ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Hàm số liên tục

Quan sát đồ thị ta thấy $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=3;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0\Rightarrow \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$nên không tồn tại $\underset{x\to 1^{}}{\lim }f\left(x\right)$. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.

Đáp án cần chọn là: B

Hàm phân thức$y=\frac{x^4+x}{x^2+x}$ có txđ $D=R\setminus \left\{0;-1\right\}$ và liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right),\left(0;+\infty \right)$

Ta chỉ cần xét tính liên tục của $y=f\left(x\right)$ tại các điểm $x=0;x=-1$

Ta có:

Hàm số liên tục tại $x=-1$

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^4+x}{x^2+x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3+1}{x+1}=1=f\left(0\right)\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x=0.$

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm $x\in R$
Đáp án cần chọn là: C

Hàm số liên tục tại $x=8\iff 12=8a+4\iff a=1$
Đáp án cần chọn là: A

$f\left(x\right)=x^4-4x$ luôn liên tục trên $ℝ$

Đáp án cần chọn là: C

Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right),\left(0;1\right),\left(1;+\infty \right)$ nên ta chỉ xét tính liên tục của $y=f\left(x\right)$ tại các điểm $x=0,x=1$

$\left.\begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\underbrace{lim}}\frac{x^2}{1+x}=0\\ \underset{x\to 0^{-}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\underbrace{lim}}(-xcosx)=0\\ f\left(0\right)=\frac{0}{1+0}=0\end{array}\right\}\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=f\left(0\right)$

Ta có $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{5x}=1;f\left(0\right)=a+2$

Vậy để hàm số liên tục tại $x=0$ thì $a+2=1\iff a=-1$
Đáp án cần chọn là: B

⇒  Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong (−2;1)⇒ Đáp án A sai.

Ta có: $f\left(-1\right)=-3,f\left(0\right)=1\Rightarrow f\left(-1\right)f\left(0\right)<0\Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong $\left(-1;0\right)\subset \left(-2;0\right)\Rightarrow$ Đáp án C sai.

 Ta có: $f\left(0\right)=1;f\left(1\right)=-1\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)<0\Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(0;1\right)\subset \left(-1;1\right)\Rightarrow$ Đáp án D sai.

Đáp án cần chọn là: B

Bước 1:

$\begin{array}{l}f\left(2\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=m+1\\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x^2-1\right)=3\end{array}$

Bước 2:

$\Rightarrow m+1=3\iff m=2$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có hàm số liên tục trên $\left(2;+\infty \right)$

Ta có: $f\left(2\right)=\sqrt{2.2-4}+3=3;\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(\sqrt{2x-4}+3\right)=3$

Hàm số liên tục trên $ℝ\iff$ Hàm số liên tục trên $\left(-\infty ;2\right)$ và liên tục tại 
$x=2$ ⇔Hàm số xác định trên $\left(-\infty ;2\right)$ và liên tục tại $x=2$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{x}^2-2mx+3m+2\ne 0\forall x\in (-\infty ;2)\left(1\right)\\ \underset{x\to 2^{+}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\underbrace{lim}}f\left(x\right)=f\left(2\right)\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\left(2\right)\iff \underset{x\to 2^{-}}{\lim }=3\iff \frac{2+1}{2^2-2m.2+3m+2}=3\\ \iff \frac{3}{6-m}=3\iff m=5\end{array}$

Thay m=5 vào (1) ta được $x^2-10x+17\ne 0\forall x\in \left(-\infty ;2\right)$

Vậy với m = 5 thì hàm số liên tục trên $ℝ$.

Đáp án cần chọn là: C