ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Giới hạn của dãy số
39 câu hỏi
Biết limun=3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
lim3un−1un+1=3
lim3un−1un+1=−1
lim3un−1un+1=2
lim3un−1un+1=1
Ta có: lim3un−1un+1=3limun−1limun+1=3.3−13+1=84=2
Đáp án cần chọn là: C
Cho hai dãy số un,vn thỏa mãn un≤vn với mọi n và limun=0 thì:
limun=0
limun>limvn
limun<limvn
limun<0
Định lý: Cho hai dãy sốunvàvnNếuun≤vnvới mọi n và limvn=0 thì limun=0
Đáp án cần chọn là: A
Cho n∈N∗ nếu |q|<1 thì:
limqn=0
limq=0
limn.q=0
limnq=0
Định lý: Nếuq<1thì limqn=0
Đáp án cần chọn là: A
Cho cấp số nhân lùi vô hạn uncông bội q. Đặt S=u1+u2+...+un+... thì:
S=u11−q
S=u1q−1
S=1−qun
S=u11−qn
Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S=u1+u2+...+un+...=u11−q
Đáp án cần chọn là: A
Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn un có công bội qq<1. Khẳng định nào sau đây đúng ?
S=u11−q
S=u11+q
S=1u1−q
S=u1q−1
S=u1+u2+...=u11+q+q2+...=u11−q
Đáp án cần chọn là: A
Cho un=1−4n5n. Khi đó lim unbằng?
15.
−45.
45.
−15.
limun=lim1−4n5n=lim1n−45=−45=−45.
Đáp án cần chọn là: B
Cho un=n2−3n1−4n3. Khi đó lim unbằng?
0
−14.
34.
−34.
limun=limn2−3n1−4n3=lim1n−3n21n3−4=0−4=0.
Đáp án cần chọn là: A
Cho un=3n+5n5n. Khi đó lim unbằng?
0
1
35
+∞
limun=lim3n+5n5n=lim35n+11=11=1.
Đáp án cần chọn là: B
Giá trị limn3−2n+1 bằng?
0
1
−∞
+∞
Ta có:n3−2n+1=n31−2n2+1n3
Vì limn3=+∞ và lim1−2n2+1n3=1>0 nên limn3−2n+1=+∞
Đáp án cần chọn là: D
lim2n+3n2 bằng
1
0
+∞
12
Bước 1:
Vì lim1n=0;lim1n2=0
Bước 2:
Nên lim2n+3n2=2.0+3.0=0
Đáp án cần chọn là: B
Cho cấp số nhân un=12n,∀n≥1. Khi đó:
S=1
S=12n
S=0
S=2
Ta có: u1=12;q=12⇒S=u11−q=121−12=1
Đáp án cần chọn là: A
Cho các dãy số un=1n,n≥1 và vn=n2,n≥1. Khi đó:
limun.vn=0
limun.vn=+∞
limun.vn=−∞
limun.vn=1
Ta có: limun.vn=lim1n.n2=limn=+∞
Đáp án cần chọn là: B
Giới hạn lim2n+1−3.5n+53.2n+9.5n bằng?
1
23
-1
−13
Bước 1:
lim2n+1−3.5n+53.2n+9.5n=lim2.2n−3.5n+53.2n+9.5n
=lim2.25n−3+5.15n3.25n+9
Bước 2:
=2.0−3+5.03.0+9=−39=−13.
Đáp án cần chọn là: D
Giới hạn lim2−5n3n+122−25n5 bằng?
-4
-1
5
−32
lim(2−5n)3(n+1)22−25n5=lim(2−5n)3n3.(n+1)2n22−25n5n5=2−5nn3.n+1n22n5−25
=lim2n−53.1+1n22n5−25=0−531+020−25=(−5)3.12−25=5
Đáp án cần chọn là: C
Giới hạn limn2−3n−5−9n2+32n−1bằng?
52
−52
1
-1
Cách 1:
limn2−3n−5−9n2+32n−1
=limn2−3n−5−9n2+3.n2−3n−5+9n2+3n2−3n−5+9n2+3.2n−1
=lim(n2−3n−5)−(9n2+3)n2−3n−5+9n2+3.2n−1
=lim−8n2−3n−8n2−3n−5+9n2+3.2n−1
=lim−8−3n−8n21−3n−5n2+9+3n22−1n=−84.2=−1
Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n.
limn2−3n−5−9n2+32n−1=lim1−3n−5n2−9+3n22−1n=lim1−32=−1
Đáp án cần chọn là: D
Giới hạn lim2n2−n+42n4−n2+1 bằng?
1
2
2
12
lim2n2−n+42n4−n2+1=lim2−1n+4n22−1n2+1n4=22=2.
Đáp án cần chọn là: B
Giới hạn limn2−n−n bằng?
−∞
−12
0
+∞
limn2−n−n=limn2−n−n.n2−n+nn2−n+n
=limn2−n−n2n2−n+n=lim−nn2−n+n=lim−11−1n+1=−12=−12.
Đáp án cần chọn là: B
Giới hạn limn2−n+1−n2+1 bằng?
0
−12
−12
12
lim(n2−n+1−n2+1)=lim(n2−n+1−n2+1)(n2−n+1+n2+1)n2−n+1+n2+1=limn2−n+1−n2−1n2−n+1+n2+1=lim−nn2−n+1+n2+1=lim−11−1n+1n2+1+1n2=−12
Đáp án cần chọn là: B
Giá trị limsinn!n2+1 bằng
0
1
+∞
2
Ta cósinn!n2+1≤1n2+1 mà lim1n2+1=0 nên chọn đáp án A.
Đáp án cần chọn là: A
Tính giới hạn limn2−3n32n3+5n−2
15
12
0
-32
Bước 1:
limn2−3n32n3+5n−2=limn3−3+1nn32+5n−2n3
Bước 2:
=lim−3+1n2+5n−2n3=−3+02+0−0=−32
Đáp án cần chọn là: D
limn+12n−3 bằng
0
−∞
12
-13
Bước 1:
limn+12n−3=limn1+1nn2−3n=lim1+1n2−3n
Bước 2:
=1+02−0=12
Đáp án cần chọn là: C
Bạn Bách thả 1 quả bóng cao su từ độ cao 12m so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 23 độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng số quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho tới khi quả bóng không nảy nữa) gần nhất với kết quả nào sau đây?
36m
62m
60m
56m
Ta coi độ cao nảy lên lần thứ nhất là u1⇒u1=12.23=8
⇒u2=23u1;u3=23u2;...;un=23un−1;...
=> Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với u1=8;q=23
Khi đó tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển là
S=12+2u1+2u2+2u3+...+2un+...
=12+2.(u1+u2+…)=12+2.u11−q
=12+2.81−23=60
Đáp án cần chọn là: C
Cho dãy số unvới un=1−12+12−13+....+1n−1n+1. Khi đó lim un bằng?
0
12
1
2
un=11.2+12.3+13.4+...+1n.n+1
=2−11.2+3−22.3+...+n+1−nn.n+1
=1−12+12−13+....+1n−1n+1
=1−1n+1
⇒limun=lim1−1n+1=1.
Đáp án cần chọn là: C
Cho dãy số (un) với un=11.3+13.5+...+12n−1.2n+1
Khi đó lim un bằng?
12
14
1
2
un=11.3+13.5+...+12n−1.2n+1=12.1−13+13−15+...+12n−1−12n+1=12.1−12n+1⇒limun=lim121−12n+1=12.
Đáp án cần chọn là: A
Cho dãy số (un)với un=2n+11−3nn3+5n−13 Khi đó lim un bằng?
−∞
-1
+∞
-25
limun=lim2n+11−3nn3+5n−13=lim−6n2−n+1n3+5n−13
=lim−6n2−n+1n2n3+5n−1n63=lim−6−1n+1n21n3+5n5−1n63=−∞.
Đáp án cần chọn là: A
Cho dãy số (un) xác định bởi u1=2un+1=un+12,n≥1 Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
Dãy (un) là dãy giảm tới 1 khi n→+∞
Dãy (un) là dãy tăng tới 1 khi n→+∞
Không tồn tại giới hạn của dãy (un)
Cả 3 đáp án trên đều sai
u2=2+12=32=21+121
u3=32+12=54=22+122
u4=54+12=98=23+123
Chứng minh bằng quy nạp: un+1=2n+12n, ∀n=1;2;... (∗)
* Với n=1:u2=u1+12=2+12=21+121: (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với n=k≥1 tức là uk=2k+12k ta chứng minh (*) đúng với n=k+1 tức là cần chứng minh uk+1=2k+1+12k+1
Ta có :
uk+1=uk+12=2k+12k+12=2k+1+2k2k2=2.2k+12k+1=2k+1+12k+1
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).
Như vậy, công thức tổng quát của dãy (un)là:
un=2n−1+12n−1=1+12n−1, ∀n=1;2;... (∗)
Từ (*) ta có un+1−un=1+12n−1+12n−1
=12n−12n+1<0 ∀n=1,2,...⇒unlà dãy giảm và
limun=lim1+12n−1=1⇒là dãy giảm tới 1 khi n→+∞
Đáp án cần chọn là: A
Cho các số thực a, b thỏa mãn a<1, b<1. Tìm giới hạn I=lim1+a+a2+...+an1+b+b2+...+bn.
+∞
1−a1−b
1−b1−a
1
Ta có 1, a, a2, ..., an là một cấp số nhân có công bội a
⇒1+a+a2+...+an=1−an+11−a.
Tương tự: 1+b+b2+...+bn=1−bn+11−b
⇒limI=lim1−an+11−a1−bn+11−b=lim1−an+11−a.1−b1−bn+1=lim1−an+11−bn+1.1−b1−a=1−b1−a.
(Vì a<1, b<1⇒liman+1=limbn+1=0)
Đáp án cần chọn là: C
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác An−1Bn−1Cn−1…. Goi P,P1,P2,...,Pn,... là chu vi của các tam giác ABC,A1B1C1,A2B2C2,...,AnBnCn,... Tìm tổng P,P1,P2,...,Pn,...
9a
6a
+∞
3a
Bước 1:
Gọi an là cạnh của tam giác AnBnCn với n nguyên dương.
Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì AnBnCn bằngan=a2n với mọi số nguyên dương n (*)
Vì A1,B1,C1 là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên a1=a2
Cạnh của tam giác A1B1C1 có cạnh là a2=a21
Giả sử (*) đúng với n=k
Tức là cạnh của tam giác AkBkCk là ak=a2k
Ta có Ak+1Bk+1Ck+1 có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác AkBkCk nên có cạnh là ak+1=ak2=12.a2k=a2k+1
=> (*) đúng với n=k+1
=> (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
=> Chu vi của tam giác AnBnCn như giả thiết là Pn=3a2n
Bước 2:
Như vậy P=3a;P1=3a2;P2=3a22;...;Pn=3a2n;...
Dãy số Pn gồm P,P1,P2,... là cấp số nhân với số hạng đầu là P=3a công bội q=12
⇒P+P1+P2+...=3a1−12=6a
Đáp án cần chọn là: B
Dãy số (un) nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng?
un=2017−n2018n2018−n2017
un=nn2+2018−n2+2016
u1=2017un+1=12(un+1),n=1,2,3...
un=11.2+12.3+13.4+...+1nn+1
Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án:
+) Đáp án A:
limun=lim2017−n2018n2018−n2017=lim2017−nn.2017−n2018−n2017
=lim2017n−12017n−12018n−12017=−1
+) Đáp án B:
limun=limnn2+2018−n2+2016=limnn2+2018−n2−2016n2+2018+n2+2016
=lim2nn2+2018+n2+2016=lim21+2018n2+1+2016n2=1
+) Đáp án C:
Ta có: un+1−1=12un−1
un−1=12un−1−1un−1−1=12un−2−1un−2−1=12un−3−1...u2−1=12u1−1
⇒un−1un−1−1un−2−1...u2−1
=12un−1−1.12un−2−1.12un−3−1...12u1−1
=12n−1un−1−1un−2−1...u2−1u1−1
⇒un−1=12n−1u1−1
⇒un=20162n−1+1⇔un=4032.12n+1⇒limun=1
Ở câu C, các em cũng có thể giả sử limun=a thì un+1→akhi n→∞ do đó ta có a=12a+1⇔a=1
+) Đáp án D:
Ta có
un=11.2+12.3+13.4+...+1nn+1=1−12+12−13+...+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1
⇒limun=limnn+1=1
Đáp án cần chọn là: A
Tính giới hạn: lim1−1221−132...1−1n2.
1
12
14
32
Cách 1:
Xét dãy số unvới un=1−1221−132...1−1n2,n≥2, n∈ℕ
Ta có:
u2=1−122=34=2+12.2
u3=1−122.1−132=34.89=46=3+12.3
u4=1−122.1−1321−142=34.89.1516=58=4+12.4
…….
un=n+12n
Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định un=n+12n, ∀n≥2
Khi đó lim1−1221−132...1−1n2=limn+12n=12
Đáp án cần chọn là: B
Với n là số nguyên dương, đặt Sn=112+21+123+32+...+1nn+1+n+1n. Khi đó limSn bằng
12+1
12−1
1
12+2
Ta có 1nn+1+n+1n=1nn+1n+n+1=n+1−nnn+1=1n−1n+1
Suy ra
Sn=112+21+123+32+...+1nn+1+n+1n
=11−12+12−13+...+1n−1n+1=1−1n+1
Suy ra limSn=1
Đáp án cần chọn là: C
Cho dãy số (un) xác định bởi u1=0 và un+1=un+4n+3, ∀n≥1 Biết
limun+u4n+u42n+...+u42018nun+u2n+u22n+...+u22018n=a2019+bcvới a, b, c là các số nguyên dương và b<2019. Tính giá trị S=a+b−c.
S=−1
S=0
S=2017
S=2018
Ta có
u2=u1+4.1+3u3=u2+4.2+3...un=un−1+4.n−1+3
Cộng vế theo vế và rút gọn ta được
un=u1+4.1+2+...+n−1+3n−1=4nn−12+3n−1=2n2+n−3
với mọi n≥1
Suy ra
u2n=22n2+2n−3u22n=222n2+22n−3...u22018n=222018n2+22018n−3
Và
u4n=24n2+4n−3u42n=242n2+42n−3...u42018n=242018n2+42018n−3
Do đó limun+u4n+u42n+...+u42018nun+u2n+u22n+...+u22018n=lim2+1n−3n2+2.42+4n−3n2+...+2420182+42018n−3n22+1n−3n2+2.22+2n−3n2+...+2220182+22018n−3n2=21+4+42+...+4201821+2+22+...+22018=11−420191−41−220191−2=1342019−122019−1=22019+13
Vì 22019>2019 cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên a=2b=1c=3
Vậy S=a+b−c=0
Đáp án cần chọn là: B
Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình x3−3x2+2m−2x+m−3=0 có ba nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn x1<−1<x2<x3.
m>−5
m<−5
m≤−5
m<−6
Đặt fx=x3−3x2+2m−2x+m−3. Ta thấy hàm số liên tục trên ℝ
Dễ thấy nếu x→−∞ thì fx→−∞ hay fx<0
Suy ra điều kiện cần để fx=0 có 3 nghiệm thỏa mãn x1<−1<x2<x3 là f−1>0⇔−m−5>0⇔m<−5
Điều kiện đủ: với m<−5 ta có
*)limx→−∞fx=−∞ nên tồn tại a<−1 sao cho fa<0
Mặt khác f−1=−m−5>0. Suy ra fa.f−1<0
Do đó tồn tại x1∈a;−1 sao cho fx1=0
*) f0=m−3<0,f−1>0. Suy ra f0.f−1<0
Do đó tồn tại x2∈−1;0 sao cho fx2=0
*) limx→+∞fx=+∞ nên tồn tại b>0 sao cho fb>0
Mặt khác f0<0. Suy ra f0.fb<0
Do đó tồn tại x3∈0;b sao cho fx3=0
Vậy m < −5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: B
Tính lim12+22+32+...+n22nn+76n+5
16
126
12
+∞
Ta có: 12+22+32+...+n2=nn+12n+16
Khi đó: lim12+22+32+...+n22nn+76n+5=limnn+12n+112nn+76n+5=lim1+1n2+1n121+7n6+5n=16
Đáp án cần chọn là: A
Đặt fn=n2+n+12+1..
Xét dãy số (un) sao cho un=f1.f3.f5...f(2n−1)f2.f4.f6...f(2n) Tính limnun.
limnun=2.
limnun=13.
limnun=3.
limnun=12.
Xét gn=f2n−1f2n⇒gn=4n2−2n+12+14n2+2n+12+1
gn=4n2+12−4n4n2+1+4n2+14n2+12+4n4n2+1+4n2+1=4n2+1−4n+14n2+1+4n+1=2n−12+12n+12+1
⇒un=210.1026.2650....2n−32+12n−12+1.2n−12+12n+12+1=22n+12+1
⇒limnun=lim2n24n2+4n+2=12.
Đáp án cần chọn là: D
Tính limn4n2+3−8n3+n3
+∞
1
−∞
23
Ta có: limn4n2+3−8n3+n3
=limn4n2+3−2n+2n−8n3+n3
=limn4n2+3−2n+n2n−8n3+n3
Ta có: limn4n2+3−2n=lim3n4n2+3+2n=lim34+3n2+2=34
Ta có: limn2n−8n3+n3=lim−n24n2+2n8n3+n3+8n3+n23
=lim−14+28+1n23+8+1n223=−112
Vậy limn4n2+3−8n3+n3=34−112=23
Đáp án cần chọn là: D
Tìm số hữu tỉ biểu diễn số 0,111111… chu kỳ (1).
16
19
111
113
Bước 1: Tìm cấp số nhân
Ta biểu diễn
a=0,111⏟u1⏟u2.⏟u3..=0,1+0,01+0,001+...=110+1102+1103+...
Xét dãy u1=0,1;u2=0,01;u3=0,001;...;un=0,0...01;⏟n chu so...
Ta thấy dãy trên có:
- Số hạng đầu: u1=0,1=110
- Số hạng thứ hai: u2=0,01=1102=u1.110
- Số hạng thứ n: un=0,0...01⏟n chu so=110n=u1.110n−1
Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Như vậy aa là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn biết:
- Số hạng đầu: u1=110
- Công bội: q=110
Do vậy: a=u11−q=1101−110=19
Vậy: a=19
Đáp án cần chọn là: B
Cho hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng a và có diện tích S1. Nối bốn trung điểm A2,B2,C2,D2 ta được hình vuông thứ hai có diện tích S2. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông A3B3C3D3 có diện tích S3,… Tính tổng S1+S2+… bằng
a22100−12100
2a2
a22100
a2299−1298
Bước 1: Tìm cấp số nhân
Ta có:
S1=a2S2=a222=a2⋅12S3=a22⋅222⋯Sn=a2⋅12n−1
Có S1;S2;S3;… là một cấp số nhân lùi vô hạn với:
- Số hạng đầu: S1=a2
- Công bội: q=12
Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Do đó: S=S1+S2+S3+…=S11−q=a21−12=2a2
Đáp án cần chọn là: B
Người ta dự định xây dựng một tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ theo cấu trúc: diện tích của mặt sàn tầng trên bằng một nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 15 m2. Yêu cầu là nền tháp lát gạch hoa kích thước 30x30 (cm). Số lượng gạch hoa cần mua để lát sàn tháp là
333 viên gạch
334 viên gạch
332 viên gạch
335 viên gạch
Bước 1: Gọi S1 là diện tích mặt đáy tháp. Biểu diễn diện tích mặt đáy tầng thứ n.
Gọi S1 là diện tích mặt đáy tháp. Ta có: S1=15m2
Theo yêu cầu khi xây dựng tòa tháp, diên tích mặt đáy các tầng tiếp theo là:
S2=12S1
S3=12S2=122S1.
….
Sn=12n−1S1
Bước 2: Tính tổng diện tích mặt sàn 11 tầng.
Tổng diện tích mặt sàn 11 tầng tháp là
S=S1+S2+..+S11=S1.1+12+122+..+1210=15.1.1−12111−12≈29,98m2.
Bước 3: Tìm số viên gạch
Diện tích mỗi viên gạch là 30.30=900 cm2=0,09 m2
Số lượng gạch hoa cần mua là S0,09≈333,17
Vậy cần mua 334 viên gạch
