Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 10

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {2x + 5} \right)} \,{\rm{d}}x = {x^2} + 5x + C.\)

Đáp án đúng là: D

Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

Ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) hay \({\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f\left( x \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \[\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx - } \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = - 2 - 3 = - 5.\]

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = 6\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).

Đáp án đúng là: B

\[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \int {\frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = 2\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 1}}} - 3\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} = 2\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{3}{{x + 1}} + C\].

Vì \(x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)nên \(\int {f\left( x \right)dx = } 2\ln \left( {x + 1} \right) + \frac{3}{{x + 1}} + C\).

Đáp án đúng là: C

Phương trình của mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] là \(z = 0\).

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x + 2y - 4z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3\,;\,2\,;\, - 4} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua \(O\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;\, - 2;\,5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x - 2y + 5z = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1; - 3; - 3} \right);\,\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3; - 1;1} \right)\]

Suy ra \[(P)\] có một véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 6; - 8;10} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;1; - 2} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 12;6;0} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow n = k.\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = k.\left( {12;24;24} \right)\,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) với \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\vec n = \left( {1;2;2} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;2; - 8} \right) = 2\left( {1;1; - 4} \right)\).

Do đó mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(MN\) nhận \[\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;1; - 4} \right)\] làm vectơ pháp tuyến.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

\(f'\left( x \right) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}\).

a) \(f\left( x \right) = \int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx = \frac{2}{3}} {x^3} - \frac{3}{x} + C\).

b) Vì \(f\left( 1 \right) = 2\) nên \(\frac{2}{3}{.1^3} - \frac{3}{1} + C = 2 \Leftrightarrow C = \frac{{13}}{3}\).

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + \frac{{13}}{3}\).

c) \(f\left( 2 \right) = \frac{{{{2.2}^3}}}{3} - \frac{3}{2} + \frac{{13}}{3} = \frac{{49}}{6}\).

d) Ta có \(S = \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_1^2 {\left| {\frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + \frac{{13}}{3}} \right|} dx \approx 4,75 \ne f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right)\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Có \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {2,01t - 0,025{t^2}} \right)dt} = 1,005{t^2} - \frac{{{t^3}}}{{120}} + C\).

Vì \(s\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\). Do đó \(s\left( t \right) = 1,005{t^2} - \frac{{{t^3}}}{{120}}\).

b) Quãng đường xe di chuyển trong 3 giây là:

\(s = \int\limits_0^3 {\left( {2,01t - 0,025{t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {1,005{t^2} - \frac{{{t^3}}}{{120}}} \right)} \right|_0^3 = 8,82\).

c) Quãng đường xe di chuyển trong giây thứ 9 là:

\(s = \int\limits_8^9 {\left( {2,01t - 0,025{t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {1,005{t^2} - \frac{{{t^3}}}{{120}}} \right)} \right|_8^9 \approx 15,277\).

d) Ta có \(v\left( t \right) = 2,01t - 0,025{t^2}\left( {0 \le t \le 10} \right)\)\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = 17,6\;{\rm{m/s}}\) khi \(t = 10{\rm{s}}\).

Gia tốc vật khi đó là \(a\left( {10} \right) = v'\left( {10} \right) = 2,01 - 0,05.10 = 1,51\)(m/s²).

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) \(S = \int\limits_{ - 10}^{10} {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} \).

b) \(S = \int\limits_{ - 10}^{10} {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 10}^0 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} + \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} + \int\limits_2^{10} {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} \)

\( = \int\limits_{ - 10}^0 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} + \int\limits_2^{10} {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \).

c) \(S = \int\limits_{ - 10}^0 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} + \int\limits_2^{10} {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \)\( = \frac{{1300}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{{704}}{3} = \frac{{2008}}{3}\).

d) \(V = \pi \int\limits_{ - 10}^{10} {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} = \frac{{128000\pi }}{3}\).

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;0} \right)\).

b) Thay tọa độ \(O\) vào phương trình mặt phẳng ta thấy không thỏa mãn.

c) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;2; - 8} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;2; - 8} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3x + 2\left( {y - 1} \right) - 8\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 2y - 8z + 8 = 0\).

d) Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {5; - 4;3} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;2} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình \(2x + \left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 2z + 3 = 0\).

Thay tọa độ điểm \(T\left( {3;3;6} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) ta được

\(2.3 + 3 - 2.6 + 3 = 0\).

Vậy mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) đi qua điểm \(T\left( {3;3;6} \right)\).

Trả lời: 4

Ta có: \[\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)} dx = - 2\cot x + x + C = f(x)\].

\[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 4 - \frac{\pi }{2} \Rightarrow f\left( x \right) = - 2\cot x + x + 4 - \frac{\pi }{2}\].

Suy ra \(a = 2;b = 4;c = - 2 \Rightarrow a + b + c = 4\).

Trả lời: 2,35

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {4x} \right) - f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x,\,\forall x \in \mathbb{R}\\f\left( 0 \right) = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}64a - a = 4\\16b - b = 0\\4c - c = 2\\d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{{63}}\\b = 0\\c = \frac{2}{3}\\d = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{4}{{63}}{x^3} + \frac{2}{3}x + 2\)

Vậy \[I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{4}{{63}}{x^3} + \frac{2}{3}x + 2} \right)dx} = \frac{{148}}{{63}} \approx 2,35\].

Trả lời: 20

Ô tô dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = - 5t + a = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{5}\).

Vì \(\int\limits_0^{\frac{a}{5}} {v\left( t \right)dt} = 40\) nên \(\int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left( { - 5t + a} \right)dt} = 40\)\( \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{{ - 5}}{2}{t^2} + at} \right)} \right|_0^{\frac{a}{5}} = 40\)

\( \Leftrightarrow - \frac{{{a^2}}}{{10}} + \frac{{{a^2}}}{5} = 40\)\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{10}} = 40\)\( \Leftrightarrow a = 20\).

Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 20 m/s.

Trả lời: 16

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó \(\left( P \right)\) có phương trình dạng: \(y = a{x^2} + b\).

Khi đó: \(\left( {\frac{5}{2};0} \right)\,;\,\left( {0;5} \right) \in \left( P \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + b\\5 = b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 4}}{5}\\b = 5\end{array} \right.\) hay \(\left( P \right):y = - \frac{4}{5}{x^2} + 5\).

Khi đó diện tích phần cổng \(\left( P \right)\) là: \({S_1} = \int\limits_{ - \frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}} {\left( { - \frac{4}{5}{x^2} + 5} \right)dx} = \frac{{50}}{3}\).

Suy ra diện tích phần cần trang trí là: \({S_2} = 5.6 - \frac{{50}}{3} = \frac{{40}}{3}\).

Vậy số tiền cần dùng để trang trí là: \(T = 1\,200\,000.\,\,\frac{{40}}{3} = 16\,000\,000\)(đồng) = 16 triệu đồng.

Trả lời: −19

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)//\left( {ABC} \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(6x + 3y + 2z + d = 0\left( {d \ne - 12} \right)\).

Vì \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( P \right)} \right) = d\left( {D,\left( P \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow d\left( {A,\left( P \right)} \right) = d\left( {D,\left( P \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {6.2 + d} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {6.2 + 3.4 + 2.6 + d} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {d + 12} \right| = \left| {d + 36} \right|\)\( \Leftrightarrow d = - 24\).

Vậy \(\left( P \right):6x + 3y + 2z - 24 = 0\). Suy ra \(b = 3;c = 2;d = - 24\). Do đó \(b + c + d = - 19\).

Trả lời: 3

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1{\rm{ }}\left( {acb \ne 0} \right)\).

Vì \[D\left( {1;2; - 1} \right)\]thuộc mặt phẳng nên ta có: \[\frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{1}{c} = 1\].

Ta có \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}\)

Ta có \({\left( {\frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{1}{c}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{a}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\frac{1}{b}{\rm{ + }}\left( { - 1} \right){\rm{.}}\frac{1}{c}} \right)^2} \le 6\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right){\rm{ }}\)

\( \Rightarrow 1 \le \sqrt 6 .\sqrt {\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right){\rm{ }}} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}{\rm{ }}} }} \le \sqrt 6 \).

Suy ra \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) \le \sqrt 6 \)

\({d_{\max }} = \sqrt 6 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b = - c\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{1}{c} = 1{\rm{ }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 3\\c = - 6\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 3\).