Giải Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 - Mã đề 101

Đáp án đúng là: A

Ta có S_xq = 2prh = 4p.

Đáp án đúng là: C

Ta có  suy ra tiệm cận ngang của đồ là đường thẳng y = 1.

Đáp án đúng là: D

ĐKXĐ: x > -1

log₅ (x + 1) > 2

Û log₅ (x + 1) > log₅ 25

Û x + 1 > 25 Û x > 24.

Đáp án đúng là: D

Từ BBT ta nhận thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồng biến trên khoảng (1; +¥). Do đó hàm số là hàm đa thức bậc ba có hệ số a > 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left|z\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng (d) có phương trình y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 2 điểm phân biệt.

Suy ra phương trình f (x) = 1 có 2 nghiệm thực phân biệt.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x - 4 > 0 Û x > 4.

Tập xác định: D = (4; +¥).

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, ta có $4\log \sqrt{a}=4\log \left(a^{\frac{1}{2}}\right)=4.\frac{1}{2}\log a=2\log a.$

Đáp án đúng là: C

Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là

Đáp án đúng là: D

Từ bảng biến thiên ta suy ra: điểm cực tiểu của hàm số đã cho là x = 1.

Đáp án đúng là: B

Phương trình của mặt phẳng (Oyz) là: x = 0.

Đáp án đúng là: A

3^{2x + 1} = 3^{2 - x} Û 2x + 1 = 2 - x

Û 3x = 1

Đáp án đúng là: B

Dựa vào hình dáng của đồ thị. Ta thấy hàm số đã cho có 3 cực trị.

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa phương trình đường thẳng. Ta có $\overrightarrow{u_3}=\left(1;-2;3\right)$   là một véc-tơ chỉ phương của d .

Đáp án đúng là: C

Ta có chiều cao hình nón h OI = 3, bán kính đáy r = IM = 4 thì độ dài đường sinh là:

$l=OM=\sqrt{I{M}^2+O{I}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5.$

Đáp án đúng là: C

Điểm biểu diễn số phức z = 2 - 7i trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là (2; -7).

Đáp án đúng là: B

Vì z₁ = 2 + 3i và z₂ = 1 - i nên z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (1 - i) = 3 + 2i.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int \left(e^x+2x\right)dx=e^x+x^2+C.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: y' = - 3x^{-3 - 1} = - 3x^-4.

Đáp án đúng là: D

Ta có:$\overrightarrow{AB}\left(2;-2;2\right);\overrightarrow{AC}\left(1;0;-1\right).$

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có véc-tơ chỉ phương là $\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(2;4;2\right)\nearrow \nearrow \left(1;2;1\right)$

 nên có phương trình:

$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{1}.$

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f (x) = x³ - 3x² - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2]

Þ f '(x) = 3x² - 6x - 9.

f '(x) = 0 Û 3x² - 6x - 9 = 0 $\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\in \left[-2;2\right]\\ x=3\notin \left[-2;2\right]\end{array}\right.$

Ta có:

f (-2) = 8; f (-1) = 15; f (2) = -12.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x³ - 3x² - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2] bằng 15.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: (6 - x)(x + 2) > 0

Û - x² + 4x + 12 > 0 Û -2 < x < 6.

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên thuộc tập xác định của hàm số y = log [(6 - x)(x + 2)].

Đáp án đúng là: B

Vì phương trình z² + z + 6 = 0 có hai nghiệm z₁ và z₂.

Theo định lí Vi-et, ta có:$\left\{\begin{array}{c}{z}_1+z_2=-1\\ z_1{z}_2=6\end{array}\right.$ .

Do đó: z₁ + z₂ + z₁z₂ = -1 + 6 = 5.

Đáp án đúng là: B

Tam giác ABC vuông tại B nên $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=1.$

Ta có:$\left\{\begin{array}{c}\left(ABC\text{'}\right)\cap \left(ABC\right)=AB\\ AB\perp BCtaiB,BC\subset \left(ABC\right)\left(DoBC\perp \left(AA\text{'}B\text{'}B\right)\right)\\ AB\perp BC\text{'}taiB,BC\text{'}\subset \left(ABC\text{'}\right)\left(DoAB\perp \left(CC\text{'}B\text{'}B\right)\right)\end{array}\right.$

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ABC') và (ABC) là góc $\widehat{C\text{'}BC}.$

Xét DC'BC vuông tại C ta có:

$\tan \widehat{C\text{'}BC}=\frac{CC\text{'}}{BC}=\frac{AA\text{'}}{BC}=1\Rightarrow \widehat{C\text{'}BC}=45°.$

Vạy góc giữa hai mặt phẳng (ABC') và (ABC) là 45°.

Đáp án đúng là: D

A'C' Ì (A'B'C'D'),

BD // (A'B'C'D')

Þ d (BD, A'C') = d (BD, (A'B'C'D'))

= d (B, (A'B'C'D')) = BB' = 3a.

Đáp án đúng là: D

Ta có: y = x³ + x Þ y' = 3x² + 1 > 0 "x Î ℝ.

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng đi qua A và song song với (P) có phương trình là

2x - (y + 3) + 3(z - 2) = 0

Û 2x - y + 3z - 9 = 0.

Đáp án đúng là: D

Từ 40 đến 60 ta có 21 số nên n (W) = 21

Các số thỏa mãn đề bài: 45; 46; 47; 48; 49; 56; 57; 58; 59 Þ Có 9 số.

Xác suất để chọn được số thoản mãn đề bài:

Đáp án đúng là: B

+) TH1:$\left\{\begin{array}{c}{3}^b-3>0\\ a{.2}^b-18<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{3}^b>3\\ 2^b<\frac{18}{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b>1\\ b<{\log }_2\left(\frac{18}{a}\right)\end{array}\right.$

$\iff 1<b<{\log }_2\left(\frac{18}{a}\right)$

Để có đúng ba số nguyên b thì $4<{\log }_2\left(\frac{18}{a}\right)\le 5\iff 16<\frac{18}{a}\le 32\iff \frac{9}{16}\le a<\frac{9}{8}.$

Trường hợp này có 1 giá trị a = 1 nguyên thỏa mãn.

+) TH2: $\left\{\begin{array}{c}{3}^b-3<0\\ a{.2}^b-18>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{3}^b<3\\ 2^b>\frac{18}{a}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b<1\\ b>{\log }_2\left(\frac{18}{a}\right)\end{array}\right.$

Để có đúng ba số nguyên b thì

$-3\le {\log }_2\left(\frac{18}{a}\right)<-2\iff \frac{1}{8}\le \frac{18}{a}<\frac{1}{4}\iff 72<a\le 144.$

Trường hợp này có 144 - 72 = 72 giá trị a nguyên thỏa mãn.

Vậy số giá trị nguyên của a là: 72 + 1 = 73.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

f '(x) = 4(m - 1)x³ - 4mx = 4x[(m - 1)x² - m]

f '(x) = 0  ( m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán)

Vì $\underset{\left[0;3\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(2\right)$  Þ x = 2 là nghiệm của f '(x) = 0

$\Rightarrow \frac{m}{m-1}=4\Rightarrow m=4m-4\Rightarrow m=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^4-\frac{8}{3}{x}^2+1$

f (0) = 1;$f\left(3\right)=\frac{81}{3}-\frac{72}{3}+\frac{3}{3}=\frac{12}{3}=4$

Vậy $\underset{\left[0;3\right]}{\max }f\left(x\right)=4.$

Đáp án đúng là: D

Ta có:

F (x), G (x) là nguyên hàm của f (x) Þ F (x) = G (x) + C

$\Rightarrow S=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|F\left(x\right)-G\left(x\right)\right|dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|C\right|dx=\left|\underset{0}{\overset{3}{\int }}Cdx\right|=\left|3C\right|=15$

Þ |C| = 5 Þ C = ±5

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(3\right)-G\left(0\right)=F\left(3\right)-\left(G\left(0\right)+C\right)$

= F (3) - G (0) - C = F (3) - G (0) + a

Þ a = -C = 5 (do a > 0)

Đáp án đúng là: D

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) và trục Ox .

Ta có: d (A; (P)) = AH £ AK.

Suy ra khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi H º K, hay mặt phẳng (P) nhận véc-tơ $\overrightarrow{AK}$ làm véc-tơ pháp tuyến.

K là hình chiếu của A trên trục Ox suy ra: K(1; 0; 0), .

Mặt phẳng (P) đi qua K có phương trình:

-2(y - 0) + 2(z + 0) = 0 Û y - z = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có SH = 4

$AB=2.AH=2.SH.\tan \widehat{ASH}=\mathrm{2.4.}\tan 60°=8\sqrt{3}$

Có OS là bán kính mặt cầu cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp DSAB

Suy ra:$2OS=\frac{AB}{\sin ASB}\Rightarrow OS=\frac{8\sqrt{3}}{2.\sin 120°}=8$

Vậy diện tích mặt cầu: S = 4p.8² = 256p.

Đáp án đúng là: C

Ta có:$a^{4x-{\log }_5{a}^2}\le {25}^{40-y^2}\iff {\log }_5{a}^{4x-{\log }_5{a}^2}\le {\log }_5{25}^{40-y^2}$

Û (4x - 2log₅ a)log₅ a £ 2(40 - y²)

Coi (*) là bất phương trình bậc hai ẩn log₅ a

Để (*) đúng với mọi số thực dương a thì

D' £ 0 Û x² - (40 - y²) £ 0 Û x² + y² - 40 £ 0 (1)

Ta có biểu thức (1) là hình tròn (C₁) tâm O(0; 0), bán kính .

Mặt khác P = x² + y² + x - 3y Û x² + y² + x - 3y - P = 0 là phương trình đường tròn (C₂) tâm , bán kính .

Để tồn tại điểm chung của đường tròn (C₂) với hình tròn (C₁) thì

$R_2\le R_1+OI\iff \frac{1}{2}\sqrt{10+4P}\le 2\sqrt{10}+\frac{1}{2}\sqrt{10}$

$\iff \sqrt{10+4P}\le 5\sqrt{10}\iff P\le 60$

Vậy P_max = 60.

Đáp án đúng là: B

Đáp án đúng là: D

Ta có ${\left|z+4i\right|}^2=\left|\left(z-4\right)\left(\overline{z}-4i\right)\right|=\left|\left(z-4\right)\left(\overline{z+4i}\right)\right|$

$=\left|z-4\right|\left|\overline{z+4i}\right|=\left|z-4\right|\left|z+4i\right|$

Suy ra |z + 4i| = 0 hoặc |z + 4i| = |z - 4|.

Nếu |z + 4i| = 0 thì z = - 4i : $\left\{\begin{array}{c}\left|z^2\right|={\left|4i\right|}^2=16\\ 2\left|z-\overline{z}\right|=2\left|-8i\right|=16\end{array}\right.$  thỏa mãn.

Nếu |z + 4i| = |z - 4| thì đặt z = x + yi với x, y Î ℝ ta được

$\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x^2+{\left(y+4\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+y^2}\\ x^2+y^2=4\left|y\right|\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=-y\\ 2{\left|y\right|}^2=4\left|y\right|\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}y=0\\ x=0\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{c}y=2\\ x=-2\end{array}\right.\vee \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x=2\end{array}\right.$

Vậy có 4 số phức thỏa mãn là 0, 2 - 2i, - 2 + 2i, - 4i.

Đáp án đúng là: B

Ta có I(1; 3; 9) và R = 3. Suy ra d (I, (OMN)) = 3.

Vậy mặt cầu (S) tiếp xúc (OMN) tại A(1; 0; 9).

Gọi tọa độ M(m; 0; 0) và N(0; 0; n).

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(m-1;0;-9\right);\overrightarrow{AN}=\left(-1;0;n-9\right).$