Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 03
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
\(\int {{x^2}dx} \) bằng
\(2x + C\).
\(\frac{1}{3}{x^3} + C\).
\({x^3} + C\).
\(3{x^3} + C\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int {{x^2}dx} = \frac{1}{3}{x^3} + C\).
\[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \].
\[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \].
\[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } - \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \].
\[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \].
Đáp án đúng là: B
\[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \].
\(6\).
\(15\).
\(10\).
\(5\).
Đáp án đúng là: B
Có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = 5\). Suy ra \(\int\limits_0^2 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 15\).
\(\int\limits_2^4 {{x^2}dx} \).
\(\int\limits_2^4 {\left| x \right|dx} \).
\(\pi \int\limits_2^4 {{x^2}dx} \).
\(\pi \int\limits_2^4 {xdx} \).
Đáp án đúng là: B
\(S = \int\limits_2^4 {\left| x \right|dx} \).
\(I = \frac{4}{{\ln 5}}\).
\(I = 4\ln 5\).
\(I = 5\ln 5\).
\(I = \frac{5}{{\ln 5}}\).
Đáp án đúng là: A
\(I = \int\limits_0^1 {{5^x}dx} = \left. {\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right|_0^1 = \frac{5}{{\ln 5}} - \frac{1}{{\ln 5}} = \frac{4}{{\ln 5}}\).
\(1 - e\).
\(e + 1\).
\(e\).
\(e - 1\).
Đáp án đúng là: D
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{\cos x}}.\sin x.dx} = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{\cos x}}d\left( {\cos x} \right)} = \left. { - {e^{\cos x}}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = e - 1\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1;1;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;1; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;1;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
\(m = 8\).
\(m = - 4\).
\(m = - 8\).
\(m = 4\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 3;m} \right)\).
Để \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\) thì \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0 \Leftrightarrow 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).m = 0\)\( \Leftrightarrow m = - 8\).
\(d = \frac{5}{{29}}\).
\(d = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\(d = \frac{5}{9}\).
\(d = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
Đáp án đúng là: D
\(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
\(\left( {1;2;2} \right)\).
\(\left( {8; - 16;16} \right)\).
\(\left( { - 1;2; - 2} \right)\).
\(\left( {1;4;4} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;2;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 4;4} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {8;16;16} \right) = 8\left( {1;2;2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nhận vectơ có tọa độ \(\left( {1;2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
\(\left( { - 1;1;0} \right)\).
\(\left( {1; - 1;2} \right)\).
\(\left( { - 1;1;1} \right)\).
\(\left( {1; - 1;1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;1;0} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
\(\left( Q \right):3x - y + z = 0\).
\(\left( Q \right):2x - y + 3 = 0\).
\(\left( Q \right):x + z = 0\).
\(\left( Q \right): - x + y + z = 0\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = - \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {1;0;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(B\left( { - 1;0;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0;1} \right)\) có phương trình là
\(\left( {x + 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z = 0\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - 3\cos x\).
\(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = 2 + 3\sin x\).
Một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x - 3\cos x\) là \(h\left( x \right) = {x^2} + 3\sin x + 2024\).
Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\) là \(F\left( x \right) = {x^2} - 3\sin x + 6 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\).
\(f\left( x \right) = 2x - 3\cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(k\left( x \right).{e^x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(k'\left( x \right).{e^x}\) là \(3\sin x + 3\cos x + 2x + C\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Ta có \(f'\left( x \right) = 2 + 3\sin x\).
b) \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {2x - 3\cos x} \right)dx} = {x^2} - 3\sin x + C\).
c) Có \(F\left( x \right) = {x^2} - 3\sin x + C\) mà \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^2} - 3\sin \frac{\pi }{2} + C = 3 \Leftrightarrow C = 6 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\).
Vậy \(F\left( x \right) = {x^2} - 3\sin x + 6 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\).
d) Vì \(f\left( x \right) = 2x - 3\cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(k\left( x \right).{e^x}\)nên
\(f'\left( x \right) = {\left( {2x - 3\cos x} \right)^\prime } = k\left( x \right).{e^x}\)\( \Leftrightarrow 2 + 3\sin x = k\left( x \right).{e^x}\)\( \Leftrightarrow k\left( x \right) = \frac{{2 + 3\sin x}}{{{e^x}}}\).
Suy ra \(k'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2 + 3\sin x}}{{{e^x}}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {3\cos x - 2 - 3\sin x} \right){e^x}}}{{{e^{2x}}}} = \frac{{3\cos x - 2 - 3\sin x}}{{{e^x}}}\).
Do đó \(k'\left( x \right).{e^x} = 3\cos x - 2 - 3\sin x\).
Suy ra \(\int {k'\left( x \right).{e^x}dx} = \int {\left( {3\cos x - 2 - 3\sin x} \right)} dx = 3\sin x - 2x + 3\cos x + C\).
Nếu \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 5\) và \(\int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx = - \frac{1}{2}} \) thì \(\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx = \frac{{11}}{2}\).
Nếu \(\int\limits_1^3 {\left[ {g\left( x \right) + 2x + 3} \right]dx = 10} \) thì \(\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = 3} \).
Nếu \(f\left( x \right) = {e^{3x}},F\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\) thì \(F\left( {\frac{1}{3}} \right) = e\).
Nếu \(f\left( x \right) = 2x + 1;g\left( x \right) = x - 2\) thì \(\int\limits_3^5 {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = a + b\ln c\). Khi đó \(a + b + c = 11\).
a) Đ, b) S, c) S, d) S
a) \(\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {g\left( x \right)} dx\)\( = 5 - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{11}}{2}\).
b) \(\int\limits_1^3 {\left[ {g\left( x \right) + 2x + 3} \right]dx = 10} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx + \int\limits_1^3 {\left( {2x + 3} \right)dx = 10} } \)
\( \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx + \left. {\left( {{x^2} + 3x} \right)} \right|_1^3 = 10} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx + 14 = 10} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = - 4} \).
c) \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{3}} {{e^{3x}}dx} = \left. {\frac{{{e^{3x}}}}{3}} \right|_0^{\frac{1}{3}} = \frac{e}{3} - \frac{1}{3}\).
Mà \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {{e^{3x}}dx} = F\left( {\frac{1}{3}} \right) - F\left( 0 \right)\) nên \(F\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{e}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{e}{3}\).
d) \(\int\limits_3^5 {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = \int\limits_3^5 {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}dx} = \int\limits_3^5 {\frac{{2\left( {x - 2} \right) + 5}}{{x - 2}}dx} \)\( = \int\limits_3^5 {2dx} + \int\limits_3^5 {\frac{5}{{x - 2}}dx} \)
\( = \left. {\left( {2x + 5\ln \left| {x - 2} \right|} \right)} \right|_3^5\)\( = 10 + 5\ln 3 - 6 = 4 + 5\ln 3\).
Do đó \(a = 4;b = 5;c = 3\). Suy ra \(a + b + c = 12\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng \(f\left( x \right)\) tạo với trục hoành và 2 đường thẳng \(x = - 3;x = 3\) một hình phẳng \(\left( H \right)\) gồm 2 phần có diện tích lần lượt là \({S_1},{S_2}\).
\({S_H} = \int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)dx} \).
\({S_2} = \left| {\int\limits_2^3 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} } \right| = 1\).
\({S_1} = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {x + 3} \right)dx + \int\limits_{ - 1}^1 {2dx} + \int\limits_1^2 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} } \).
\({S_H} = {S_1} - \int\limits_2^3 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} \).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
Xét hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 3\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\; - 3 \le x \le - 1\\2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\; - 1 < x \le 1\\ - 2x + 4\;\;{\rm{khi}}\;1 < x \le 3\end{array} \right.\).
a) \({S_H} = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
b) Với \(x \in \left[ {2;3} \right]\) thì \( - 2x + 4 < 0\) nên \({S_2} = \int\limits_2^3 {\left| { - 2x + 4} \right|dx} = \left| {\int\limits_2^3 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} } \right| = 1\).
c) Ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {x + 3} \right)dx + \int\limits_{ - 1}^1 {2dx} + \int\limits_1^2 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} } \).
d) \({S_H} = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = {S_1} + {S_2} = {S_1} - \int\limits_2^3 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} \).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1; - 2;2} \right)\).
\(\left( Q \right)\) không đi qua điểm \(N\left( {7;0;0} \right)\).
Giá trị biểu thức \(2{b^2} + c - d\) là một số tự nhiên chia hết cho 8.
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Vì \(0 - 2.0 + 2.0 - 7 = - 7 \ne 0\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) không đi qua gốc tọa độ.
b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
c) Vì \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)\) có dạng \[x - 2y + 2z + D = 0\left( {D \ne - 7} \right)\].
Vì \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 3\) nên
\[\frac{{\left| {2 - 2.\left( { - 3} \right) + 2.4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3\]\[ \Leftrightarrow \left| {16 + D} \right| = 9\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}16 + D = 9\\16 + D = - 9\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = - 7\left( {KTM} \right)\\D = - 25\left( {TM} \right)\end{array} \right.\].
Vậy \[\left( Q \right):x - 2y + 2z - 25 = 0\].
Thay tọa độ điểm \(N\left( {7;0;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right):7 - 2.0 + 2.0 - 25 = - 18 \ne 0\].
Vậy \(\left( Q \right)\) không đi qua điểm \(N\left( {7;0;0} \right)\).
d) \[\left( Q \right):x - 2y + 2z - 25 = 0\].
Suy ra \(b = - 2;c = 2;d = - 25\). Do đó \(2.{\left( { - 2} \right)^2} + 2 + 25 = 35\)là số tự nhiên không chia hết cho 8.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Cho \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2\). Tính \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]dx} \).
___
Trả lời: 10
\(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]dx} \)\( = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {2xdx} \)\( = 2 + \left. {{x^2}} \right|_1^3 = 2 + 9 - 1 = 10\).
Trả lời: 9
Ta có \(F'\left( x \right) = a.{e^x} + \left( {ax + 2b} \right){e^x} = \left( {a + ax + 2b} \right){e^x}\).
Mà \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\a + 2b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\).
Do đó \({a^2} + 2{b^2} = 1 + {2.2^2} = 9\).
Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 m so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \(v\left( t \right) = 10t - {t^2}\), trong đó \(t\) (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, \(v\left( t \right)\) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc của khí cầu bằng bao nhiêu m/p?
Trả lời: 9
Gọi \({t_1}\) là thời điểm khí cầu tiếp đất
Theo đề ta có \(\int\limits_0^{{t_1}} {\left( {10t - {t^2}} \right)dt} = 162\)\( \Leftrightarrow \left. {\left( {5{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^{{t_1}} = 162\)
\( \Leftrightarrow 5t_1^2 - \frac{{t_1^3}}{3} = 162\)\( \Leftrightarrow {t_1} = 9\) (do \(v\left( t \right) > 0\)).
Vậy vận tốc khi khí cầu tiếp đất là \(v\left( 9 \right) = 10.9 - {9^2} = 9\left( {{\rm{m/p}}} \right)\).
Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.
Chiều dài của đường hầm mô hình là 5 cm, mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức \(y = 3 - \frac{2}{5}x\) (đơn vị là cm), với \(x\) là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
___
Trả lời: 29
Xét một thiết diện parabol có chiều cao là \(h\) và độ dài đáy \(2h\) và chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ bên
Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(\left( P \right):y = a{x^2} + h\left( {a < 0} \right)\).
Có \(B\left( {h;0} \right) \in \left( P \right)\)\( \Leftrightarrow 0 = a{h^2} + h \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}\) (do \(h > 0\)).
Diện tích \(S\) của thiết diện \(S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right)dx} = \frac{{4{h^2}}}{3}\), kết hợp với chiểu cao \(h = 3 - \frac{2}{5}x\) ta được diện tích thiết diện là \(S\left( x \right) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}\).
Thể tích không gian bên trong của đường hâm mô hình là:
\(V = \int\limits_0^5 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^5 {\frac{4}{3}{{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)}^2}dx} \approx 29\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Vậy \(V \approx 29\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và cắt trục tọa độ tại \(A,B,C\) (khác gốc tọa độ) sao cho \(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) có phương trình là \(ax + by + cz - 18 = 0\). Giá trị của \(abc\) bằng bao nhiêu?
___
Trả lời: 36
Giả sử \(A\left( {m;0;0} \right),B\left( {0;n;0} \right),C\left( {0;0;p} \right)\).
Vì \(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = 6\\p = 9\end{array} \right.\).
Do đó mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có dạng \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0\).
Suy ra \(a = 6;b = 3;c = 2\). Do đó \(a.b.c = 18.2 = 36\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) sao cho thể tích khối tứ diện \(OABC\) nhỏ nhất. Khi đó \(a + 2b + 3c\) bằng bao nhiêu?
___
Trả lời: 18
Theo giả thiết ta có \(a > 0,b > 0,c > 0\) và \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc\).
Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Vì \(M \in \left( P \right)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\).
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số ta có \(1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}} \Rightarrow abc \ge 27\).
Do đó \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc \ge \frac{9}{2}\). Đăng thức xảy ra khi \(a = b = c = 3\).
Do đó \(a + 2b + 3c = 18\).
