Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 8
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {2;1; - 3} \right)\). Khoảng cách từ \(M\) đến gốc toạ độ \(O\) bằng:
\(\sqrt 5 .\)
\(\sqrt {14} .\)
\(0.\)
\(\sqrt {10} .\)
Chọn B
\(OM = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {14} \).
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(M(2;1; - 1)\) trên mặt phẳng (Ozx)có tọa độ là
\[\left( {2\,;\,0\,;\, - 1} \right)\].
\[\left( {2\,;\,1\,;\,0} \right)\].
\[\left( {0;\,1\,;\, - 1} \right)\].
\[\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\].
Chọn A
Hình chiếu vuông góc của điểm \(M(2;1; - 1)\) trên mặt phẳng \((Ozx)\)có tọa độ là \(M' = \left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1\,;\, - 2\,;\,1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right)\). Vectơ nào dưới đây vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \)?
\(\overrightarrow {{w_2}} = \left( { - 1\,;\,3\,;\,5} \right)\).
\(\overrightarrow {{w_4}} = \left( {1\,;\,4\,;\,7} \right)\).
\(\overrightarrow {{w_1}} = \left( { - 2\,;\, - 6\,;\, - 10} \right)\).
\(\overrightarrow {{w_3}} = \left( {1\,;\, - 4\,;\,7} \right)\).
Chọn C
Vectơ vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) sẽ cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow v } \right]\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow v } \right] = \left( {1\,;\,3\,;\,5} \right)\).
Ta thấy \( - 2\left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 2\,;\, - 6\,;\, - 10} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{w_1}} = - 2\left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow v } \right]\).
Vậy \(\overrightarrow {{w_1}} = \left( { - 2\,;\, - 6\,;\, - 10} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {0;4} \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2;0} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
Chọn D
Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x\)\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới. Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
\(1\).
\(3\).
\(4\).
\[2\].
Chọn D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2\) \( \Rightarrow \) \(y = 2\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 5\) \( \Rightarrow \) \(y = 5\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2\,;\,2} \right]\).
\(m = - 1\,;\,M = 0\).
\(m = - 5\,;\,M = 0\).
\(m = - 5\,;\,M = - 1\).
\(m = - 2\,;\,M = 2\).
Chọn C
Nhìn vào đồ thị ta thấy:
\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = - 1\) khi \(x = - 1\) hoặc \(x = 2\).
\(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = - 5\) khi \(x = - 2\) hoặc \(x = 1\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \[M\left( {1;\,1;\,1} \right)\], \[N\left( {2;\,3;\,4} \right)\],\[P\left( {7;\,7;\,5} \right)\]. Để tứ giác \[MNPQ\] là hình bình hành thì tọa độ điểm \[Q\] là
\[\left( {6;\,5;\,2} \right)\].
\[\left( { - 6;\,5;\,2} \right)\].
\[\left( {6;\, - 5;\,2} \right)\].
\[\left( { - 6;\, - 5;\, - 2} \right)\].
Chọn A
Gọi \[Q\left( {x;\,y;\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MQ} = \left( {x - 1;\,y - 1;\,z - 1} \right)\]. \[\overrightarrow {NP} = \left( {5;\,4;\,1} \right)\].
Ta có: tứ giác \[MNPQ\]là hình bình hành\[\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 5\\x - 1 = 4\\z - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 5\\z = 2\end{array} \right.\].
Vậy tọa độ điểm \[Q\] là: \[Q\left( {6;\,5;\,2} \right)\].
Số điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 10}}{{x + 2}}\)là
\(10\).
\(16\).
\(12\).
\(8\).
Chọn C
Mx y thuộc đồ thị hàm số \( \Leftrightarrow \)\(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 10}}{{x + 2}} = 2{\rm{x}} - 1 + \frac{{12}}{{x + 2}}\)
\(\begin{array}{l}y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{{12}}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = \pm 12\\x + 2 = \pm 6\\x + 2 = \pm 4\\x + 2 = \pm 3\\x + 2 = \pm 2\\x + 2 = \pm 1\end{array} \right.\\\end{array}\)
Vậy có \(12\)điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 10}}{{x + 2}}\).
Cho ba vectơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]không đồng phẳng. Xét các vectơ \[\overrightarrow x = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b ;\overrightarrow y = - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b ;\overrightarrow z = - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c \]. Chọn khẳng định đúng?
Hai vectơ\[\overrightarrow x ;\overrightarrow y \]không cùng phương.
Hai vectơ\[\overrightarrow x ;\overrightarrow z \]cùng phương.
Ba vectơ\[\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z \]đồng phẳng.
Hai vectơ\[\overrightarrow y ;\overrightarrow z \]cùng phương.
Chọn C
*Hai vectơ\[\overrightarrow y ;\overrightarrow z \]cùng phương \( \Leftrightarrow \)\(\exists k:\overrightarrow y = k\overrightarrow z \Leftrightarrow - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = k\left( { - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = k.0\\2 = - 3k\\0 = - 2k\end{array} \right.\)
Do HPT vô nghiệm suy ra hai vectơ\[\overrightarrow y ;\overrightarrow z \]không cùng phương nên loại đáp án A
*Hai vectơ\[\overrightarrow x ;\overrightarrow y \]cùng phương
\( \Leftrightarrow \)tồn tại \(k \ne 0:\overrightarrow x = k\overrightarrow y \Leftrightarrow 2\overrightarrow a - \overrightarrow b = k\left( { - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = - 4k\\ - 1 = 2k\end{array} \right. \Leftrightarrow k = \frac{{ - 1}}{2}\)
suy ra hai vectơ\[\overrightarrow x ;\overrightarrow y \] cùng phương. nên loại đáp án B
* Hai vectơ\[\overrightarrow x ;\overrightarrow z \]cùng phương \( \Leftrightarrow \)tồn tại \(k \ne 0:\overrightarrow x = k\overrightarrow z \Leftrightarrow 2\overrightarrow a - \overrightarrow b = k\left( { - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 0.k\\ - 1 = - 3k\\0 = - 2k\end{array} \right.\)
Do HPT vô nghiệm suy ra hai vectơ không cùng phương nên loại đáp án C
* Do \[\overrightarrow y ;\overrightarrow z \]không cùng phương
\[\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z \]đồng phẳng \( \Leftrightarrow \)\(\exists \alpha ,\beta \in \mathbb{R}:\overrightarrow x = \alpha \overrightarrow y + \beta \overrightarrow z \Leftrightarrow 2\overrightarrow a - \overrightarrow b = \alpha \left( { - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) + \beta \left( { - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\alpha = 2\\2\alpha - 3\beta = - 1\\ - 2\beta = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha = - \frac{1}{2}\\\beta = 0\end{array} \right.\). Vậy chọn đáp án D
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị \[y = f'\left( x \right)\] của nó trên khoảng \[K\] như hình vẽ. Khi đó trên \[K\] hàm số \[y = f\left( {x - 2019} \right)\] có bao nhiêu điểm cực trị?
\[2\].
\[1\].
\[3\].
\[4\].
Chọn B
Ta có \[y' = f'\left( {x - 2019} \right)\]
Đồ thị hàm số \[y = f'\left( {x - 2019} \right)\] nhận được từ đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\]nhờ phép tịnh tiến qua phải 2019 đơn vị. Số cực trị của \[y = f\left( {x - 2019} \right)\] bằng 1.
Cho hàm số \(y = {x^2} - 6x + m\) (\(m\) là tham số thực) thỏa mãn \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = - 23\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(m < - 10\).
\(0 < m < 10\).
\( - 7 < m < 0\).
\( - 10 < m \le - 7\).
Chọn D
Ta có \(y' = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).
Suy ra
+) \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = \min \left\{ {y\left( 0 \right);y\left( 3 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = \min \left\{ {m\,;\,m - 9\,;\,m - 8} \right\} = m - 9\)
+) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = \max \left\{ {y\left( 0 \right);y\left( 3 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = \max \left\{ {m\,;\,m - 9\,;\,m - 8} \right\} = m\).
Theo giả thiết ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = 7 \Rightarrow m - 9 + m = - 23 \Leftrightarrow m = - 7\).
Vậy \( - 10 < m \le - 7\).
Cho hàm số \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 3\,\left( {a \ne 0} \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Xác định dấu của hệ số \(a,b,c\).
\(a > 0,b < 0,c > 0\).
\(a < 0.b < 0,c < 0\).
\(a > 0,b > 0,c > 0\).
\(a < 0,b < 0,c > 0\).
Chọn A
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)
\(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\\f'\left( 1 \right) = 0\\f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{85}}{{27}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}a + \frac{2}{3}b + c = 0\\3a + 2b + c = 0\\\frac{1}{{27}}a + \frac{1}{9}b + \frac{1}{3}c + 3 = \frac{{85}}{{27}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right.\)
Vậy \(a > 0,b < 0,c > 0\).
Cách 2: Thầy Trí Đinh Văn góp ý.
Dựa vào bảng biến thiên: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \Rightarrow a > 0\) (Loại được C và D).
Hàm số có hai điểm cực trị .
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\) có đồ thị là đường cong \((C)\).
a) Biết hàm số có 2 điểm cực trị khi đó tổng của giá trị cực đại và giá trị cực tiểu bằng \( - 4\).
b) Để phương trình \({x^2} + 3x + 3 = m|x + 2|\) có 4 nghiệm phân biệt thì \(m > 2\).
c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\).
d) Phương trình tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(x - 3y - 6 = 0\) đi qua điểm \(B\left( { - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\).
a) | S | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
a)b) \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}\)
Tâp xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \)
\(\begin{array}{l}{y^\prime } = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}},{y^\prime } = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 \Rightarrow y = 1}\\{x = - 3 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2 \pm } y = \pm \infty :x = - 2{\rm{ l\`a tcd }}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm x} y = x + 1 \Rightarrow y = x + 1{\rm{ l\`a tcx}}\end{array}\)
Bảng biến thiên:
\(x = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}\)
Đồ thị không cắt trục \(Ox\)
Đồ thị:
Đường thẳng \(x - 3y - 6 = 0\) có hệ số góc \({k_1} = \frac{1}{3} \Rightarrow \) tiếp tuyến của
(C) vuông góc với đường thẳng này có hệ số góc \({k_2} = - 3\)
Xét phương trình \(y_x^\prime = - 3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = - 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne - 2}\\{{x^2} + 4x + 3 = - 3{x^2} - 12x - 12}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne - 2}\\{4{x^2} + 16x + 15 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{2} \Rightarrow y = - \frac{7}{2}}\\{x = - \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
Tại \(A\left( { - \frac{5}{2}, - \frac{7}{2}} \right)\) có tiếp tuyến \(\left( {{T_1}} \right):y = - 3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - \frac{7}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 11\)
Tại \(B\left( { - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\) có tiếp tuyến \(\left( {{T_2}} \right):y = - 3\left( {x + \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 3\)\[{x^2} + 3x + 3 = m|x + 2| \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne - 2}\\{\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{\left| {x + 2} \right|}} = m}\end{array}} \right.\]
\( \Rightarrow \)Số giao điểm của đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}y&{ = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{|x + 2|}}}\\{}&{ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}}&{{\rm{ (1): }}x > - 2}\\{ - \left( {\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}} \right)}&{{\rm{ (2): }}x < - 2}\end{array}} \right.}\end{array}\)
(1): bên phải tiệm cận đứng: giữ nguyên \((C)\)
(2): bên trái tiệm cận đứng: lấy đối xứng của \((C)\) qua trục \(Ox\) \(\left( {{C_1}} \right)\) là đường có nét liền, đậm
Số giao điểm của \(\left( {{C_1}} \right)\) và đường thẳng \(y = m\) là số nghiệm của phương trình.
Vị trí của đường thẳng \(y = m\) để có 4 giao điểm với \(\left( {{C_1}} \right)\) là \(m > 3\)
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) \[\mathop {Max}\limits_{(1; + \infty )} f(x) = f(2)\].
b) Hàm số \(y = f(3 - 2x)\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).
c) Hàm số\(y = f(x)\) có hai điểm cực trị.
d) \(f'(x) < 0\,\,\forall \,x \in ( - 1;1)\).
a) | S | b) | Đ | c) | S | d) | Đ |
Dựa vào đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\,\)ta thấy \(f'\left( x \right)\, < \,0\) \(\forall \,x \in \,\left( { - 1;\,1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) nên khẳng địnhđúngDựa vào đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\,\)ta thấy \(f'\left( x \right)\,\) đổi dấu 3 lần nên hàm số \(y = f(x)\) có 3
điểm cực trị.Xét trên khoảng \(\left( {1\,; + \infty } \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) > 0\,\forall x \in \left( {1\,;3} \right)\) và \(f'\left( x \right) < 0\,\forall x \in \left( {3\,; + \infty } \right)\)nên
\[\mathop {Max}\limits_{(1; + \infty )} f(x) = f(3)\].Ta có \({\left[ {f\left( {3 - 2x} \right)} \right]^\prime } = - 2.f'\left( {3 - 2x} \right)\,\) nên có bảng xét dấu của \({\left[ {f\left( {3 - 2x} \right)} \right]^\prime }\)như sau
Do đó hàm số \(y = f(3 - 2x)\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).
Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá \(30.000\) đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình \(3000\) chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá \(30.000\) đồng mà cứ tăng giá thêm \(1000\) đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn \(100\) chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là \(18.000\). Hỏi:
a) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần tăng thêm \[10000\] đồng?
b) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá \[39000\] đồng?
c) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi chiếc khăn lãi \[21000\] đồng?
d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm \[800\] chiếc?
a) | S | b) | Đ | c) | Đ | d) | S |
Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là \(x\).
Vì cứ tăng giá thêm \(1\) thì số khăn bán ra giảm \(100\) chiếc nên tăng \(x\) thì số xe khăn bán ra giảm \(100x\) chiếc.
Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: \(3000 - 100x\) chiếc.
Lúc đầu bán với giá \(30\), mỗi chiếc khăn có lãi \(12\). Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: \(12 + x\).
Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:
\(f\left( x \right) = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1800x + 36000\).
\(f'\left( x \right) = - 200x + 1800\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 200x + 1800 = 0 \Leftrightarrow x = 9\)
Lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) ta thấy hàm số đạy giá trị lớn nhất khi
\[x = 9\]
Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là \(9.000\) đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là\(39.000\) đồng.
Cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {2;1;0} \right),B\left( {1;1;3} \right),C\left( {2; - 1;3} \right),D\left( {1; - 1;0} \right)\).
a) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \(3\)
b) Tứ diện \(ABCD\) có các cạnh đối đôi một bằng nhau.
c) Góc giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là \(\varphi = \arccos 0,3\)
d) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\)
a) | S | b) | Đ | c) | S | d) | Đ |
(a) Đúng: Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng ta tính được
\(AB = CD = \sqrt {10} ;AC = BD = \sqrt {13} ;AD = BC = \sqrt 5 \)
Vậy tứ diện \(ABCD\) có các cạnh đối đôi một bằng nhau
(b) Sai: Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;3} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 1;0; - 3} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(AB\) và \(CD\)
\(\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\left| { - 8} \right|}}{{\sqrt {10} .\sqrt {10} }} = \frac{4}{5}\)
Vậy góc giữa \(AB\) và \(CD\) là \(\varphi = \arccos 0,8\)
(c) Sai: Lấy \[I\] trung điểm của \(AB,J\) là trung điểm của \(CD\)
\(\Delta ACD = \Delta BCD\)(c.c.c) nên 2 đường trung tuyến tương ứng \(AJ = BJ\).
Vậy \(\Delta AJB\) cân đỉnh \(J\) nên \[IJ\] vuông góc với \(AB\) tại \(I\).
Tương tự \(\Delta ICD\) cân đỉnh \[I\] nên \[IJ\] vuông góc với \(CD\) tại \(J\).
Vậy \[IJ\] là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\) ta được \(I\left( {\frac{3}{2};1;\frac{3}{2}} \right)\) và \(J\left( {\frac{3}{2}; - 1;\frac{3}{2}} \right)\)
Vậy khoảng cách giữa \(AB\) và \(CD\) chính là độ dài đoạn vuông góc chung \(IJ\).
\(d\left( {AB;CD} \right) = II = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left[ {1 - \left( { - 1} \right)} \right]}^2} + {{\left( {\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} \right)}^2}} = 2\)
(d) Đúng: Theo kết quả câu 3. Lấy \[G\] là trung điểm của \(IJ\) ta được:
\(GA = GB\)vì \(\Delta GAB\) cân đỉnh \(G\);\(GC = GD\) vì \(\Delta GCD\) cân đỉnh \(G\)
Mà \(GA = \sqrt {G{I^2} + I{A^2}} \) mà \(GI = GJ,IA = ID\) và \(GC = \sqrt {G{J^2} + I{D^2}} \)
Do đó \(GA = GB = GC = GD = R\)
Do đó \[G\]: Tâm mặt cầu ngoại tuyến khối tứ diện \(ABCD:G\left( {\frac{3}{2};0;\frac{3}{2}} \right)\) và bán kính của mặt cầu là \(R = GA = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) (\[G\]: cũng chính là trọng tâm của khối tứ diện gần đều \(ABCD\))
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho biết máy bay \(A\) đang bay với vectơ vận tốc \(\vec a = \left( {300;200;400} \right)\) (đơn vị: km/h). Máy bay \(B\) bay cùng hướng và có tốc độ gấp ba lần tốc độ của máy bay \(A\). (làm tròn đến hàng đơn vị)
Tính tốc độ của máy bay \(B\).
Ta có: \[3\vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3.300 = x}\\{3.200 = y}\\{3.400 = z}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 900}\\{y = 600}\\{z = 1200}\end{array} \Rightarrow \vec b = \left( {900;600;1200} \right)} \right.} \right.\]
Tốc độ của máy bay \(B\) là: \(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{{900}^2} + {{600}^2} + {{1200}^2}} \approx 1615,55\;\)(km/h)
Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả hàm số :
\(y = h\left( x \right) = - \frac{1}{{1320000}}{x^3} + \frac{9}{{3520}}{x^2} - \frac{{81}}{{44}}x + 840;\left( {0 \le x \le 2000} \right)\)
Trên đoạn \(\left[ {0;2000} \right]\) cưa lát cắt dãy núi nơi thấp nhất có hoành độ bao nhiêu ?
Giả sử tăng cân nặng ( tính bằng \(kg\)) của một giống vật nuôi ( trong vòng một số tháng nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{150}}{{1 + 3{e^{ - t}}}},\;\;t \ge 0\)
Trong đó thời gian \(t\) được tính bằng tháng kể từ khi vật nuôi đó bắt đầu sinh ra. Khi đó đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ tăng cân nặng của loài cây đó. Hỏi sau khi vật nuôi sinh ra thì sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng cân nặng của vật nuôi là nhanh nhất?
Ta có: \(f\left( t \right) = \frac{{200}}{{1 + 3{e^{ - t}}}} \Rightarrow f'\left( t \right) = 150.\frac{{ - 3.{e^{ - t}}.\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = 150.\frac{{3.{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\)
\(f''\left( t \right) = 150.\frac{{ - 3{e^{ - t}}{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right).\left( { - 3{e^{ - t}}} \right).3{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)\( = 150.\frac{{ - 3{e^{ - t}}.\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 3{e^{ - t}} - 6{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)
\( = 150.\frac{{ - 3{e^{ - t}}.\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)\left( {1 - 3{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)\( \Rightarrow f''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow t = - \ln \left( {\frac{1}{3}} \right) = \ln 33 \approx 1,09\)
Vậy sau khi sinh khoảng \(\ln 3 \approx 1,09\) tháng thì vật nuôi có tốc độ tăng cân nhanh nhất.
Một công ty bất động sản có \(20\) phòng cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi phòng với giá \(2\) triệu đồng một tháng thì tất cả các phòng đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi phòng thêm \(200\) nghìn đồng một tháng thì có thêm một phòng bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi phòng bao nhiêu triệu đồng một tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất?
Cứ tăng thêm \(200\) nghìn đồng vào giá thuê một phòng trên một tháng thì có một phòng bị bỏ trống.
Gọi số lần tăng \(200\) nghìn đồng vào giá thuê một phòng trên một tháng là \[x\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\].
Khi đó \[x\] cũng là số phòng bị bỏ trống.
Tổng số tiền công ty thu được lúc này là:
\[T\left( x \right) = \left( {2000 + 200x} \right)\left( {20 - x} \right) = - 200{x^2} + 2000x + 40000\] .
Xét hàm số \[T\left( x \right) = - 200{x^2} + 2000x + 40000\] với \[x > 0\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow T'\left( x \right) = - 400x + 2000\\T'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 400x + 2000 = 0\\ \Leftrightarrow x = 5\left( {TM} \right)\end{array}\]
Bảng biến thiên của hàm số \[T\left( x \right)\] như sau:
Căn cứ vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số \[T\left( x \right)\] đạt giá trị lớn nhất bằng 45 000 khi \[x = 5\]
Khi đó, số tiền tăng lên khi cho thuê một phòng là \[200.5 = 1000\] = 1.
Vậy công ty nên cho thuê mỗi căn hộ 3 triệu đồng một tháng thì tổng số tiền thu được là lớn nhất.
Một em bé cân nặng \(m = 20{\rm{\;kg}}\) trượt trên cầu thang trượt dài 2 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \({40^ \circ }\). Cho biết công \(A\left( J \right)\) sinh bởi một lực \(\vec F\) có độ dịch chuyển \(\vec d\) được tính theo công thức \(\vec A = \vec F \cdot \vec d\). Hãy tính công sinh bởi trọng lực \(\vec P\) khi em bé trượt hết chiều dài cầu trượt biết \(g \approx 10{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}\). (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có \(\vec P = m\vec g\) suy ra \(P = mg = 20.10 = 200\left( {{\rm{\;N}}} \right)\).
Vậy trọng lực tác dụng lên em bé là 200 N.
Ta có \(A = P \cdot s \cdot \cos \left( {\vec P,\vec s} \right) = 200 \cdot 2 \cdot \cos {80^ \circ } \approx 69\) (J).
Vậy công sinh bởi trọng lực \(\vec P\) khi em bé trượt hết chiều dài cầu trượt là 306 J.
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{2}{t^3} + 6{t^2}\) với \(t\) là khoảng thời gian tính từ khi vật đó bắt đầu chuyển động và \(s\left( {\rm{m}} \right)\) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(6\) giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bào nhiêu?
Vận tốc của vật chuyển động là \(v = s' = - \frac{3}{2}{t^2} + 12t = f\left( t \right)\)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;6} \right]\)
Ta có \(f'\left( t \right) = - 3t + 12 \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 4 \in \left[ {0;6} \right]\)
\(f\left( 0 \right) = 0;f\left( 4 \right) = 24;f\left( 6 \right) = 18\)
Vậy vận tốc lớn nhất là \(24\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
