mãn yêu cầu.
b) Trong số đó, có bao nhiêu số có chữ số hàng nghìn và hàng đơn vị là chữ số lẻ?
b) Chia làm 2 công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn 2 chữ số lẻ và sắp xếp vào hai vị trí hàng nghìn và hàng đơn vị. Có A52 cách.
Công đoạn 2: Chọn 2 chữ số chẵn và sắp xếp vào hai vị trí hàng trăm và hàng chục. Có A42 cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có A52.A42 = 20.12 = 240 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cần sắp xếp thứ tự 8 tiết mục văn nghệ cho buổi biểu diễn văn nghệ của trường. Ban tổ chức dự kiến xếp 4 tiết mục ca nhạc ở vị trí thứ 1, thứ 2, thứ 5 và thứ 8; 2 tiết mục múa ở vị trí thứ 3 và thứ 6; 2 tiết mục hài ở vị trí thứ 4 và thứ 7. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
Chia thành 3 công đoạn.
Công đoạn 1: Sắp xếp 4 tiết mục ca nhạc vào 4 vị trí 1, 2, 5, 8. Có 4! cách xếp.
Công đoạn 2: Sắp xếp 2 tiết mục múa vào 2 vị trí 3, 6. Có 2! cách xếp.
Công đoạn 1: Sắp xếp 2 tiết mục hài vào 2 vị trí 4, 7. Có 2! cách xếp.
Áp dụng quy tắc nhân ta có 4!. 2!. 2! = 96 cách xếp khác nhau.
