ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Giới hạn của dãy số

$\lim \frac{{(2-5n)}^3{(n+1)}^2}{2-25n^5}=\lim \frac{\frac{{(2-5n)}^3}{n^3}.\frac{{(n+1)}^2}{n^2}}{\frac{2-25n^5}{n^5}}=\frac{{\left(\frac{2-5n}{n}\right)}^3.{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2}{\frac{2}{n^5}-25}$

$=\lim \frac{{\left(\frac{2}{n}-5\right)}^3.{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2}{\frac{2}{n^5}-25}=\frac{{\left(0-5\right)}^3{\left(1+0\right)}^2}{0-25}=\frac{{(-5)}^3{.1}^2}{-25}=5$

$\lim \frac{2n^2-n+4}{\sqrt{2n^4-n^2+1}}=\lim \frac{2-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}{\sqrt{2-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$

$\begin{array}{l}\lim (\sqrt{n^2-n+1}-\sqrt{n^2+1})\\ =\lim \frac{(\sqrt{n^2-n+1}-\sqrt{n^2+1})(\sqrt{n^2-n+1}+\sqrt{n^2+1})}{\sqrt{n^2-n+1}+\sqrt{n^2+1}}\\ =\lim \frac{n^2-n+1-n^2-1}{\sqrt{n^2-n+1}+\sqrt{n^2+1}}\\ =\lim \frac{-n}{\sqrt{n^2-n+1}+\sqrt{n^2+1}}\\ =\lim \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\\ =-\frac{1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}{u}_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2n-1\right).\left(2n+1\right)}\\ =\frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\mathrm{...}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\\ =\frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\\ \Rightarrow \lim u_n=\lim \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}.\end{array}$

$u_2=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{2^1+1}{2^1}$

$u_3=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}=\frac{2^2+1}{2^2}$

$u_4=\frac{\frac{5}{4}+1}{2}=\frac{9}{8}=\frac{2^3+1}{2^3}$

Chứng minh bằng quy nạp: $u_{n+1}=\frac{2^n+1}{2^n},\forall n=1;2;\mathrm{...}(\ast )$

* Với $n=1:u_2=\frac{u_1+1}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{2^1+1}{2^1}$: (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với $n=k\ge 1$ tức là $u_k=\frac{2^k+1}{2^k}$ ta chứng minh (*) đúng với $n=k+1$ tức là cần chứng minh $u_{k+1}=\frac{2^{k+1}+1}{2^{k+1}}$

Ta có :

$u_{k+1}=\frac{u_k+1}{2}=\frac{\frac{2^k+1}{2^k}+1}{2}=\frac{\frac{2^k+1+2^k}{2^k}}{2}=\frac{{2.2}^k+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}+1}{2^{k+1}}$

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy $\left(u_n\right)$là:

$u_n=\frac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}}=1+\frac{1}{2^{n-1}},\forall n=1;2;\mathrm{...}(\ast )$

Từ (*) ta có $u_{n+1}-u_n=1+\frac{1}{2^n}-\left(1+\frac{1}{2^{n-1}}\right)$

$=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+1}}<0\forall n=1,2,\mathrm{...}\Rightarrow \left(u_n\right)$là dãy giảm và  

$\lim u_n=\lim \left(1+\frac{1}{2^{n-1}}\right)=1\Rightarrow$là dãy giảm tới 1 khi $n\to +\infty$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có $1,a,a^2,\mathrm{...},a^n$ là một cấp số nhân có công bội a

$\Rightarrow 1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.$

 Tương tự:  $1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n=\frac{1-b^{n+1}}{1-b}$

$\Rightarrow \lim I=\lim \frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\lim \left(\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.\frac{1-b}{1-b^{n+1}}\right)=\lim \left(\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}.\frac{1-b}{1-a}\right)=\frac{1-b}{1-a}.$

(Vì $\left|a\right|<1,\left|b\right|<1\Rightarrow \lim a^{n+1}=\lim b^{n+1}=0$)

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1:

Gọi $a_n$ là cạnh của tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ với n nguyên dương.

Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì $A_n{B}_n{C}_n$ bằng$a_n=\frac{a}{2^n}$ với mọi số nguyên dương n   (*)

Vì $A_1,B_1,C_1$ là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên $a_1=\frac{a}{2}$

Cạnh của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh là $\frac{a}{2}=\frac{a}{2^1}$

Giả sử (*) đúng với $n=k$

Tức là cạnh của tam giác $A_k{B}_k{C}_k$ là $a_k=\frac{a}{2^k}$

Ta có $A_{k+1}{B}_{k+1}{C}_{k+1}$ có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác $A_k{B}_k{C}_k$ nên có cạnh là $a_{k+1}=\frac{a_k}{2}=\frac{1}{2}.\frac{a}{2^k}=\frac{a}{2^{k+1}}$

=> (*) đúng với $n=k+1$

=> (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

=> Chu vi của tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ như giả thiết là $P_n=\frac{3a}{2^n}$

Bước 2:

Như vậy $P=3a;P_1=\frac{3a}{2};P_2=\frac{3a}{2^2};\mathrm{...};P_n=\frac{3a}{2^n};\mathrm{...}$

Dãy số $\left(P_n\right)$ gồm $P,P_1,P_2,\mathrm{...}$ là cấp số nhân với số hạng đầu là $P=3a$ công bội $q=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow P+P_1+P_2+\mathrm{...}=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$

Đáp án cần chọn là: B

Cách 1:

Xét dãy số $\left(u_n\right)$với $u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right),n\ge 2,n\in \mathbb{N}$

Ta có:

$u_2=1-\frac{1}{2^2}=\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2.2}$

$u_3=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)=\frac{3}{4}.\frac{8}{9}=\frac{4}{6}=\frac{3+1}{2.3}$

$u_4=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)=\frac{3}{4}.\frac{8}{9}.\frac{15}{16}=\frac{5}{8}=\frac{4+1}{2.4}$

…….

$u_n=\frac{n+1}{2n}$

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định $u_n=\frac{n+1}{2n},\forall n\ge 2$

Khi đó $\lim \left[\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right]=\lim \frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B