ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Giới hạn của hàm số
24 câu hỏi
Hàm số y=fx có giới hạn L khi x→x0 kí hiệu là:
limx→+∞fx=L
limx→−∞fx=L
limx→x0fx=L
limx→Lfx=x0
Hàm số y=fx có giới hạn là số L khi x dần tới x0 kí hiệu là limx→x0fx=L
Đáp án cần chọn là: C
Giá trị của giới hạn limx→39x2−x2x−1x4−3 là:
15
5
15
5
limx→39x2−x2x−1x4−3
=9.32−32.3−134−3=15=55
Đáp án cần chọn là: C
Giả sử limx→x0fx=L,limx→x0gx=M khi đó:
limx→x0fx+gx=L
limx→x0fx+gx=M
limx→x0fx+gx=L-M
limx→x0fx+gx=M+L
Giả sử limx→x0fx=L,limx→x0gx=M Khi đó: limx→x0fx+gx=L+M
Đáp án cần chọn là: D
Giá trị của giới hạn limx→3x2−4 là:
0
1
2
3
limx→3x2−4=32−4=1
Đáp án cần chọn là: B
Số L là giới hạn phải của hàm số y=f(x) kí hiệu là:
limx→x0+fx=L
limx→x0−fx=L
limx→+∞fx=L
limx→−∞fx=L
Số L là: + giới hạn bên phải của hàm số y=fx kí hiệu là limx→x0+fx=L
+ giới hạn bên trái của hàm số y=fx kí hiệu là limx→x0−fx=L
Đáp án cần chọn là: A
Giá trị của giới hạn limx→−∞x−x3+1 là:
1
−∞
0
+∞
limx→−∞x−x3+1=limx→−∞x31x2−1+1x3=+∞
limx→−∞x3=−∞limx→−∞(1x2−1+1x3)=−1<0
Đáp án cần chọn là: D
Cho hàm số y=fx có limx→x0fx=L. Chọn đáp án đúng:
limx→x0+fx=L
limx→x0+fx=−L
limx→x0−fx=−L
limx→x0+fx=−limx→x0−fx
Ta có: limx→x0fx=L⇔limx→x0+fx=limx→x0−fx=L
Đáp án cần chọn là: A
Kết quả của giới hạn limx→2+x−15x−2 là:
−∞
+∞
−152
1
Vì limx→2+(x−15)=−13<0limx→2+(x−2)=0x−2>0,∀x>2⇒limx→2+x−15x−2=−∞
Đáp án cần chọn là: A
Chọn đáp án đúng: Với c,k là các hằng số và k nguyên dương thì:
limx→−∞c=c
limx→+∞cxk=+∞
limx→−∞xk=0
limx→+∞xk=−∞
Ta có: limx→±∞c=c,limx→±∞cxk=0 nên đáp án A đúng.
Đáp án cần chọn là: A
Chọn mệnh đề đúng:
limx→+∞fx=+∞⇔limx→+∞−fx=+∞
limx→+∞fx=+∞⇔limx→+∞−fx=−∞
limx→+∞fx=+∞⇔limx→−∞−fx=−∞
limx→+∞fx=−∞⇔limx→+∞−fx=−∞
Ta có: limx→+∞fx=+∞⇔limx→+∞−fx=−∞
Đáp án cần chọn là: B
Giá trị của giới hạn limx→+∞x2+1+xlà:
0
+∞
2−1
−∞
limx→+∞x2+1+x=limx→+∞x1+1x2+1=+∞
Vì limx→+∞x=+∞limx→+∞1+1x2+1=2>0
Đáp án cần chọn là: B
Cho n=2k+1,k∈N. Khi đó:
limx→+∞xn=−∞
limx→±∞xn=+∞
limx→−∞xn=−∞
limx→−∞xn=+∞
Ta có: limx→−∞xk=+∞ nếu k chẵn và limx→−∞xk=−∞ nếu k lẻ.
Do đó, vì n=2k+1,k∈N là số nguyên dương lẻ nên limx→−∞xn=−∞
Đáp án cần chọn là: C
Cho hàm số fx=2x1−xkhi x<13x2+1 khi x≥1. Khi đó limx→1+fx là:
+∞
2
4
−∞
limx→1+fx=limx→1+3x2+1=3.12+1=2
Đáp án cần chọn là: B
Khẳng định nào sau đây Sai?
limx→+∞x2+12x2+1=12
limx→−∞x2+3x−1=−∞
limx→+∞x+12x+1=12
limx→−∞x+32x+1=12
limx→−∞x2+3x−1=limx→−∞x21+3x−1x2=+∞
Đáp án cần chọn là: B
Cho đa thức f(x) thỏa mãn fx−2x−1=12. Tính limx→1fx−2x2−1fx+1
Bước 1:
Đặt gx=fx−2x−1⇒fx=x−1gx+2
⇒limx→1fx=limx→1x−1gx+2=2
Bước 2:
Ta có:
limx→1fx−2x2−1fx+1=limx→1fx−2x−1.1x+1fx+1=12.12.2+1=2
Biết limx→+∞4x2−3x+1−ax+b=0 . Tính a−4b ta được
3
5
-1
2
Ta có
limx→+∞4x2−3x+1−ax+b=0
⇔limx→+∞4x2−3x+1−ax−b=0
⇔limx→+∞4x2−3x+1−a2x24x2−3x+1+ax−b=0
⇔limx→+∞4−a2x2−3x+14x2−3x+1+ax−b=0
⇔4−a2=0a>0−32+a⇔a=2b=−34
Vậy a−4b=5
Đáp án cần chọn là: B
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn c2+a=18c2+a=18 và lim⏟x→+∞(ax2+bx−cx)=−2. Tính P=a+b+5c.
P=18
P=12
P=9
P=5
Ta có limx→+∞ax2+bx−cx=−2⇔limx→+∞a−c2x2+bxax2+bx+cx=−2
Điều này xảy ra ⇔a−c2=0(a,c>0)ba+c=−2 (Vì nếu c≤0 thì limx→+∞ax2+bx−cx=+∞
Mặt khác, ta cũng có c2+a=18
Do đó, a=c2=9b=−2(a+c)⇔a=9,b=−12,c=3
Vậy P=a+b+5c=12
Đáp án cần chọn là: B
Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5 thì giá trị của a là một nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
x2−11x+10=0
x2−5x+6=0
x2−8x+15=0
x2+9x−10=0
Ta có: limx→−∞x2+ax+5+x=5⇔limx→−∞x2+ax+5−x2x2+ax+5−x=5
⇔limx→−∞ax+5x2+ax+5−x=5⇔limx→−∞a+5x−1+ax+5x2−1=5
⇔a−2=5⇔a=−10
Vì vậy giá trị của a là một nghiệm của phương trình x2+9x−10=0
Đáp án cần chọn là: D
Tìm giới hạn I=limx→+∞x+1−x2−x+2.
I=12
I=4631
I=1711
I=32
Ta có: I=limx→+∞x+1−x2−x+2⇔I=limx→+∞x2−x2+x−2x+x2−x+2+1
⇔I=limx→+∞x−2x+x2−x+2+1
⇔I=limx→+∞1−2x1+1−1x+2x2+1⇔I=32
Đáp án cần chọn là: D
Cho limx→1x2+ax+bx2−1=−12 a,b∈ℝ. Tổng S=a2+b2 bằng
S=13
S=9
S=4
S=1
Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại x=1 nên biểu thức tử nhận x=1làm nghiệm, hay 1+a+b=0
Áp dụng vào giả thiết, được
limx→1x2+ax−1−ax2−1=−12⇔limx→1x−1x+1+ax−1x+1=−12
⇔limx→1x+1+ax+1=−12⇔2+a2=−12⇔a=−3
Suy ra b = 2.
Vậy a2+b2=13
Đáp án cần chọn là: A
Cho f(x) là đa thức thỏa mãn lim⏟x→2f(x)−20x−2=10. Tính T=limx→26fx+53−5x2+x−6
T=1225
T=425
T=415
T=625
Cách 1 (Đặc biệt hóa)
Chọn fx=10x, ta có limx→2fx−20x−2=limx→210x−20x−2=limx→210x−2x−2=10
Lúc đó
T=limx→26fx+53−5x2+x−6=limx→260x+53−5x2+x−6=limx→260x+53−5x−2x+3
=limx→260x+5−53x−2x+360x+532+560x+53+25
=limx→260x−2x−2x+360x+532+560x+53+25
=limx→260x+360x+532+560x+53+25=425
Cách 2:
Chọn fx=10xta có limx→2fx−20x−2=limx→210x−20x−2=limx→210x−2x−2=10
Sử dụng CASIO (chức năng CALC), nhập hàm cần tính giới hạn
Màn hình hiển thị
Thay giá trị x=1,9999999 vào
Màn hình hiển thị
Thay tiếp giá trị x=2,0000001 vào
Màn hình hiển thị
Cách 3:
Theo giả thiết có limx→2fx−20=0 hay limx→2fx=20(*)
Khi đó
T=limx→26fx+53−5x2+x−6=limx→26fx+5−125x2+x−66fx+532+56fx+53+25
T=limx→26fx−20x−2x+36fx+532+56fx+53+25
limx→2fx−20x−2=10
limx→2fx=20⇒limx→26x−3.6fx+532+56fx+53+25=62+3.6.20+532+5.6.20+53+25=65.75
T=10.65.75=425
Đáp án cần chọn là: B
Cho limx→0xx+17.x+4−2=ab (ablà phân số tối giản). Tính tổng L=a+b.
L=43
L=23
L=13
L=53
Đặt L=limx→0xx+17.x+4−2=ab thì 1L=limx+17.x+4−2x=ba
Ta có
ba=limx→0x+17.x+4−x+4+x+4−2x=limx→0x+17.x+4−x+4x+limx→0x+4−2x
Xét L1=limx→0x+4x+17−1x. Đặt t=x+17
Khi đó : x=t7−1x→0⇒t→1
L1=limt→1t7+3t−1t7−1=limt→1t7+3t6+t5+t4+t3+t2+t+1=27
Xét
L2=limx→0x+4−2x=limx→0x+4−2x+4+2xx+4+2=limx→01x+4+2=14
Vậy ba=27+14=1528⇒a=28,b=15⇒a+b=43⇒a+b=43
Đáp án cần chọn là: A
Cho dãy số (un) xác định bởi u1=0 và un+1=un+4n+3, ∀n≥1 Biết limun+u4n+u42n+...+u42018nun+u2n+u22n+...+u22018n=a2019+bcvới a, b, c là các số nguyên dương và b<2019. Tính giá trị S=a+b−c.
S=−1
S=0
S=2017
S=2018
Ta có
u2=u1+4.1+3u3=u2+4.2+3...un=un−1+4.n−1+3
Cộng vế theo vế và rút gọn ta được
un=u1+4.1+2+...+n−1+3n−1=4nn−12+3n−1=2n2+n−3 với mọi n≥1
Suy ra
u2n=22n2+2n−3u22n=222n2+22n−3...u22018n=222018n2+22018n−3
Và
u4n=24n2+4n−3u42n=242n2+42n−3...u42018n=242018n2+42018n−3
Do đó limun+u4n+u42n+...+u42018nun+u2n+u22n+...+u22018n
=lim2+1n−3n2+2.42+4n−3n2+...+2420182+42018n−3n22+1n−3n2+2.22+2n−3n2+...+2220182+22018n−3n2
=21+4+42+...+4201821+2+22+...+22018=11−420191−41−220191−2=1342019−122019−1=22019+13
Vì 22019>2019 cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên a=2b=1c=3
Vậy S=a+b−c=0
Đáp án cần chọn là: B
Biết limx→1x2+x+2−7x+132x−1=a2b+c với a, b, c ∈ℤ và ab là phân số tối giản. Giá trị của a+b+c bằng:
5
37
13
51
Ta có
limx→1x2+x+2−7x+132x−1=limx→1x2+x+2−2+2−7x+132x−1
=limx→1x2+x+2−22x−1+limx→12−7x+132x−1=I+J
Tính
I=limx→1x2+x+2−22x−1=limx→1x2+x+2−42x−1x2+x+2+2
=limx→1x−1x+22x−1x2+x+2+2=limx→1x+22x2+x+2+2=342
và J=limx→12−7x+132x−1=limx→18−7x−12x−14+27x+13+7x+132
=limx→1−724+27x+13+7x+132=−7122
Do đó limx→1x2+x+2−7x+132x−1=I+J=212
Suy ra a=1,b=12,c=0. Vậy a+b+c=13
Đáp án cần chọn là: C
