Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 06
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^7}\) là
\(\frac{{{x^8}}}{8} + C\).
\(7{x^6} + C\).
\({x^8} + C\).
\(8{x^8} + C\).
Đáp án đúng là: A
Vì \({\left( {\frac{{{x^8}}}{8} + C} \right)^\prime } = {x^7}\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {3^x} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {3^x}\ln 3 + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{3^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\).
Đáp án đúng là: C
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\).
\(2\).
\( - 2\).
\(8\).
\(5\).
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = 5 - 3 = 2\).
\(3 \le f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right) \le 12\).
\( - 12 \le f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right) \le 3\).
\(1 \le f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right) \le 4\).
\( - 4 \le f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right) \le - 1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(1 \le f'\left( x \right) \le 4\) suy ra \(\int\limits_2^5 {1dx} \le \int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx} \le \int\limits_2^5 {4dx} \)\( \Rightarrow 3 \le f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right) \le 12\).
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình sau. Diện tích hình phẳng (phân tô đậm trong hình) được tính bởi công thức
\(\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_4^0 {f\left( x \right)dx} \).
\(\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_4^0 {f\left( x \right)dx} \).
\(\int\limits_0^{ - 3} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} \).
\(\int\limits_{ - 3}^4 {f\left( x \right)dx} \).
Đáp án đúng là: A
\(S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = } \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_4^0 {f\left( x \right)dx} \).
\(\frac{{512\pi }}{{15}}\).
\(\frac{{256\pi }}{{15}}\).
\(\frac{{32\pi }}{3}\).
\(\frac{{16\pi }}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình hoành độ giao điểm \(4x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\).
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {4x - {x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{{512\pi }}{{15}}\).
\(N\left( {0;1; - 2} \right)\).
\(M\left( {2; - 1;1} \right)\).
\(P\left( {1; - 2;0} \right)\).
\(Q\left( {1; - 3; - 4} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta thấy \(2.1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) - 1 = 0\) nên \(Q\left( {1; - 3; - 4} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 2;1;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1;3} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + 3z + 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
\(3\).
\(7\).
\(4\).
\(1\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - \left( { - 2} \right) - 2.3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{3}{3} = 1\).
\(z = 0\).
\(x = 0\).
\(y = 0\).
\(x + y = 0\).
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là \(z = 0\).
\(x - 2y + 3z + 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z - 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z - 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z + 6 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình cần tìm là \(\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\) hay \(x - 2y + 3z + 12 = 0\).
\(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 3}} = - 1\).
\(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\).
\(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\).
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\).
Đáp án đúng là: C
\(A\left( { - 1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)\) lần lượt là hình chiếu của \(M\left( { - 1;2; - 3} \right)\) trên các trục \(Ox,Oy,Oz\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = 3{e^{2x}} - \ln 2\) và \(g\left( x \right) = 6{e^{2x}}\).
\(g\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
\(\int {g\left( x \right)} dx = 3{e^{2x}} + C\).
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \frac{9}{2}{e^{2x}} - \ln \left( {2x} \right) + C\).
\(\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} dx = \frac{x}{2} - \frac{{\ln 2}}{{12{e^{2x}}}} + C\).
a) S, b) Đ, c) S, d) S
a) Ta có \(g'\left( x \right) = 12{e^{2x}}\). Do đó \(g\left( x \right)\) không là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
b) \(\int {g\left( x \right)} dx = \int {6{e^{2x}}} dx = \int {3{e^{2x}}} d\left( {2x} \right) = 3{e^{2x}} + C\).
c) \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {\left[ {3{e^{2x}} - \ln 2 + 6{e^{2x}}} \right]dx} = \int {\left( {9{e^{2x}} - \ln 2} \right)dx} \)\( = \frac{9}{2}{e^{2x}} - x\ln 2 + C\).
d) \(\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = \int {\frac{{3{e^{2x}} - \ln 2}}{{6{e^{2x}}}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{2} - \frac{{\ln 2}}{{6{e^{2x}}}}} \right)dx} \)\( = \frac{1}{2}x + \frac{{\ln 2}}{{12{e^{2x}}}} + C\).
\(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^2\).
\(\int\limits_1^2 {3f\left( x \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{4} + 2x\sqrt x + 3} \right)} \right|_1^2\).
\(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + x} \right]dx} = \frac{{209}}{{12}}\).
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1,x = 3\) lớn hơn 5.
a) S, b) S, c) Đ, d) S
a) \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^2\).
b) \(\int\limits_1^2 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right)dx} = \left. {3\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^2 = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{4} + 2{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^2\).
c) \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + x} \right]dx} = \int\limits_1^4 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x + x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^4 = \frac{{209}}{{12}}\).
d) \(S = \int\limits_1^3 {\left| {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^3 = \frac{3}{2} + 2\sqrt 3 < 5\).
Cho \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích các hình phẳng \(\left( {{H_1}} \right),\left( {{H_2}} \right)\) được mô tả trong hình sau:
\({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|} dx\).
\({S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4x} \right|dx} - {S_1}\).
\({S_2} = \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} + \frac{9}{2}\).
Thể tích khối tròn xoay khi quay \(\left( {{H_2}} \right)\) quanh trục \(Ox\) nhỏ hơn 30.
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} dx\)\( = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|} dx\).
b) \({S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4x} \right|dx} - {S_1}\).
c) \({S_2} = \int\limits_3^4 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} + {S_{\Delta OAB}} = \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} + \frac{1}{2}.3.3 = \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} + \frac{9}{2}\).
(với \(A\left( {3;0} \right),B\left( {3;3} \right)\)).
d) \(V = \pi \int\limits_0^3 {{x^2}dx} + \pi \int\limits_3^4 {{{\left( { - {x^2} + 4x} \right)}^2}dx} = 9\pi + \frac{{53\pi }}{{15}} = \frac{{188\pi }}{{15}} > 30\).
Mặt phẳng \(x + 2y + 2z = 1\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;2;2} \right)\).
Điểm \(A\left( { - 1;4;2} \right)\)không thuộc mặt phẳng \(x + 2y + 2z = 1\).
Điểm \(A\left( { - 1;4;2} \right)\) cách mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) một khoảng bằng 1.
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\) chứa trục \(Oy\) có dạng \(x + by + cz = 0\). Khi đó \(b - 2{c^2} + 1 > 0\).
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Mặt phẳng \(x + 2y + 2z = 1\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;2;2} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( { - 1;4;2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(x + 2y + 2z = 1\) ta được
\( - 1 + 2.4 + 2.2 - 1 = 10 \ne 0\). Do đó điểm \(A\left( { - 1;4;2} \right)\)không thuộc mặt phẳng \(x + 2y + 2z = 1\).
c) Mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có phương trình \(x = 0\).
Suy ra \(d\left( {A,\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{1} = 1\).
d) Có \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;4;2} \right)\) và \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 2;0; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \( - 2\left( {x + 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0\) hay \(2x + z = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{1}{2}z = 0\).
Suy ra \(b = 0;c = \frac{1}{2}\). Do đó \(b - 2{c^2} + 1 = 0 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{1}{2} > 0\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Cho \(F\left( x \right)\) là họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}},F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị \(F\left( \pi \right)\) bằng bao nhiêu
__
Trả lời: 3
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = - \cos x - \sin x + 2\tan x + C} \).
Mà \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 2\). Do đó \(F\left( x \right) = - \cos x - \sin x + 2\tan x + 2\).
Suy ra \(F\left( \pi \right) = - \cos \pi - \sin \pi + 2\tan \pi + 2 = 3\).
Biết hàm số \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 3} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{20{x^2} - 30x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\). Tính \(P = abc\).
___
Trả lời: −8
Có \(F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right)\sqrt {2x - 3} + \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}\)\( = \frac{{\left( {2ax + b} \right)\left( {2x - 3} \right) + a{x^2} + bx + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}\)
\( = \frac{{5a{x^2} + \left( {3b - 6a} \right)x - 3b + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}\).
Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}5a = 20\\3b - 6a = - 30\\ - 3b + c = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right.\). Do đó \(P = abc = 4.\left( { - 2} \right).1 = - 8\).
Giả sử một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là \(196{\rm{m/s}}\) và gia tốc trọng trường là \(9,8{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\)(bỏ qua sức cản của không khí). Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là bao nhiêu kilômét?
_____
Trả lời: 3,92
Vận tốc của viên đạn là \(v\left( t \right) = \int { - 9,8dt} = - 9,8t + C\).
Vì \(v\left( 0 \right) = 196\) nên \(C = 196\). Do đó \(v\left( t \right) = - 9,8t + 196\).
Khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất thì viên đạn có vận tốc bằng 0.
Suy ra \( - 9,8t + 196 = 0 \Leftrightarrow t = 20\).
Quãng đường viên đạn đi từ mặt đất đến vị trí cao nhất là
\(s\left( t \right) = \int\limits_0^{20} {\left( { - 9,8t + 196} \right)dt} = 1960\)(m)
Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là
\(2.1960 = 3920\) m \( = 3,92\) km.
Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí hình \(MNEIF\) ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều cao \(BC = 6{\rm{m}}\), chiều dài \(CD = 12{\rm{m}}\) (hình vẽ bên). Cho biết \(MNEF\) là hình chữ nhật có \(MN = 4{\rm{m}}\), cung \(EIF\) có hình dạng là một phần của parabol có đỉnh \(I\) là trung điểm của cạnh \(AB\) và đi qua 2 điểm \(C,D\). Đơn giá làm bức tranh là 900000 đồng/m2. Hỏi công ty đó cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó (đơn vị: triệu đồng)?
_____
Trả lời: 20,8
Chọn hệ trục tọa độ với \(O\) là trung điểm của \(MN\), trục hoành trùng với đường thẳng \(MN\).
Giả sử \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a < 0} \right)\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(I\left( {0;6} \right),C\left( {6;0} \right),D\left( { - 6;0} \right)\).
Do đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}36a + 6b + c = 0\\36a - 6b + c = 0\\c = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{6}\\b = 0\\c = 6\end{array} \right.\).
Do đó \(\left( P \right):y = - \frac{1}{6}{x^2} + 6\).
Diện tích cần làm là \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - \frac{1}{6}{x^2} + 6} \right|dx} = \frac{{208}}{9}\).
Số tiền cần dùng là:\(\frac{{208}}{9}.900000 = 20800000\) đồng = 20,8 triệu đồng.
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 2y + 2z + 7 = 0\) và \(\left( \beta \right):5x - 4y + 3z + 1 = 0\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ đồng thời vuông góc \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có dạng \(ax + y + cz = 0\). Tính \(ac\).
___
Trả lời: −4
Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {5; - 4;3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ nên \(\left( P \right):2x + y - 2z = 0\).
Do đó \(a = 2;c = - 2\). Vậy \(ac = - 4\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right),D\left( {1; - 1;1} \right),C'\left( {4;5; - 5} \right)\). Chiều cao của hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(\frac{{a\sqrt b }}{2}\). Giá trị của \(a.b\) bằng bao nhiêu?
___
Trả lời: 18
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {0; - 1;0} \right),\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {1;0; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) đi qua \(A\left( {1;0;1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;0; - 1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có dạng
\(\left( {x - 1} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(x - z = 0\).
Chiều cao của hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) chính là \(d\left( {C',\left( {ABD} \right)} \right)\).
Ta có \(d\left( {C',\left( {ABD} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 - \left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{9\sqrt 2 }}{2}\). Suy ra \(a = 9;b = 2\).
Vậy \(ab = 18\).
