(Đúng sai) 40 bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải)

a. \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y =  - 2 - t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\] có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 4; - 1;2} \right)\).

Chọn đúng

b. Thế toạ độ điểm \[A\left( {1\,;\,1\,;1} \right)\] vào đường thẳng \[d\] ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}1 = 6 - 4t\\1 =  - 2 - t\\1 =  - 1 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{5}{4}\\t =  - 3\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow A \notin d\]Chọn Sai

c. Mặt phẳng qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là

\(4\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + y - 2z - 3 = 0\).

Chọn đúng

d. Ta có \(A'\, \in d\) nên gọi \(A'\left( {\,6 - 4t\,;\, - 2 - t\,;\, - 1 + 2t} \right)\); \[\overrightarrow {AA'}  = \left( {5 - 4t\,;\, - 3 - t\,;\, - 2 + 2t} \right)\]; đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( { - 4\,;\, - 1\,;2} \right)\].

+\[AA' \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow \left( {5 - 4t} \right).\left( { - 4} \right) + \left( { - 3 - t} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 2 + 2t} \right).2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\]\[ \Rightarrow A'\left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\].

Vậy \[A'\left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\].

Chọn đúng

a. Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a  = \left( {2;1;2} \right)\).Chọn đúng

b. Thế toạ độ điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\] vào đường thẳng \[d\] ta có : \(\frac{{1 - 1}}{2} \ne \frac{{0 + 2}}{1} \ne \frac{{0 - 1}}{2} \Rightarrow A \notin d\)Chọn đúng

c) Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\) và song song với \(d\) có phương trình tham số là  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = t\\z = 2t\end{array} \right.\).

Chọn Sai

d. Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow a  = \left( {2;1;2} \right)\) và \(B\left( {1; - 2;1} \right) \in d\).

Khi đó: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 2;1} \right)\].

Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } \right] = \left( {5, - 2; - 4} \right)\).

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là \(5\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0\)

hay \[5x - 2y - 4z - 5 = 0\].

Chọn đúng

a. Điểm \(M\left( {0; - 2;3} \right)\) thuộc đường thẳng \[d\].

Chọn đúng

b. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;1; - 2} \right)\).

Chọn Sai

c. Đường thẳng \[d\] có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 - t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\].

Chọn đúng

d. Ta có:  \(I = d \cap \left( P \right)\) suy ra tọa độ của điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình sau

\[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 - t\\z = 3 - 2t\\2x + y - 2z + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\\z = 1\\t = 1\end{array} \right.\].

Suy ra \[I\left( {1; - 3;1} \right)\]\[ \Rightarrow a = 1;\,b =  - 3;\,c = 1\].

Do đó \[a + 2b + 3c = 1 - 6 + 3 =  - 2\].

Chọn sai

a. Phương trình chính tắc của đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[{M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\] và có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\] có dạng \[\Delta :\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\] .

b. Phương trình tham số của đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[{M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\] và có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\] có dạng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\] .

Chọn đúng

c. Tích có hướng của hai vectơ \[\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \] là

\[\left[ {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\1&{ - 3}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 3}&5\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\5&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;13;6} \right)\].

Chọn Sai

d. Ta có \[\overrightarrow {MN}  = \left( {5;3;3} \right)\] và \[\left[ {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {MN}  = 1.5 + 13.3 + 6.3 = 62\]. Vậy hai đường thẳng \[\Delta \] và \[d\] chéo nhau.

Chọn đúng

a. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow a  = \left( { - 2;3;1} \right)\).

b. Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BA}  = \left( { - 1; - 2;3} \right)\).

Chọn đúng

c. Đường thẳng \(AB\) qua \(A\left( { - 1;2;7} \right)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \overrightarrow {AB}  = \left( {1;2; - 3} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 7 - 3t\end{array} \right.\).

d.

Đường thẳng \(d\) đi qua \({M_1}\left( {1;0; - 1} \right)\) và có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;3;1} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( { - 1;2;7} \right)\) và có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2; - 3} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 11; - 5; - 7} \right)\), \(\overrightarrow {{M_1}A}  = \left( { - 2;2;8} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}A}  = ( - 11)( - 2) + ( - 5).2 + ( - 7).(8) =  - 44 \ne 0\). Do đó \(d\) và \(AB\) chéo nhau (1)

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 2} \right).1 + 3.2 + 1.\left( { - 3} \right) = 1 \ne 0\) suy ra \(d\) và \(AB\) không vuông góc (2)

Vậy \(d\) và \(AB\) chéo nhau nhưng không vuông góc.

Chọn sai

a. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 2} \right)\).

Chọn đúng

b. Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}\).

Chọn Sai

c. Đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 2} \right)\).

Do đó  \(d\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\).

d.

+ \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 3; - 2} \right)\)

+ Đường thẳng \(\Delta \) qua \(B\), vuông góc với đường thẳng \(AB\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 10;4; - 1} \right)\), do đó \(\overrightarrow u  =  = \left( {10; - 4;1} \right)\) cũng là vec tơ chỉ phương của \(\Delta \).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{x}{{10}} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{1}\).

Chọn đúng

a. Toạ độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(BC\) là \(M\left( {1;1;1} \right)\).

Chọn đúng

b. + \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;2;4} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 6 \).

Chọn Sai

c. Phương trình tham số của đường thẳng \(BC\) qua \[B\left( {2;0; - 1} \right)\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;1;2} \right)\] là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\).

Chọn đúng

d. Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BC\). Khi đó \(a + b + c = 3\).

+ Do \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BC\) nên \(H\left( {2 - t;t; - 1 + 2t} \right)\).

+ \(\overrightarrow {AH}  = \left( { - t + 1;t + 1;2t - 3} \right)\)

+ Do \(\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC}  \Rightarrow  - 2\left( { - t + 1} \right) + 2\left( {t + 1} \right) + 4\left( {2t - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 12t = 12 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow a + b + c = 3\)

Chọn đúng

a. Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Chọn Sai

b. Thế toạ đô điểm \(A\left( {2; - 1;2} \right)\) vào phương trình đường thẳng \[d\] ta có: \[\frac{{2 + 1}}{1} = \frac{{ - 1 - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{2} \Rightarrow A \notin d\]Chọn Sai

c. Đường thẳng \[\Delta \] qua \[A\] và song song với \(d\)có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;2} \right)\) nên có phương trình  tham số là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\].

Chọn đúng

d.

+ Đường thẳng \(d\) qua \(M\left( { - 1;2;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

+ \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 3;3; - 2} \right)\).

+ \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( { - 4; - 4;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1;1;0} \right)\) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

+ Mặt phẳng \[\left( P \right)\] qua \(A\left( {2; - 1;2} \right)\) và vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;0} \right)\) nên có phương trình là \(\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0\).

Chọn Sai

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {0; - 1;1} \right)\);

Chọn Sai

b) Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u' = \left( { - 1;\,1;1} \right)\). Ta thấy \(\vec x\), \(\vec u'\) không cùng phương.

Do vậy, \(\vec x = \left( {1; - 1;1} \right)\) không là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d'\);

Chọn Sai

c) \(\left| {\vec x} \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 3 \);

Chọn Sai

d) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;\, - 1;2} \right)\);

Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u' = \left( { - 1;\,1;1} \right)\).

Ta thấy \(\vec u.\vec u' = 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1 + 2.1 = 0\)

Do vậy, hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.

Chọn đúng

a) Dựa vào phương trình đường thẳng, một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\vec x = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\).

Ta thấy \(\vec x\), \(\vec u\) cùng phương. Do đó, \(\vec u = \left( { - 1;\,1;\, - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \);

b) Thay tọa độ của điểm \(M\) vào \(x\), \(y\), \(z\) của đường thẳng \(\Delta \), ta thấy:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\3 = 2 - t\\ - 2 = 3 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\\t =  - 5\end{array} \right.\)

Do vậy,\(M\left( {0;3; - 2} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \);

Chọn đúng

c) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\vec x = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).

Ta thấy \(\vec x\), \(\vec n\) không cùng phương. Do vậy, đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

d) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\,\,\,(1)\\y = 2 - t\,\,(2)\\z = 3 + t\,\,(3)\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z - 4 = 0\) (4)

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được: \(1 + t + 2(2 - t) + 3 + t - 4 = 0 \Leftrightarrow 0t + 4 = 0\) - phương trình vô nghiệm

Do vây, Đường thẳng \(\Delta \) không cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Chọn Sai