(Đúng sai) 33 bài tập Công thức tính góc trong không gian (có lời giải)

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 2024}}{2} = \frac{{y + 2025}}{3} = \frac{{z + 2026}}{6}\) và mặt phẳng \((P)\) : \(x - 2y - 2z + 1 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\).

b) Vectơ có toạ độ \((1;2;2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 2024}}{2} = \frac{{y + 2025}}{3} = \frac{{z + 2026}}{6}\) và mặt phẳng \((P)\) : \(x - 2y - 2z + 1 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\).

c) \(\sin \alpha  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}}\) với \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d,\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 2024}}{2} = \frac{{y + 2025}}{3} = \frac{{z + 2026}}{6}\) và mặt phẳng \((P)\) : \(x - 2y - 2z + 1 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\).

d) $\alpha \approx {50}^{°}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\).

a) Vectơ \({\vec n_1} = (2; - 3; - 6)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\).

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\).

b) Vectơ có toạ độ \((2; - 2;1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right)\).

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\).

c) \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}}\) với \({\vec n_1},{\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\).

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\).

d) $\alpha = {69}^0$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Cho hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\)  và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - s\\y = 2\\z =  - 2 + s\end{array} \right.\).

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta '\) có tọa độ là \(\left( {1;\,2;\, - 2} \right)\);

Cho hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\)  và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - s\\y = 2\\z =  - 2 + s\end{array} \right.\).

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\);

Cho hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\)  và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - s\\y = 2\\z =  - 2 + s\end{array} \right.\).

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\);

Cho hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\)  và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - s\\y = 2\\z =  - 2 + s\end{array} \right.\).

c) Gọi \(\vec u\), \(\overrightarrow {u'} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\). Khi đó, công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) là \(\cos \left( {\Delta ,\,\Delta '} \right) = \cos \left( {\vec u,\,\overrightarrow {u'} } \right) = \frac{{\vec u.\overrightarrow {u'} }}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\);

Cho hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\)  và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - s\\y = 2\\z =  - 2 + s\end{array} \right.\).

d) Góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) là 60⁰

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z = 1\).

a) \(\vec n = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\);

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z = 1\).

b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và trục \(Ox\). Khi đó: \(\cos \varphi  = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\);

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z = 1\).

c) \(E\left( { - 1;\,2;\,1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\);

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z = 1\).

d) Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng 30⁰.

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x - y + mz + 1 = 0\).

a) \(F\left( {0;\, - 1;\,3} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\);

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x - y + mz + 1 = 0\).

b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Khi đó: \(\sin \varphi  = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\);

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x - y + mz + 1 = 0\).

c) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) bằng 60⁰ khi \(m = 2\);

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x - y + mz + 1 = 0\).

d) Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) vuông góc với nhau khi \(m = 1\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.OBCD\) có đáy là hình chữ nhật và các điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(B\left( {1;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {0;\,2;\,0} \right)\), \(S\left( {0;\,0;\, - 3} \right)\).

a) Tọa độ điểm \(C\left( {1;\, - 2;\,0} \right)\);

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.OBCD\) có đáy là hình chữ nhật và các điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(B\left( {1;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {0;\,2;\,0} \right)\), \(S\left( {0;\,0;\, - 3} \right)\).

b) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(OB\) và \(SC\). Khi đó:  \(\cos \varphi  = \frac{1}{{\sqrt {14} }}\);

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.OBCD\) có đáy là hình chữ nhật và các điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(B\left( {1;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {0;\,2;\,0} \right)\), \(S\left( {0;\,0;\, - 3} \right)\).

c) \(\vec n = \left( {6;4;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\);

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.OBCD\) có đáy là hình chữ nhật và các điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(B\left( {1;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {0;\,2;\,0} \right)\), \(S\left( {0;\,0;\, - 3} \right)\).

d) Góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng ${16}^o{36}^{\text{'}}$.

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {0;\,0;\,4} \right)\), \(B\left( {0;\, - 3;\,0} \right)\), \(C\left( {0;\,3;\,0} \right)\), \(D\left( {3;\,0;\,0} \right)\).

a) \({\vec n_1} = \left( {4;\, - 4;\,3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\);

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {0;\,0;\,4} \right)\), \(B\left( {0;\, - 3;\,0} \right)\), \(C\left( {0;\,3;\,0} \right)\), \(D\left( {3;\,0;\,0} \right)\).

b) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\) bằng ${\mathbf{45}}^{\mathbf{o}}$;

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {0;\,0;\,4} \right)\), \(B\left( {0;\, - 3;\,0} \right)\), \(C\left( {0;\,3;\,0} \right)\), \(D\left( {3;\,0;\,0} \right)\).

c) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\). Khi đó: \(\cos \varphi  = \frac{9}{{41}}\);

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {0;\,0;\,4} \right)\), \(B\left( {0;\, - 3;\,0} \right)\), \(C\left( {0;\,3;\,0} \right)\), \(D\left( {3;\,0;\,0} \right)\).

d) $\widehat{BCD}={45}^o$

a) Tọa độ của điểm \(A\left( {0;\, - 2;0} \right)\);

b) Tọa độ của điểm \(B'\left( {4;\,0;\,6} \right)\);

c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là \(\vec u = \left( {0;1;2} \right)\);

d) Góc giữa mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà bằng ${26}^o{34}^{\text{'}}$