Giải Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 - Mã đề 102

Đáp án đúng là: D

Vì z₁ = 2 + 3i và z₂ = 1 - i nên z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (1 - i) = 3 + 2i.

Đáp án đúng là: C

Với a > 0, ta có $4\log \sqrt{a}=4\log \left(a^{\frac{1}{2}}\right)=4.\frac{1}{2}\log a=2\log a.$

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức $\int \sin xdx=-\cos x+C$ . Suy ra f (x) = sin x.

Đáp án đúng là: B

Diện tích xung quanh S_xq = 2prl = 4p.

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối chóp S.ABC là $V=\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}\mathrm{.10.3}=10.$

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left|z\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$

Đáp án đúng là: A

Ta có

3^{2x + 1} = 3^{2 - x}

Û 2x + 1 = 2 - x

Û 3x = 1

$\iff x=\frac{1}{3}.$

Đáp án đúng là: C

Số nghiệm thực của phương trình f (x) = 1 bằng với số giao điểm của đường thẳng (d): y = 1 và đồ thị (C) của hàm số y = f (x).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nên phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt.

Đáp án đúng là: A

Đkxđ: x > -1

log₅ (x + 1) > 2 Û x + 1 > 5²

Û x + 1 > 25 Û x > 24

Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là S = (24; +¥).

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[\frac{1}{2}f\left(x\right)+2\right]dx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}2dx=2+4=6.$

Đáp án đúng là: B

ĐKXĐ: x - 4 > 0 Û x > 4.

Vậy tập xác định của hàm số y = log₃ (x - 4) là (4; +¥).

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đố thị hàm số suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.

Đáp án đúng là: B

Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là

Đáp án đúng là: C

Do điểm A(1; 2; -3) nên hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (1; 2; 0).

Đáp án đúng là: C

Ta có bán kính mặt cầu $R=\sqrt{6}$ .

Suy ra đường kính mặt cầu bằng $2R=2\sqrt{6}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có chiều cao hình nón h OI = 3, bán kính đáy r = IM = 4 thì độ dài đường sinh là: $l=OM=\sqrt{I{M}^2+O{I}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.$

Đáp án đúng là: B

Ta có thể tích khối lăng trụ bằng V = B.h = 3a².2a = 6a3.

Đáp án đúng là: C

Một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u_3}=\left(1;-2;3\right)$ .

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{5}{\overset{-1}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{-1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=-\left(-3\right)=3.$

Đáp án đúng là: C

A'C' Ì (A'B'C'D'),

BD // (A'B'C'D') Þ d (BD, A'C') = d (BD, (A'B'C'D'))

= d (B, (A'B'C'D')) = BB' = 3a.

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = x³ + x Þ y' = 3x² + 1 > 0 "x Î ℝ.

Do đó hàm số đồng biến trên ℝ.

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số f (x) = x³ - 3x² - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2]

Þ f '(x) = 3x² - 6x - 9.

f '(x) = 0 Û 3x² - 6x - 9 = 0 $\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\in \left[-2;2\right]\\ x=3\notin \left[-2;2\right]\end{array}\right.$

Do có: f (-2) = 8; f (-1) = 15; f (2) = -12.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x³ - 3x² - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2] bằng f (-1) và bằng 15.

Đáp án đúng là: D

Vì đường thẳng cần tìm song song với mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 5 = 0. Nên đường thẳng cần tìm có có VTPT $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;3\right)$  và đi qua A(1; 2; -1) suy ra có phương trình:

2(x - 0) - (y + 3) + 3(z - 2) = 0

Û 2x - y + 3z - 9 = 0.

Đáp án đúng là: C

Từ 40 đến 60 ta có 21 số nên n (W) = 21.

Các số thỏa mãn đề bài: 45; 46; 47; 48; 49; 56; 57; 58; 59 Þ Có 9 số.

Xác suất để chọn được số thoản mãn đề bài: $P=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có:$\overrightarrow{AB}\left(2;-2;2\right);\overrightarrow{AC}\left(1;0;-1\right).$

$\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(2;4;2\right)=2\left(1;2;1\right)$

Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng cần tìm có véctơ chỉ phương là  và đi qua A(1; 2; -1). Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{1}.$

Đáp án đúng là: D

Vì phương trình z² + z + 6 = 0 có hai nghiệm z₁ và z₂.

Theo định lí Vi-et, ta có: $\left\{\begin{array}{c}{z}_1+z_2=-1\\ z_1{z}_2=6\end{array}\right.$ .

Do đó: z₁ + z₂ + z₁z₂ = -1 + 6 = 5.

Đáp án đúng là: D

$\int f\left(x\right)dx=\int \left(1-\frac{1}{{\cos }^{2}2x}\right)dx$

$=\int dx-\frac{1}{2}\int \frac{d\left(2x\right)}{{\cos }^{2}2x}=x-\frac{1}{2}\tan 2x+C.$

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định (6 - x)(x + 2) > 0

Û - x² + 4x + 12 > 0 Û -2 < x < 6.

Mà x Î ℤ Þ x Î {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên thuộc tập xác định của hàm số y = log [(6 - x)(x + 2)].

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left\{\begin{array}{c}AB\perp CC\text{'}\left(CC\text{'}\perp \left(ABC\right)\right)\\ AB\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(C\text{'}CB\right)\Rightarrow AB\perp C\text{'}B$

$\left\{\begin{array}{c}\left(C\text{'}AB\right)\cap \left(ABC\right)=AB\\ C\text{'}B\perp AB\end{array}\right.$

$\Rightarrow \widehat{\left(\left(C\text{'}AB\right);\left(ABC\right)\right)}=\widehat{\left(C\text{'}B;BC\right)}=\widehat{C\text{'}BC}$

DABC vuông tại B nên $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{2^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=1$ .

Trong tam giác vuông C'BC, $\tan \widehat{C\text{'}BC}=\frac{C\text{'}C}{BC}=\frac{1}{1}=1$ .

Do đó $\widehat{C\text{'}BC}=45°$. Vậy $\widehat{\left(\left(C\text{'}AB\right);\left(ABC\right)\right)}=45°.$

Đáp án đúng là: C

f '(x) = 4mx³ + 4(m - 1)x

Do f (x) là hàm đa thức và $\underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)\Rightarrow f^{\text{'}}\left(1\right)=0$

$\iff 4m+4\left(m-1\right)=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}$

Thay $m=\frac{1}{2}$  vào hàm số ban đầu ta được

$y=\frac{1}{2}{x}^4+2\left(\frac{1}{2}-1\right)x^2=\frac{1}{2}{x}^4-x^2$

Þ y' = 2x³ - 2x = 2x(x - 1)(x + 1)

Ta có BBT:

Vậy với $m=\frac{1}{2}$  , thì $\underset{\left[0;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)\left(TM\right)$ .

Dựa vào BBT ta có $\underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right)=4.$

Đáp án đúng là: B

(5^b - 1)(a.2^b - 5) = 0 $\iff \left[\begin{array}{c}{5}^b-1=0\\ a{.2}^b-5=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}b=0\\ b={\log }_2\frac{5}{a}\end{array}\right.$

+) TH1:$\left\{\begin{array}{c}{\log }_2\frac{5}{a}<0\\ a>0\end{array}\right.\iff a>5$

Vì hàm số y = a^x (a > 1) là hàm đồng biến nên

(5^b - 1)(a.2^b - 5) < 0

Yêu cầu của bài toán suy ra

$-3\le {\log }_2\frac{5}{a}<-2\iff \frac{1}{8}\le \frac{5}{a}<\frac{1}{4}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}a\le 40\\ a>20\end{array}\right.$

Mà a Î ℕ^* Þ a Î {21; 22; ...; 40}

+) TH2:$\left\{\begin{array}{c}{\log }_2\frac{5}{a}>0\\ a>0\end{array}\right.\iff 0<a<5$

Vì hàm số y = a^x (a > 1) là hàm đồng biến nên

(5^b - 1)(a.2^b - 5) < 0 $\iff 0<b<{\log }_2\frac{5}{a}$

Yêu cầu của bài toán suy ra

$2\le {\log }_2\frac{5}{a}<3\iff 4\le \frac{5}{a}<8$

$\iff \left\{\begin{array}{c}a\le \frac{5}{4}\\ a>\frac{5}{8}\end{array}\right.$

Mà a Î ℕ^* Þ a = 1

Vậy có 21 số nguyên a thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Đáp án đúng là: A

Đặt G (x) = F (x) + C (C là hằng số).

$\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(5\right)-F\left(0\right)=F\left(5\right)-\left(G\left(0\right)-C\right)=F\left(5\right)-G\left(0\right)+C$

 

Suy ra C = a.

$S=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left|F\left(x\right)-G\left(x\right)\right|dx=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left|a\right|dx=\underset{0}{\overset{5}{\int }}adx=5a$

 

Theo giả thiết 5a = 20 Û a = 4.

Đáp án đúng là: D

 

Diện tích đáy:$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{a^2}{2}$

Ta có:$\left\{\begin{array}{c}AB\perp AC\\ AB\perp AA\text{'}\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(ACC\text{'}A\text{'}\right)$

$\Rightarrow \widehat{\left(BC\text{'};\left(ACC\text{'}A\text{'}\right)\right)}=\widehat{BC\text{'}A}=30°$

Khi đó $AC\text{'}=AB.\cot 30°=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow AA\text{'}=\sqrt{AC{\text{'}}^2-A\text{'}C{\text{'}}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2-a^2}=a\sqrt{2}$

Vậy, thể tích khối lăng trụ đã cho là:

$V=S_{ABC}.AA\text{'}=\frac{a^2}{2}.a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.a^3$

.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác vuông SMO có 

$\tan \widehat{MSO}=\frac{OM}{OS}\Rightarrow \tan 60°=\frac{OM}{1}\Rightarrow OM=\sqrt{3}$

Kẻ đường kính SS' của mặt cầu ngoại tiếp hình nón.

Tam giác SMS' vuông tại M có MO ^ SS'

Þ MO² = OS.OS' Þ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=1.OS\text{'}\Rightarrow OS\text{'}=3$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là

$R=\frac{OS+OS\text{'}}{2}=\frac{1+3}{2}=2$

Diện tích (S) là S = 4pR² = 4p2² = 16p.

Đáp án đúng là: C

Ta có:${49}^{9-y^2}\ge a^{4x-{\log }_7{a}^2}\iff {\log }_7\left({49}^{9-y^2}\right)\ge {\log }_7\left(a^{4x-{\log }_7{a}^2}\right)$

Û (9 - y²)log₇ 49 ³ (4x - log₇ a²)log₇ a

Û 2(9 - y²) ³ 2(2x - log₇ a).log₇ a (1)

Đặt t = log₇ a, khi a > 0 thì t Î ℝ, (1) trở thành t² - 2x.t + 9 - y² ³ 0 (2)

(1) đúng với mọi a > 0 Û (2) đúng với mọi t Î ℝ

Û D¢ = x² - 9 + y² £ 0 Û x² + y² £ 9

+) Xét (4x - 3y)² £ (16 + 9)(x² + y²)

Þ (4x - 3y)² £ 225 Þ 4x - 3y £ 15

+) Suy ra P = x² + y² + 4x - 3y £ 9 + 15 = 24 đẳng thức xảy ra khi

$\left\{\begin{array}{c}\frac{x}{4}=\frac{y}{-3}\\ x^2+y^2=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{12}{5};y=-\frac{9}{5}\\ x=-\frac{12}{5};y=\frac{9}{5}\end{array}\right.$

Vậy GTLN của P bằng 24.

Đáp án đúng là: A

Gọi z = a + bi với a; b Î ℝ

Ta có:$\left|z^2\right|=\left|z-\overline{z}\right|\iff a^2+b^2=2\left|b\right|\left(*\right)$

Mặt khác $\left|\left(z+2\right)\left(\overline{z}+2i\right)\right|={\left|z-2i\right|}^2$   (**)

Vì $\overline{\overline{z}+2i}=z-2i$  nên $\left|\overline{z}+2i\right|=\left|z-2i\right|$

Nên từ (**) $\iff \left[\begin{array}{c}\left|z-2i\right|=0\Rightarrow z=2i\\ \left|z+2\right|=\left|z-2i\right|\end{array}\right.$

Với |z - 2i| = 0 Þ z = 2i (thoả mãn (*))

Với |z + 2| = |z - 2i| Þ (a + 2)² + b² = a² + (b - 2)²

.Û a = -b thay vào (*) ta được:

b² + b² = 2|b| Û b² = |b| $\iff \left[\begin{array}{c}b=0\\ b=1\\ b=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}a=0\\ a=-1\\ a=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}z=0\\ z=-1+i\\ z=1-i\end{array}\right.$

Vậy có tất cả 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P), A' là hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Oy suy ra A(0; 1; 0). Khi đó khoảng cách từ A đến (P) là đoạn thẳng AH £ AA'. Độ dài đoạn thẳng AH dài nhất khi H và A' trùng nhau. Khi đó mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{A\text{'}A}=\left(2;0;-1\right)$  làm véc tơ pháp tuyến. Suy ra phương trình mặt phẳng (P) đi qua A'(0; 1; 0) có VTPT: $\overrightarrow{A\text{'}A}=\left(2;0;-1\right)$ là:

2(x - 0) + 0(y - 1) + (-1)(z - 0) = 0

Û 2x - z = 0.

Đáp án đúng là: D

+ Ta có:$g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$

+ Từ bảng biến thiên ta thấy g (x) > 0, "x Î ℝ suy ra f (x) = e^{g (x)} > 1, "x Î ℝ

+ Phương trình f '(x) = g '(x) Û g '(x)f (x) = g '(x)

Û g '(x)[f (x) - 1] = 0 Û g '(x) = 0 $\iff \left[\begin{array}{c}x=x_1\\ x=x_2\\ x=x_3\end{array}\right.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g '(x) là

$S=\underset{x_1}{\overset{x_3}{\int }}\left|f^{\text{'}}\left(x\right)-g^{\text{'}}\left(x\right)\right|dx=\left|\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left[f^{\text{'}}\left(x\right)-\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}\right]dx\right|+\left|\underset{x_2}{\overset{x_3}{\int }}\left[f^{\text{'}}\left(x\right)-\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}\right]dx\right|$

$={}^{t=f\left(x\right)}\left|\underset{0}{\overset{42}{\int }}\left(1-\frac{1}{t}\right)dt\right|+\left|\underset{42}{\overset{37}{\int }}\left(1-\frac{1}{t}\right)dt\right|\approx \mathrm{35,438}\in \left(35;36\right)$

Đáp án đúng là: A

Ta có: d (I, (OMN)) = 2 nên mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 1; 0), đồng thời đường thẳng MN tiếp xúc với (S) cũng tại điểm A(4; 1; 0) do MN Ì (Oxy)

Gọi M(m; 0; 0) và N(0; n; 0), m, n > 0

Do A Î MN nên $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AN}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}m-4=-4k\\ -1=k\left(n-1\right)\end{array}\right.$

Þ (m - 4)(n - 1) = 4 $\iff m=\frac{4n}{n-1},n-1\ne 0$

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OI:

$4x+y+2z-\frac{21}{2}=0$

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OM: $x=\frac{m}{2}$ .

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn ON:$y=\frac{n}{2}$ .

Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN là $J\left(\frac{m}{2};\frac{n}{2};\frac{-n^2+6n-21}{4n-4}\right)$

Theo giả thuyết cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng $\frac{7}{2}$ nên $OJ=\frac{7}{2}$

$\iff O{J}^2=\frac{49}{4}$

$\iff \frac{4n^2}{{\left(n-1\right)}^2}+\frac{n^2}{4}+\frac{{\left(n^2-6n+21\right)}^2}{16{\left(n-1\right)}^2}=\frac{49}{4}$

Û n⁴ - 4n³ - 10n² + 28n + 49 = 0

$\iff n=1\pm 2\sqrt{2}$