Đề thi môn Toán vào lớp 10 năm 2020 - 2021 có đáp án (Tự luận - Đề 10)
5 câu hỏi
1. Với giá trị nào của x thì biểu thức sau xác định x+2x
2. Rút gọn biểu thức sau:
A = (1x-1 + xx-1).x-x2x+1 với x≥0; x≠1
1. Biểu thức xác định khi: x+2≥0x≠0⇔x≥-2x≠0
Vậy với x ≥ –2; x ≠ 0 thì biểu thức trên xác định
2. A = 
với x≥0; x≠1
Cho hệ phương trình sau: mx+y=52mx+3y=6
a, Giải hệ phương trình trên khi m = 2
b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m
a, Khi m = 2, ta có hệ phương trình:
2x+y=54x+3y=6⇔4x+2y=104x+3y=6
⇔y=-44x+3y=6⇔y=-4x=9/2
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (9/2;–4)
b, mx+y=52mx+3y=6⇔y=5-mx2mx+35-mx=6
⇔y=5-mxmx=9⇔y=-4mx=9
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m ≠ 0
Khi đó, hệ phương trình có nghiệm:
y=-4x=9/m
Theo bài ra: (2m – 1)x + (m + 1)y = m
⇔ (2m – 1). 9/m + (m+1)( –4) = m
⇔ 18 – 9/m – 4m – 4 = m
=>18m – 9 – 4m2 – 4m – m2 = 0
⇔ –5m2 + 14m – 9 = 0
Đối chiếu với điều kiện thỏa mãn m ≠0
Vậy m = 1 hoặc m = 9/5 thỏa mãn ĐK
Cho phương trình bậc hai: x2-mx+m-1=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
R = 2x1x2+3x12+x22+21+x1x2
Tìm giá trị lớn nhất đó
x2-mx+m-1=0
Δ = m2-4m-1=m2-4m+4=m-22≥0∀m
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m
Theo định lí Vi-et, ta có:
Ta có: m-12≥0∀m
=> 1 – m-12m2+2 ≥ 1 hay R ≥ 1
Dấu bằng xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1
Vậy GTLN của R là 1 đạt được khi m = 1
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120km trong một thời gian quy định . Sau khi đi được một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.
Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h) (x > 0)
Thời gian dự định đi của ô tô là 120x (h)
Quãng đường còn lại sau khi ô tô đi được 1 giờ là: 120 – x (km)
tô đi trên quãng đường còn lại với vận tốc là x + 6 (km/h)
Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là 120-xx+6 (h)
Theo bài ra ta có phương trình:
120x = 1 + 16 + 120-xx+6
Do x > 0 nên x = 48
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 48 km/h
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H
1. Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh: AB.AF = AC.AE
3. BE và CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N. Chứng minh EF // MN
4. Giả sử B và C cố định; A thay đổi. Tìm vị trị của A sao cho tam giác AEH có diện tích lớn nhất
1. Xét tứ giác BFEC có:
∠BFC = 900 (CF là đường cao)
∠BEC = 900 (BE là đường cao)
=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau
=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.
2. Xét ΔABE và ΔACF có:
∠BAC là góc chung
∠AEB = ∠AFC = 900
=> ΔABE ∼ ΔACF (g.g)
=> ABAC = AEAF
=> AB.AF = AC.AE
3. Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp
=> ∠EFC = ∠EBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
Xét (O) có: ∠CNM = ∠EBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
=> ∠EFC = ∠CNM
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> EF // MN
4. Kẻ đường kính AA', Nối A'H cắt BC tại K
Ta có: ∠ABA' = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> AB ⊥ BA'
HC ⊥ AB (HC là đường cao)
=> BA' // HC
Tương tự: ∠ ACA' = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> AC ⊥ CA'
HB⊥AC (BH là đường cao)
=> CA' // HB
Xét tứ giác BA'CH có:
BA'//HCCA'//HB => Tứ giác BA' CH là hình bình hành
2 đường chéo BC và A'H giao nhau tại K
=> K là trung điểm của A'H và BC
Do B, C,O cố định nên OK cố định
Xét tam giác AHA' có:
O là trung điểm của AA'
K là trung điểm của A'H
=> OK là đường trung bình của tam giác AHA'
=> OK = 1/2AH => AH = 2OK
Ta có:
4SAHE = 2AE.EH => AE2 + EH2 = AH2 = 4OK2
=> SAHE => OK2
Dấu bằng xảy ra khi AE = EH
=> ΔAHE cân tại E => ∠HAE = 450 => ∠CAB = 450
Vậy điểm A nằm trên đường tròn sao cho ∠CAB = 450
