ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Giới hạn của hàm số

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ kí hiệu là $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: C

Giả sử $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L,\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=M$ Khi đó: $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=L+M$

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Số L là: + giới hạn bên phải của hàm số $y=f\left(x\right)$ kí hiệu là $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$

  + giới hạn bên trái của hàm số $y=f\left(x\right)$ kí hiệu là $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=L$

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }c=c,\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0$ nên đáp án A đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \iff \underset{x\to +\infty }{\lim }\left[-f\left(x\right)\right]=-\infty$

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$  nếu k chẵn và $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=-\infty$ nếu k lẻ.

Do đó, vì $n=2k+1,k\in N$ là số nguyên dương lẻ nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n=-\infty$

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Bước 2:

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-2}{\left(x^2-1\right)\left[f\left(x\right)+1\right]}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-2}{x-1}.\frac{1}{\left(x+1\right)\left[f\left(x\right)+1\right]}\\ =12.\frac{1}{2.\left(2+1\right)}=2\end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Điều này xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{c}a-c^2=0(a,c>0)\\ \frac{b}{\sqrt{a}+c}=-2\end{array}\right.$ (Vì nếu $c\le 0$ thì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{a{x}^2+bx}-cx\right)=+\infty$

Vì vậy giá trị của a là một nghiệm của phương trình $x^2+9x-10=0$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $I=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+1-\sqrt{x^2-x+2}\right)\iff I=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2-x^2+x-2}{x+\sqrt{x^2-x+2}}+1\right)$

$\iff I=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x-2}{x+\sqrt{x^2-x+2}}+1\right)$

$\iff I=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}}+1\right)\iff I=\frac{3}{2}$

Cách 1 (Đặc biệt hóa)

Chọn $f\left(x\right)=10x$,  ta có $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-20}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{10x-20}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{10\left(x-2\right)}{x-2}=10$

Lúc đó

$T=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}-5}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{60x+5}-5}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{60x+5}-5}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{60x+5-5^3}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left({\sqrt[3]{60x+5}}^2+5\sqrt[3]{60x+5}+25\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{60\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left({\sqrt[3]{60x+5}}^2+5\sqrt[3]{60x+5}+25\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{60}{\left(x+3\right)\left({\sqrt[3]{60x+5}}^2+5\sqrt[3]{60x+5}+25\right)}=\frac{4}{25}$

Ta có

Xét $L_1=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sqrt{x+4}\left(\sqrt[7]{x+1}-1\right)}{x}\right)$. Đặt $t=\sqrt[7]{x+1}$

Khi đó : $\left\{\begin{array}{c}x=t^7-1\\ x\to 0\Rightarrow t\to 1\end{array}\right.$

Xét

Vậy $\frac{b}{a}=\frac{2}{7}+\frac{1}{4}=\frac{15}{28}\Rightarrow a=28,b=15\Rightarrow a+b=43\Rightarrow a+b=43$
Đáp án cần chọn là: A

Cộng vế theo vế và rút gọn ta được

$u_n=u_1+4.\left(1+2+\mathrm{...}+n-1\right)+3\left(n-1\right)=4\frac{n\left(n-1\right)}{2}+3\left(n-1\right)=2n^2+n-3$ với mọi $n\ge 1$

Suy ra $a=1,b=12,c=0$.  Vậy $a+b+c=13$

Đáp án cần chọn là: C