Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 04

Đáp án đúng là: A

Vì \({F_1}^\prime \left( x \right) = {\left( {{x^3} + {x^2} - 4} \right)^\prime } = 3{x^2} + 2x\) nên \({F_1}\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 4\) nào là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án đúng là: D

\[\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{e^x}}}} dx = - \int\limits_1^2 {{e^{ - x}}} d\left( { - x} \right) = \int\limits_2^1 {{e^{ - x}}} d\left( { - x} \right) = \left. {{e^{ - x}}} \right|_2^1 = \left. {\frac{1}{{{e^x}}}} \right|_2^1\].

Đáp án đúng là: B

\(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} } - \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} \)\( = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}\).

Đáp án đúng là: B

\({S_D} = \int\limits_{ - 2}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } \right| = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).

Đáp án đúng là: B

\(I = \int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}dx} = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{2x + 1}}d\left( {2x + 1} \right)} = \left. {\ln \left| {2x + 1} \right|} \right|_0^2 = \ln 5\).

Đáp án đúng là: B

Thể tích của vật thể \(\left( T \right)\) là \(V = \int\limits_{ - 2}^2 {{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{32}}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z - 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2;3} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta thấy không thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;3; - 1} \right)\) là

\(2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y - z + 2 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)\).

Đáp án đúng là: C

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2.2 + 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{5}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Vì \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right):3x - 2y + 4z + D = 0\).

Vì \(A \in \left( Q \right)\) nên \(3.2 - 2.\left( { - 1} \right) + 4.\left( { - 3} \right) + D = 0 \Leftrightarrow D = 4\).

Vậy \(\left( Q \right):3x - 2y + 4z + 4 = 0\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(f\left( 2 \right) = 2.2 + {e^2} = 4 + {e^2}\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} = {x^2} + {e^x} + C\).

c) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + {e^x} + C\) mà \(F\left( 0 \right) = 2025\) nên \(1 + C = 2025 \Leftrightarrow C = 2024\).

Vậy \(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2024\).

d) \(f'\left( x \right) = 2 + {e^x}\)

Ta có \(\int {xf'\left( {{x^2}} \right)dx} = \int {x\left( {2 + {e^{{x^2}}}} \right)dx = \int {2xdx} + \int {x{e^{{x^2}}}dx} = {x^2} + \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C} \).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Hiệu số \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\) gọi là tích phân từ 0 đến 3 của hàm số \(f\left( x \right)\).

\(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\).

b) \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = - \int\limits_3^0 {f\left( x \right)} dx = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)\).

c) \(\int\limits_0^3 {f\left( t \right)} dt = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1\).

d) Có \(S = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1\).

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành là \(x = 0\) và \(x = 2\).

b) Giả sử \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx\) (vì \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ nên \(c = 0\)).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( {1;1} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b = 0\\a + b = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\end{array} \right.\).

Do đó \(\left( P \right):y = - {x^2} + 2x\).

c) \(S = \int\limits_0^2 {\left| { - {x^2} + 2x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)dx} \)\( = \frac{4}{3}\).

d) \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( { - {x^2} + 2x} \right)}^2}dx} \)\( = \frac{{16\pi }}{{15}}\).

Trả lời: 1,75

Có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\sin 2xdx} = - \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).

Mà \(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).

Do đó \(f\left( x \right) = - \frac{{\cos 2x}}{2}\).

Lại có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = - \int {\frac{{\cos 2x}}{2}dx = - \frac{1}{4}\sin 2x + {C_1}} \).

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\) nên \( - \frac{1}{4}\sin \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) + {C_1} = 2 \Rightarrow {C_1} = 2\).

Vậy \(F\left( x \right) = - \frac{1}{4}\sin 2x + 2\). Do đó \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {2.\frac{\pi }{4}} \right) + 2 = \frac{{ - 1}}{4} + 2 = \frac{7}{4} = 1,75\).

Trả lời: −11

Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = } } \)\(\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + b} \right)dx + \int\limits_1^2 {\left( {2x + a} \right)dx} } \)

\( = \left. {\left( {{x^3} + bx} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} + ax} \right)} \right|_1^2\)\( = 1 + b + 4 + 2a - 1 - a\)\( = a + b + 4\).

Mà \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 13} \) nên \(a + b = 9\).

Vì \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 2 + a = 3 + b \Leftrightarrow a - b = 1\).

Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 9\\a - b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.\).

Vậy \(a + b - ab = 5 + 4 - 5.4 = - 11\).

Trả lời: 264

Ta có \(N\left( t \right) = \int {\frac{4}{{1 + 0,5t}}} dt = 8\ln \left( {1 + 0,5t} \right) + C\).

Mà \[N\left( 0 \right) = 250 \Rightarrow C = 250\].

Do đó \(N\left( t \right) = 8\ln \left( {1 + 0,5t} \right) + 250\).

Sau 10 ngày số lượng vi trùng là \(N\left( {10} \right) = 8\ln \left( {1 + 0,5.10} \right) + 250 \approx 264\).

Trả lời: 310

Dựa vào đồ thị ta có \(v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}1,25t\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 \le t \le 8\\10\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;8 < t \le 30\\ - t + 40\;\;{\rm{khi}}\;30 < t \le 40\end{array} \right.\).

Có \(\int\limits_0^{40} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^8 {1,25tdt} + \int\limits_8^{30} {10dt} + \int\limits_{30}^{40} {\left( { - t + 40} \right)dt} \)\( = 40 + 220 + 50 = 310\) (m).

Trả lời: 0

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0;1; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\).

Khi đó mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có dạng: \(2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) + z = 0\) hay \(2x + y + z - 3 = 0\).

Suy ra \(a = 2;b = 1;c = - 3\). Do đó \(a + b + c = 0\).

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\]như hình vẽ.

Ta có \[O\left( {0;0;0} \right)\], \[A \in Oz,\;B \in Ox,\;C \in Oy\]sao cho \[AO = 5,\;OB = 2,\;OC = 4\]

\[ \Rightarrow A\left( {0;0;5} \right),\;B\left( {2;0;0} \right),\;C\left( {0;4;0} \right)\].

Khi đó: \[G\] là trọng tâm tam giác\[ABC\] nên \[G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\]

\[M\]là trung điểm \[OB\]nên \[M\left( {1;0;0} \right)\]

\[N\]là trung điểm \[OC\]nên \[N\left( {0;2;0} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\]là: \[\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{5} = 1\] hay \[10x + 5y + 2z - 10 = 0\]

Vậy khoảng cách từ \[G\] đến mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\]là:

\[d\left( {G,\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{20}}{3} + \frac{{20}}{3} + \frac{{10}}{3} - 10} \right|}}{{\sqrt {100 + 25 + 4} }} = \frac{{20}}{{3\sqrt {129} }} \approx 0,59\].