20 câu trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2. Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Một hộp có 7 quả cầu xanh, 9 quả cầu đỏ và 12 quả cầu vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả cầu có đúng 2 màu?
\(3276\).
\(1095\).
\(2859\).
\(2181\).
TH1: Chọn 2 quả cầu xanh và 1 quả cầu đỏ có \(C_7^2 \cdot C_9^1 = 189\) cách.
TH2: Chọn 1 quả cầu xanh và 2 quả cầu đỏ có \(C_7^1 \cdot C_9^2 = 252\) cách.
TH3: Chọn 2 quả cầu xanh và 1 quả cầu vàng có \(C_7^2 \cdot C_{12}^1 = 252\) cách.
TH4: Chọn 1 quả cầu xanh và 2 quả cầu vàng có \(C_7^1 \cdot C_{12}^2 = 462\) cách.
TH5: Chọn 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu vàng có \(C_9^2 \cdot C_{12}^1 = 432\) cách.
TH6: Chọn 1 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng có \(C_9^1 \cdot C_{12}^2 = 594\)cách.
Vậy có tất cả \(189 + 252 + 252 + 462 + 432 + 594 = 2181\) cách chọn. Chọn D.
Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có đúng hai học sinh nam?
\(24\).
\(12\).
\(6\).
\(30\).
Có \(C_4^2 \cdot C_2^1 = 12\) cách chọn ra 3 học sinh trong đó có đúng hai học sinh nam. Chọn B.
Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của hình đa giác đều có 10 cạnh?
\(C_{11}^3\).
\(A_{10}^3\).
\(C_{10}^3\).
\(A_{11}^3\).
Có \(C_{10}^3\) tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của hình đa giác đều có 10 cạnh. Chọn C.
Cho tập \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\). Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được tạo từ tập \(A\)?
\(A_{10}^4\).
\(9 \cdot C_9^4\).
\(9 \cdot A_9^4\).
\(C_{10}^4\).
Có \(9 \cdot A_9^4\) số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được tạo từ tập \(A\). Chọn C.
Trong một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong tổ tham gia đội tình nguyện của trường. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh toàn là nam?
\(C_6^3\).
\(C_4^3\).
\(A_6^3\).
\(A_4^3\).
Có \(C_6^3\) cách chọn 3 học sinh toàn là nam. Chọn A.
Bạn Minh thực hiện thí nghiệm hóa học. Trên bàn có 4 ống nghiệm chứa 4 loại acid khác nhau và 4 ông nghiệm chứa 4 loại base khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách ghép cặp acid với base để tạo thành 4 phản ứng cùng lúc?
\(16\).
\(24\).
\(8\).
\(4\).
Cố định 4 ống nghiệm chứa acid và hoán vị 4 ống nghiệm chứa base để ghép cặp tạo thành 4 phản ứng có \(4! = 24\) cách. Chọn B.
Số cách xếp 4 bạn học sinh \(A,B,C,D\) vào 4 chiếc ghế ngồi theo hàng ngang (mỗi người ngồi một ghế) là
\(16\).
\(4\).
\(8\).
\(24\).
Số cách xếp 4 bạn học sinh \(A,B,C,D\) vào 4 chiếc ghế ngồi theo hàng ngang (mỗi người ngồi một ghế) là
\(4! = 24\). Chọn D.
Số cách chọn 3 bạn học sinh đi học bơi từ một nhóm 10 bạn học sinh là
\(3628800\).
\(604800\).
\(120\).
\(720\).
Số cách chọn 3 bạn học sinh đi học bơi từ một nhóm 10 bạn học sinh là \(C_{10}^3 = 120\). Chọn C.
Xếp 6 người \(A,B,C,D,E,F\) vào một ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho \(A\) và \(F\) ngồi ở hai đầu ghế.
\(48\).
\(42\).
\(46\).
\(50\).
Số cách xếp sao cho \(A\) và \(F\) ngồi ở hai đầu ghế là \(2!\) cách.
4 người còn lại có \(4!\) cách.
Vậy có tất cả \(2! \cdot 4! = 48\) cách. Chọn A.
Câu lạc bộ bóng đá có 16 thành viên. Số cách chọn một ban chấp hành bất kì gồm một trưởng ban, một phó ban, một thứ kí và một thủ quỹ được chọn từ 16 thành viên là:
\(4\).
\(\frac{{16!}}{4}\).
\(C_{16}^4\).
\(A_{16}^4\).
Có \(A_{16}^4\) một ban chấp hành bất kì gồm một trưởng ban, một phó ban, một thứ kí và một thủ quỹ được chọn từ 16 thành viên. Chọn D.
Trong một hộp bánh có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân đậu xanh.
Có 480 cách chọn ra 3 loại bánh nhân thịt và 3 loại bánh nhân đậu xanh.
Có 5 cách chọn ra 5 loại bánh sao cho không có loại bánh nhân đậu xanh nào cả.
Có 96 cách chọn ra 3 loại bánh gồm có cả nhân thịt và nhân đậu xanh.
Có 120 cách chọn ra 6 loại bánh sao cho số loại bánh nhân thịt nhiều hơn loại bánh nhân đậu xanh.
a) Có \(C_6^3 \cdot C_4^3 = 80\) cách chọn ra 3 loại bánh nhân thịt và 3 loại bánh nhân đậu xanh.
b) Có \(C_6^5 = 6\)cách chọn ra 5 loại bánh sao cho không có loại bánh nhân đậu xanh nào cả.
c) TH1: Chọn 2 bánh nhân thịt và 1 bánh nhân đậu xanh có \(C_6^2 \cdot C_4^1 = 60\) cách.
TH2: Có 1 bánh nhân thịt và 2 bánh nhân đậu xanh có \(C_6^1 \cdot C_4^2 = 36\) cách.
Vậy có \(60 + 36 = 96\) cách chọn ra 3 loại bánh gồm có cả nhân thịt và nhân đậu xanh.
d) TH1: Chọn 4 bánh nhân thịt và 2 bánh nhân đậu xanh có \(C_6^4 \cdot C_4^2 = 90\) cách.
TH2: Chọn 5 bánh nhân thịt và 1 bánh nhân đậu xanh có \(C_6^5 \cdot C_4^1 = 24\) cách.
TH3: Chọn 6 bánh nhân thịt có \(C_6^6 = 1\) cách.
Vậy có \(90 + 24 + 1 = 115\) cách chọn ra 6 loại bánh sao cho số loại bánh nhân thịt nhiều hơn loại bánh nhân đậu xanh.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca.
Số cách chọn được 3 nam và 1 nữ là 10.
Có 715 cách chọn 4 người hát tốp ca.
Có 70 cách chọn 4 người có số nữ nhiều hơn số nam.
Có 53 cách chọn 4 người có số nữ bằng số nam.
a) Số cách chọn được 3 nam và 1 nữ là \(C_5^3 \cdot C_8^1 = 80\).
b) Có \(C_{13}^4 = 715\) cách chọn 4 người hát tốp ca.
c) Chọn 4 người có số nữ nhiều hơn số nam tức là chọn 3 nữ và 1 nam.
Khi đó có \(C_8^3 \cdot C_5^1 = 280\) cách.
d) Có \(C_5^2 \cdot C_8^2 = 280\) cách chọn 4 người có số nữ bằng số nam.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Có 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 10A, 3 học sinh lớp 10B và 5 học sinh lớp 10C.
Số cách chọn một học sinh trong số học sinh trên là 10.
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng ngang có \(9!\) cách.
Số các chọn 3 học sinh đủ cả 3 lớp là 30.
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng ngang trong đó không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau có 384 cách.
a) Số cách chọn một học sinh trong số học sinh trên là 10.
b) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng ngang có \(10!\) cách.
c) Số các chọn 3 học sinh đủ cả 3 lớp là \(2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\).
d) Xếp 5 học sinh lớp 10C trước ta có \(5!\) cách.
Ở giữa 5 học sinh có tất cả 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại
| C1 |
| C2 |
| C3 |
| C4 |
| C5 |
|
Sắp 5 học sinh còn lại vào 6 vị trí trống, ta xếp 3 học sinh lớp 10B, sau đó sẽ sắp 2 học sinh lớp 10A.
Không thể sắp đồng thời 2 học sinh lớp 10B vào 2 vị trí hai đầu vì khi đó chắc chắn sẽ có ít nhất 2 học sinh lớp 10C đứng cạnh nhau. Vậy, có 2 trường hợp thỏa mãn.
TH1: Xếp 3 học sinh lớp 10B vào 4 vị trí trống ở giữa có \(A_4^3\) cách.
Ứng với mỗi cách xếp đó, chọn 1 trong 2 học sinh lớp 10A xếp vào vị trí trống thứ 4 (để 2 học sinh lớp 10C không đứng cạnh nhau), có 2 cách.
Học sinh lớp 10A còn lại có 8 vị trí để xếp, có 8 cách.
Vậy trong trường hợp này có \(A_4^3 \cdot 2 \cdot 8 = 384\) cách.
TH2: Xếp 2 trong 3 học sinh lớp 10B vào 4 vị trí trống ở giữa và học sinh còn lại vào hai đầu, có \(C_3^1 \cdot 2 \cdot A_4^2\) cách.
Ứng với mỗi cách xếp đó sẽ còn 2 vị trí trống ở giữa, xếp hai học sinh lớp 10A vào vị trí đó, có 2 cách.
Vậy trong trường hợp này ta có \(C_3^1 \cdot 2 \cdot A_4^2 \cdot 2 = 144\) cách.
Vậy có \(5! \cdot \left( {384 + 144} \right) = 63360\) cách.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Một hộp chứa 50 thẻ được đánh số từ 1 đến 50.
Số cách chọn 3 thẻ bất kì là \(C_{50}^3\).
Số cách chọn 3 thẻ có số ghi đều là lẻ bằng \(C_{25}^2\).
Số cách chọn được 3 thẻ có số ghi đều là chẵn bằng \(C_{25}^3\).
Số cách chọn được ba thẻ trong đó có đúng một thẻ ghi số nhỏ hơn 10 bằng \(369\).
a) Số cách chọn 3 thẻ bất kì là \(C_{50}^3\).
b) Từ 1 đến 50 có 25 số lẻ. Do đó số cách chọn 3 thẻ có số ghi đều là lẻ bằng \(C_{25}^3\).
c) Từ 1 đến 50 có 25 số chẵn. Do đó số cách chọn 3 thẻ có số ghi đều là chẵn bằng \(C_{25}^3\).
d) Số cách chọn được ba thẻ trong đó có đúng một thẻ ghi số nhỏ hơn 10 bằng \(C_9^1 \cdot C_{41}^2 = 7380\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Một hộp chứa 10 quả cầu khác nhau trong đó có 5 quả màu xanh và 5 quả màu trắng.
Số cách lấy ra 3 quả cầu trong hộp sao cho có ít nhất một quả màu xanh là 180.
Sắp xếp 10 quả cầu đó thành một hàng ngang theo thứ tự. Số cách xếp các quả cầu màu xanh và màu trắng được xếp xen kẽ nhau là 14400.
Số cách lấy ra 2 quả cầu trong hộp là 45.
Số cách lấy một quả cầu trong hộp là 10.
a) Số cách lấy ra 3 quả cầu là \(C_{10}^3 = 120\) cách.
Số cách lấy ra ba quả cầu không có quả cầu nào màu xanh là \(C_5^3 = 10\) cách.
Vậy có \(120 - 10 = 110\) cách lấy ra 3 quả cầu trong hộp sao cho có ít nhất một quả màu xanh.
b) TH1: Bắt đầu bằng quả cầu màu xanh.
Có \(5!\) cách sắp xếp 5 quả cầu màu xanh.
Có \(5!\) cách sắp xếp 5 quả cầu màu trắng.
Khi đó số cách sắp xếp là \(5! \cdot 5! = 14400\) cách.
TH2: Bắt đầu bằng quả cầu màu trắng.
Tương tự có 14400 cách.
Vậy có \(14400 + 14400 = 28800\) cách.
c) Số cách lấy ra 2 quả cầu trong hộp là \(C_{10}^2 = 45\) cách.
d) Số cách lấy một quả cầu trong hộp là 10.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho 20 điểm phân biệt và không có ba điểm nào thẳng hàng. Lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 20 điểm đã cho?
Có \(C_{20}^3 = 1140\) tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 20 điểm đã cho.
Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_{n - 1}^2 + \frac{{{P_n}}}{{{P_{n - 2}}}} = 449\left( {n - 1} \right)\) có bao nhiêu ước số nguyên dương?
Điều kiện \(n \ge 3\)
\(C_{n - 1}^2 + \frac{{{P_n}}}{{{P_{n - 2}}}} = 449\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!2!}} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 449\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{2} + n\left( {n - 1} \right) = 449\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {\frac{{n - 2}}{2} + n - 449} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {3n - 900} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1\\n = 300\end{array} \right.\). Kết hợp điều kiện ta có \(n = 300\).
Vậy 300 có 18 ước nguyên dương.
Từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5\). Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện 3 lần, các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần.
Vì số 1 xuất hiện 3 lần nên ta coi số cần lập có 8 chữ số từ các chữ số \(0;1;1;1;2;3;4;5\).
Khi đó ta có \(8!\) số (kể cả số 0 đứng đầu). Tuy nhiên khi hoán vị ba số 1 cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả \(\frac{{8!}}{{3!}}\).
Xét trường hợp chữ số đầu tiên là số 0. Tương tự ta lập được \(\frac{{7!}}{{3!}}\).
Vậy có tất cả \(\frac{{8!}}{{3!}} - \frac{{7!}}{{3!}} = 5880\) số thỏa mãn.
Bạn Hà có 5 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng hai bi cùng màu?
TH1: Chọn được 2 viên bi màu xanh có \(C_5^2 = 10\) cách.
TH2: Chọn được 2 viên bi màu đỏ có \(C_7^2 = 21\) cách.
Vậy có tất cả \(10 + 21 = 31\) cách chọn.
Cho đa giác đều \(n\) đỉnh và \(n \ge 3\). Tìm \(n\) biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.
Số đường chéo tạo thành là \(C_n^2 - n\).
Theo đề ta có \(C_n^2 - n = 135\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!2!}} - n = 135\)\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 135\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 270 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 18\).
