Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2018 - 2019 Sở GD&ĐT TP.HCM có đáp án
8 câu hỏi
Cho parabol \[\left( P \right):y = {x^2}\] và đường thẳng \[\left( d \right):y = 3x - 2\].
a) Vẽ \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] bằng phép tính.
a) Parabol \[\left( P \right)\] có bảng giá trị:
\[x\] | – 2 | – 1 | 0 | 1 | 2 |
\[y\] | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Đường thẳng \[\left( d \right)\] đi qua các điểm \[\left( {0;\, - 2} \right)\] và \[\left( {\frac{2}{3};\,\,0} \right)\].
Vẽ \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] và trên cùng hệ trục tọa độ, ta được:
b) Phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\]là \[{x^2} = 3x - 2\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\]
Vì \[a + b + c = 1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\] nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1} = 1,\,{x_2} = 2\].
Với \[{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = 1\]
Với \[{x_2} = 2 \Rightarrow {y_2} = 4\]
Vậy \[\left( d \right)\] cắt \[\left( P \right)\] tại 2 điểm có tọa độ \[\left( {1;\,1} \right)\] và \[\left( {2;\,4} \right)\].
Cho phương trình: \[3{x^2} - x - 1 = 0\] có 2 nghiệm là \[{x_1},\,\,{x_2}\].
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \[A = x_1^2 + x_2^2\].
Vì \[{x_1},\,\,{x_2}\] là 2 nghiệm của phương trình \[3{x^2} - x - 1 = 0\].
Nên theo định lý Vi-ét ta có \[S = {x_1} + {x_2} = \frac{1}{3},\,P = {x_1}{x_2} = - \frac{1}{3}\].
Ta có \[A = x_1^2 + x_2^2\]\[ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{7}{9}\].
Mối quan hệ giữa thang nhiệt độ F (Fahrenheit) và thang nhiệt độ C (Celsius) được cho bởi công thức \[{T_F} = 1,8.{T_C} + 32\], trong đó \[{T_C}\] là nhiệt độ tính theo độ C và \[{T_F}\] là nhiệt độ tính theo độ F. Ví dụ \[{T_C} = 0^\circ {\rm{C}}\] tương ứng với \[{T_F} = 32^\circ {\rm{F}}\].
a) Hỏi 25°C tương ứng với bao nhiêu độ F?
b) Các nhà khoa học đã tìm ra mỗi liên hệ giữa \[A\] là số tiếng kêu của một con dế trong một phút và \[{T_F}\], là nhiệt độ cơ thể của nó bởi công thức: \[A = 5,6.{T_F} - 275\], trong đó nhiệt độ \[{T_F}\] tính theo độ F. Hỏi nếu con dế kêu 106 tiếng trong vòng một phút thì nhiệt độ của nó khoảng bao nhiêu độ C? (làm tròn đến hàng đơn vị)
a) 25°C tương ứng với độ F là: \[{T_F} = 1,8.25 + 32 = 77^\circ {\rm{F}}\].
b) Theo đề \[A = 106\], khi đó \[106 = 5,6.{T_F} - 275 \Rightarrow {T_F} = \frac{{106 + 275}}{{5,6}} \approx 68^\circ {\rm{F}}\].
Khí đó nhiệt độ của nó tính theo độ C là \[68 = 1,8{T_C} + 32 \Rightarrow {T_C} = \frac{{68 - 32}}{{1,8}} = 20^\circ {\rm{C}}\].
Kim tự tháp Kheops - Ai Cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh (hình vẽ). Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214 m, cạnh đáy của nó dài 230 m.
a) Tính theo mét chiều cao \[h\] của kim tự tháp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức \[V = \frac{1}{3}S.h\], trong đó \[S\] là diện tích mặt đáy, \[h\] là chiều cao của hình chóp. Tính theo m3 thể tích của kim tự tháp này (làm tròn đến hàng nghìn).
a) Ta có \[BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{{230}^2} + {{230}^2}} = 230\sqrt 2 \] (m) (định lí Pytago trong tam giác vuông \[BCD\]).
Suy ra \[OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{230\sqrt 2 }}{2} = \frac{{230}}{{\sqrt 2 }}\] (m).
Khi đó \[S{O^2} = S{D^2} - O{D^2} = {214^2} - \frac{{{{230}^2}}}{2} = 19346\] (định lí Pytago trong tam giác vuông \[SOD\])
\[ \Rightarrow SO = \sqrt {19346} \approx 139,1\] (m).
Vậy \[h = SO \approx 139,1\] (m).
b) Tacó \[V = \frac{1}{3}S.h \approx \frac{1}{3}{.230^2}.139,1 \approx 2452796,667 \approx 2\,\,453\,\,000\] (m3).
Siêu thị A thực hiện chương trình giảm giá cho khách hàng mua loại túi bột giặt 4 kg như sau: Nếu mua 1 túi thì được giảm 10 000 đồng so với giá niêm yết. Nếu mua 2 túi thì túi thứ hai được giảm 20 000 đồng so với giá niêm yết. Nếu mua từ 3 túi trở lên thì ngoài 2 túi đầu dược hưởng chương trình giảm giá như trên, từ túi thứ ba trở đi mỗi túi sẽ được giảm 20% so với giá niêm yết.
a) Bà Tư mua 5 túi bột giặt loại 4 kg ở siêu thị A thì phải trả số tiền là bao nhiêu, biết rằng loại túi bột giặt mà bà Tư mua có giá niêm yết là 150 000 đồng/túi.
b) Siêu thị B lại có hình thức giảm giá khác cho loại túi bột giặt nêu trên là: nếu mua từ 3 túi trở lên thì sẽ giảm giá 15% cho mỗi túi. Nếu bà Tư mua 5 túi bột giặt thì bà Tư nên mua ở siêu thị nào để số tiền phải trả là ít hơn? Biết rằng giá niêm yết của hai siêu thị là như nhau.
a) Giá của túi thứ nhất là: 150 000 – 10 000 = 140 000 (đồng).
Giá của túi thứ hai là: 150 000 – 20 000 = 130 000 (đồng).
Giá của 3 túi tiếp theo, mỗi túi có giá là: 150 000 . (100% – 20%) = 120 000 (đồng).
Giá của cả 3 túi sau là: 120 000 . 3 = 360 000 (đồng).
Vậy 5 túi bột giặt loại 4kg bà Tư mua ở siêu thị A có giá tổng cộng là:
140 000 + 130 000 + 360 000 = 630 000 (đồng).
b)
Giá của 5 túi bột giặt cùng loại ở siêu thị B là:
150 000 . (100% – 15%) . 5 = 127 500 . 5 = 637 500 (đồng).
Vì 637 500 đồng > 630 000 đồng.
Vậy, bà Tư nên mua 5 túi ở siêu thị A để có số tiền phải trả ít hơn.
Nhiệt độ sôi của nước không phải lúc nào cũng là 100 °C mà phụ thuộc vào độ cao của nơi đó so với mực nước biển. Chẳng hạn Thành phố Hồ Chí Minh có độ cao xem như ngang mực nước biển (\[x = 0\] m) thì nước có nhiệt độ sôi là \[y = 100\] °C nhưng ở thủ đô La Paz của Bolivia, Nam Mỹ có độ cao \[x = 3\,600\] m so với mực nước biển thì nhiệt độ sôi của nước là \[y = 87\] °C. Ở độ cao trong khoảng vài km, người ta thấy mối liên hệ giữa hai đại lương này là một hàm số bậc nhất \[y = ax + b\] có đồ thị như sau:
 |
|
a) Xác định các hệ số \[a\] và \[b\].
b) Thành phố Đà Lạt có độ cao 1500 m so với mực nước biển. Hỏi nhiệt độ sôi của nước ở thành phố này là bao nhiêu?
a) Từ đề bài ta có: \[100 = 0a + b \Rightarrow b = 100\]
\[87 = 3600a + b \Rightarrow a = \frac{{87 - b}}{{3600}} = \frac{{87 - 100}}{{3600}} = - \frac{{13}}{{3600}}\].
Vậy \[a = - \frac{{13}}{{3600}},\,\,b = 100\].
b) Ta có hàm số: \[y = - \frac{{13}}{{3600}}x + 100\].
Nhiệt độ sôi của Đà Lạt là: \[y = - \frac{{13}}{{3600}}.1500 + 100 \approx 94,583^\circ {\rm{C}}\].
Năm học 2017 – 2018, Trường THCS Tiến Thành có ba lớp 9 gồm 9A, 9B, 9C trong đó lớp 9A có 35 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh. Tổng kết cuối năm học, lớp 9A có 15 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, lớp 9B có 12 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, lớp 9C có 20% học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi và toàn khối 9 có 30% học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi. Hỏi lớp 9C có bao nhiêu học sinh?
Gọi \[x\] là số học sinh lớp 9C (\[x \in \mathbb{N}\]).
Ta có:
Tổng số học sinh của 3 lớp là: \[x + 35 + 40 = x + 75\] (học sinh).
Tổng số học sinh giỏi của 3 lớp là: \[15 + 12 + x.20\% = 27 + \frac{1}{5}x\] (học sinh).
Vì toàn khối 9 có 30% học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi nên ta có phương trình:
\[27 + \frac{1}{5}x = \left( {x + 75} \right).30\% \]
\[ \Leftrightarrow 27 + \frac{1}{5}x = \left( {x + 75} \right).\frac{3}{{10}}\]
\[ \Leftrightarrow 270 + 2x = 3x + 225\]
\[ \Rightarrow x = 270 - 225 = 45\].
Vậy lớp 9C có 45 học sinh.
Cho tam giác nhọn \[ABC\] có \[BC = 8\] cm. Đường tròn tâm \[O\] đường kính \[BC\] cắt \[AB,\,\,AC\]lần lượt tại \[E\] và \[D\]. Hai đường thẳng \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại \[H\].
a) Chứng minh: \[AH\] vuông góc với \[BC\].
b) Gọi \[K\] là trung điểm của \[AH\]. Chứng minh tứ giác \[OEKD\] nội tiếp.
c) Cho góc \[\widehat {BAC} = 60^\circ \]. Tính độ dài đoạn \[DE\] và tỉ số diện tích của hai tam giác \[AED\] và \[ABC\].
a) Ta có: \[\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra \[CE \bot AB,\,\,BD \bot AC\].
Khi đó, tam giác \[ABC\] có 2 đường cao \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại \[H\] nên \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\]. Nên \[AH\] là một đường cao của tam giác \[ABC\].
Suy ra \[AH\] vuông góc \[BC\].
b) Ta có: \[\widehat {AEH} + \widehat {ADH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \].
Suy ra tứ giác \[ADHE\] là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\].
Vì \[K\] là trung điểm của \[AH\] nên \[K\] là tâm của đường tròn đường kính \[AH\].
\[ \Rightarrow \widehat {EKD} = 2\widehat {EAD}\] (tính chất góc ở tâm)
Lại có: \[\widehat {EOD} = 2\widehat {EBD}\] (tính chất góc ở tâm)
Suy ra \[\widehat {EKD} + \widehat {EOD} = 2\left( {\widehat {EAD} + \widehat {EBD}} \right) = 2.90^\circ = 180^\circ \] (do tam giác \[ABD\] vuông tại \[D\])
Mà \[\widehat {EKD}\] và \[\widehat {EOD}\] là hai góc đối diện trong tứ giác \[OEKD\].
Vậy tứ giác \[OEKD\] nội tiếp.
c) +) Tam giác \[ABD\] vuông tại \[D\] và có \[\widehat {BAD} = \widehat {BAC} = 60^\circ \].
Suy ra \[\widehat {ABD} = 90^\circ - \widehat {BAD} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \].
Suy ra \[\widehat {EOD} = 2\widehat {EBD} = 2\widehat {ABD} = 2.30^\circ = 60^\circ \].
Lại có tam giác \[OED\] có \[OE = OD\] (cùng bằng bán kính) và \[\widehat {EOD} = 60^\circ \] nên \[OED\] là tam giác đều.
Suy ra \[DE = OE = \frac{{BC}}{2} = \frac{8}{2} = 4\] (cm).
+) Tứ giác \[BEDC\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\].
\[ \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {EDC} = 180^\circ \]
Mà \[\widehat {EDC} + \widehat {ADE} = 180^\circ \] (kề bù)
Nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ADE}\].
Xét \[\Delta ADE\] và \[\Delta ABC\] có
\[\widehat A:{\rm{chung}}\]
\[\widehat {ABC} = \widehat {ADE}\]
Do đó, (g – g).
Suy ra \[\frac{{{S_{ADE}}}}{{S{ & _{ABC}}}} = {\left( {\frac{{DE}}{{BC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{4}{8}} \right)^2} = \frac{1}{4}\].
