ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Hàm số liên tục
13 câu hỏi
Hàm số y=fx có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
0
1
2
3
Quan sát đồ thị ta thấy limx→1−fx=3; limx→1+fx=0⇒limx→1−fx≠limx→1+fxnên không tồn tại limx→1fx. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.
Đáp án cần chọn là: B
Hàm số fx=x4+xx2+x khi x≠0,x≠−13 khi x=−1 1 khi x=0
Liên tục tại mọi điểm trừ điểm thuộc đoạn (−1;0)
Liên tục tại mọi điểm trừ x = 0.
Liên tục tại mọi điểm x∈R
Liên tục tại mọi điểm trừ x = −1
Hàm phân thứcy=x4+xx2+x có txđ D=R∖0;−1 và liên tục trên các khoảng −∞;−1,0;+∞
Ta chỉ cần xét tính liên tục của y=fx tại các điểm x=0;x=−1
Ta có:
limx→−1fx=limx→−1x4+xx2+x=limx→−1x3+1x+1=limx→−1x2−x+1=3=f−1⇒
Hàm số liên tục tại x=−1
limx→0fx=limx→0x4+xx2+x=limx→0x3+1x+1=1=f0⇒ Hàm số liên tục tại x=0.
Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm x∈R
Đáp án cần chọn là: C
Cho hàm số f(x)=x−8x−23 khi x>8x+4 khi x≤8 . Để hàm số liên tục tại x = 8, giá trị của a là:
1
2
4
3
limx→8+fx=limx→8+x−8x3−2=limx→8+x32+2x3+4=22+2.2+4=12limx→8−fx=limx→8−ax+4=8a+4f8=8a+4
Hàm số liên tục tại x=8⇔12=8a+4⇔a=1
Đáp án cần chọn là: A
Hàm số nào sau đây liên tục trên ℝ?
fx=x4−4x2x+1
fx=tanx
fx=x4−4x2
fx=x
fx=x4−4x luôn liên tục trên ℝ
Đáp án cần chọn là: C
Hàm số f(x)=−xcosx khi x<0x21+x khi 0≤x<1x3 khi x≥1
Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1..
Liên tục tại mọi điểm x∈R.
Hàm số y=fx liên tục trên các khoảng −∞;0,0;1,1;+∞ nên ta chỉ xét tính liên tục của y=fx tại các điểm x=0,x=1
lim⏟x→0+f(x)=lim⏟x→0+x21+x=0lim⏟x→0−f(x)=lim⏟x→0−(−xcosx)=0f(0)=01+0=0⇒lim⏟x→0+f(x)=lim⏟x→0−f(x)=f(0)
⇒ hàm số liên tục tại x=0.
lim⏟x→1+f(x)=lim⏟x→1+x3=1lim⏟x→1−f(x)=lim⏟x→1−x21+x=11+1=12⇒lim⏟x→1+f(x)≠lim⏟x→1−f(x)
Không tồn tại limx→1fx ⇒ hàm số không liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số f(x)=sin5x5x khi x≠0a+2 khi x=0. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0.
1
-1
-2
2
Ta có limx→0sin5x5x=1; f0=a+2
Vậy để hàm số liên tục tại x=0 thì a+2=1⇔a=−1
Đáp án cần chọn là: B
Cho phương trình 2x4−5x2+x+1=0 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong (−2;1)
Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0;2)
Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (−2;0)
Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (−1;1).
TXĐ: D = R. Hàm số fx=2x4−5x2+x+1 liên tục trên R.
Ta có: f−1=−3, f0=1⇒f−1f0<0⇒ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong −1;0⊂−2;1
⇒ Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong (−2;1)⇒Đáp án A sai.
Ta có:
f0=1;f1=−1⇒f0.f1<0⇒Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;1⊂−2;1
⇒ Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong (−2;1)⇒ Đáp án A sai.
Ta có: f−1=−3, f0=1⇒f−1f0<0⇒ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong −1;0⊂−2;0⇒ Đáp án C sai.
Ta có: f0=1;f1=−1⇒f0.f1<0⇒ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;1⊂−1;1⇒ Đáp án D sai.
Đáp án cần chọn là: B
Giá trị thực của tham số m để hàm số f(x)=x2−1 khi x>2m+1 khi x≤2 liên tục tại x = 2 bằng
5
2
3
1
Bước 1:
f2=limx→2−fx=m+1limx→2+fx=limx→2+x2−1=3
Bước 2:
⇒m+1=3⇔m=2
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số f(x)=2x−4+3 khi x≥2x+1x2−2mx+3m+2 khi x<2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên R.
m=3
m=4
m=5
m=6
Ta có hàm số liên tục trên 2;+∞
Ta có: f2=2.2−4+3=3; limx→2+fx=limx→2+2x−4+3=3
Hàm số liên tục trên ℝ⇔ Hàm số liên tục trên −∞;2 và liên tục tại
x=2 ⇔Hàm số xác định trên −∞;2 và liên tục tại x=2
⇔x2−2mx+3m+2≠0∀x∈(−∞;2)(1)lim⏟x→2+f(x)=lim⏟x→2−f(x)=f(2)
(2)⇔limx→2−=3⇔2+122−2m.2+3m+2=3⇔36−m=3⇔m=5
Thay m=5 vào (1) ta được x2−10x+17≠0∀x∈−∞;2
Vậy với m = 5 thì hàm số liên tục trên ℝ.
Đáp án cần chọn là: C
Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa aa và bb để hàm số f(x)=ax+1−1 x khi x≠04x2+5b khi x=0 liên tục tại x = 0.
a=5b
a=10b
a=b
a=2b.
Bước 1:
limx→0fx=limx→0ax+1−1x=limx→0ax+1−1xax+1+1=limx→0aax+1+1=aa.0+1+1=a2f0=5b
Bước 2:
Để hàm số liên tục tại x=0 thì limx→0fx=f0⇔a2=5b⇔a=10b
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn −1;4sao cho f−1=2, f4=7. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f(x)=5 trên đoạn −1;4:
Vô nghiệm.
Có ít nhất một nghiệm.
Có đúng một nghiệm.
Có đúng hai nghiệm.
Ta có fx=5⇔fx−5=0. Đặt gx=fx−5. Khi đó
g(−1)=f(−1)−5=2−5=−3g(4)=f(4)−5=7−5=2⇒g(−1)g(4)<0
Vậy phương trình gx=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4) hay phương trình fx=5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4).
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số f(x)=x+6−ax+1−2khi x≠3x3−(2b+1)x khi x=3 trong đó a,b là các tham số thực. Biết hàm số liên tục tại x = 3. Số nhỏ hơn trong hai số a và b là:
2
3
4
5
f3=27−32b+1
Đặt gx=x+6−a
Ta có g3=3−a
Nếu a = 3 thì
limx→3fx=limx→3x+6−3x+1−2=limx→3x−3x+1+2x−3x+6+3=46=23
Để hàm số liên tục tại x = 3
⇔limx→3fx=f3⇔27−32b+1=23⇔b=359
Nếu a≠3⇔g3≠0⇒limx→3gxx+1−2=∞⇒ Hàm số không thể liên tục tại x = 3.
Vậy a=3,b=359
Đáp án cần chọn là: B
Cho hàm số f(x)=x3−3x−1. Số nghiệm của phương trình f(x)=0 trên ℝ là:
0
1
2
3
Hàm số fx=x3−3x−1 là hàm đa thức có tập xác định là ℝ nên liên tục trên ℝ. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng −2;−1,−1;0,0;2.
Ta có
f(−2)=−3f(−1)=1⇒f(−2)f(−1)<0 ⇒(1) có ít nhất một nghiệm thuộc −2;−1.
f(−1)=1f(0)=−1⇒f(−1)f(0)<0 ⇒(1) có ít nhất một nghiệm thuộc (−1;0)
f(2)=1f(0)=−1⇒f(2)f(0)<0 ⇒(1) có ít nhất một nghiệm thuộc (0;2).
Như vậy phương trình (1) có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng (−2;2).
Tuy nhiên phương trình fx=0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm.
Vậy phương trình fx=0 có đúng 3 nghiệm trên ℝ.
Đáp án cần chọn là: D
