Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 01

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\).

Đáp án đúng là: D

\(T = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b = f\left( b \right) - f\left( a \right) = - 4 - \left( { - 2} \right) = - 2\).

Đáp án đúng là: D

\(V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).

Đáp án đúng là: A

\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx = {x^2} - \frac{3}{x}} + C\).

Đáp án đúng là: B

\(I = \int\limits_0^{2018} {{2^x}dx} = \left. {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right|_0^{2018} = \frac{{{2^{2018}}}}{{\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{{{2^{2018}} - 1}}{{\ln 2}}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(V = \pi \int\limits_1^4 {\frac{{{x^2}}}{{16}}dx} = \frac{{21\pi }}{{16}}\).

Đáp án đúng là: A

\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;0; - 3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta thấy thỏa mãn. Do đó điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) thuộc vào mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đáp án đúng là: D

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.\left( { - 3} \right) - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{11}}{3}\).

Đáp án đúng là: C

\(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 2;3} \right)\), \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2; - 4;6} \right) = 2\left( {1; - 2;3} \right) = 2\overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(1 \ne 2.1\) nên \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\).

Đáp án đúng là: D

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(I\left( {1;1;1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;2; - 2} \right) = 2\left( {2;1; - 1} \right)\).

Mặt phẳng trung trực của \(AB\) đi qua \(I\left( {1;1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có dạng: \(2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - z - 2 = 0\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) \(F\left( 1 \right) = {1^3} - {3.1^2} + 2.1 = 0\).

b) \(\int {F\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)} dx = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^3} + {x^2} + C\).

c) \(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 2\).

d) Nếu \(G\left( x \right)\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thì tồn tại một hằng số C sao cho \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(\int\limits_0^{ - 3} {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} = 4\).

b) \(\int\limits_{ - 3}^0 { - 3f\left( x \right)dx} = - 3\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} = 12\).

c) \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} = - 4 + \left( { - 3} \right) = - 7\).

d) \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + 3x} \right]dx} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 3}^0 {3xdx} \)\( = - 4 + \left. {\frac{3}{2}{x^2}} \right|_{ - 3}^0\)\( = - 4 - \frac{{27}}{2} = - \frac{{35}}{2}\).

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Hình phẳng đó giới hạn bởi bốn đường \(y = {e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1;x = 1.\)

b) Diện tích hình phẳng \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx} \).

c) Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_{ - 1}^1 = e - \frac{1}{e}\).

d) Ta có thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục \(Ox\) là

\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}dx} = \left. {\frac{\pi }{2}{e^{2x}}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;2; - 4} \right)\).

b) Thay tọa độ điểm \(A\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\) vào mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta có \(3.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 1} \right) - 4.\left( { - 1} \right) + 1 = 0\).

Do đó \(A\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\) là một điểm nằm trên \(\left( P \right)\).

c) Vì \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)\) có phương trình \(3x + 2y - 4z + D = 0\left( {D \ne 1} \right).\)

Vì mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(B\left( {1;2;3} \right)\) nên \(3.1 + 2.2 - 4.3 + D = 0\)\( \Leftrightarrow D = 5\).

Vậy \(\left( Q \right):3x + 2y - 4z + 5 = 0\).

d) \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 1} \right) - 4.\left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {29} }}\).

Trả lời: 5

Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{x - 1}}dx = \ln \left| {x - 1} \right| + C} = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) + {C_1}\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\\ln \left( {1 - x} \right) + {C_2}\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2\); \(f\left( 4 \right) = 3 \Leftrightarrow \ln \left( {4 - 1} \right) + {C_1} = 3 \Leftrightarrow {C_1} = 3 - \ln 3\).

Do đó \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) + 3 - \ln 3\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\\ln \left( {1 - x} \right) + 2\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).

Do đó \(f\left( { - 2} \right) = \ln 3 + 2;f\left( 2 \right) = 3 - \ln 3\). Suy ra \(f\left( { - 2} \right) + f\left( 2 \right) = 5\).

Trả lời: 675

\(\int\limits_0^1 {f\left( {3x + 2} \right)} dx = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( {3x + 2} \right)} d\left( {3x + 2} \right)\)\( = \frac{1}{3}\int\limits_2^5 {f\left( t \right)} dt\)\( = \frac{1}{3}\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} dx\)\( = \frac{1}{3}.2025 = 675\).

Dựng hệ trục tọa độ \(Oxy\)như hình vẽ

Phần phía trên cổng \(\left( P \right)\)có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {0;2,5} \right),A\left( { - 3;0} \right),B\left( {3;0} \right)\) nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}9a + 3b + c = 0\\9a - 3b + c = 0\\c = 2,5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{{18}}\\b = 0\\c = 2,5\end{array} \right.\).

Do vậy \(\left( P \right):y = - \frac{5}{{18}}{x^2} + 2,5\).

Diện tích phần phía trên cổng là \({S_1} = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| { - \frac{5}{{18}}{x^2} + 2,5} \right|dx = 10} \left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Diện tích phần phía dưới là \({S_2} = 4.6 = 24\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Số tiền phải trả là \(10.1200000 + 24.1000000 = 36000000\) đồng = 36 triệu đồng.

Trả lời: 1334

Ta có \(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)dx} = \int {\left( {16 - 0,02x} \right)dx} = 16x - 0,01{x^2} + C\).

Vì \(P\left( 0 \right) = - 25\) nên \(C = - 25\).

Do đó \(P\left( x \right) = 16x - 0,01{x^2} - 25\).

Khi đó \(P\left( {90} \right) = 16.90 - {0,01.90^2} - 25 = 1334\) (triệu đồng).

Trả lời: −5

Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;8;12} \right) = 4\left( {0;2;3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {2;4;1} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {0;2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(2\left( {y - 4} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \( - 2y - 3z + 11 = 0\).

Do đó \(a = 0;b = - 2;c = - 3\). Vậy \(a + b + c = - 5\).

Trả lời: −10

Xét ba điểm \(A\left( {1;1;10} \right)\), \(B\left( {4;3;1} \right)\) và \(C\left( {3;2;5} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;2; - 9} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;1; - 5} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 9}\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 9}&3\\{ - 5}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\2&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là

\(\left( { - 1} \right).\left( {x - 1} \right) + \left( { - 3} \right).\left( {y - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( {z - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + z - 14 = 0\).

Suy ra \(m = 3\), \(n = 1\), \(p = - 14\). Vậy \(m + n + p = - 10\).