Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 17
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = {x^4} - 8{x^2} - 4\). Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng.
\(\left( { - 2\,;\,0} \right)\) và \(\left( {0\,;\,2} \right)\).
\(\left( { - \infty \,;\, - 2} \right)\) và \(\left( {0\,;\,2} \right)\).
\(\left( { - \infty \,;\, - 2} \right)\)và \(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2\,;\,0} \right)\) và \(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
Chọn B
Ta có \(y' = 4{x^3} - 16x\,;\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\,;\,x = \pm 2\).
Bảng biến thiên
Do đó ta có hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\, - 2} \right)\) và \(\left( {0\,;\,2} \right)\).
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ { - 1;\;2} \right]\] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \[M\], \[m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \[\left[ { - 1;\;2} \right]\]. Ta có \[2M + m\] bằng 
\[4\].
\[5\].
\[3\].
\[0\].
Chọn A
Dựa vào đồ thị ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - 1;\;2} \right]\] là \(3\), giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - 1;\;2} \right]\] là \( - 2\).
Vậy \(M = 3\), \(m = - 2\)\( \Rightarrow 2M + m = 2.3 + \left( { - 2} \right) = 4\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9.\) Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right).\)
\(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\)và \(R = 9.\)
\(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và\(R = 9.\)
\(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và \(R = 3.\)
\(I\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(R = 3.\)
Chọn C
\(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9 \Rightarrow \)Tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) bán kính \(R = 3.\)
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? 
\(4\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta thấy:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 5\)\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang: \(y = 5\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 3\)\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang: \(y = 3\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = - \infty \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng: \(x = 1\).
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \[A\left( {1;2;3} \right)\] và \[B\left( {5;2;0} \right)\]. Khi đó:
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {61} \).
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 3\).
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 5\).
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 2\sqrt 3 \).
Chọn C
Ta có: AB→=4;0;−3 Suy ra: AB→=42+02+−32=5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm \(A\left( {1; - 4; - 5} \right)\). Tọa độ điểm \(A'\)đối xứng với điểm \(A\)qua mặt phẳng \(Oxz\)là
\(\left( {1; - 4;5} \right)\).
\(\left( {1;4; - 5} \right)\).
\(\left( { - 1;4;5} \right)\).
\(\left( {1;4;5} \right)\).
Chọn B
Đối xứng của điểm \(A\left( {1; - 4; - 5} \right)\)qua mặt phẳng \(Oxz\)là điểm \(A'\left( {1;4; - 5} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác \(ABC\) có tọa độ các đỉnh là \(A\left( {2;1; - 1} \right),\)\(B\left( {3;2; - 2} \right),C\left( {1;0;0} \right).\) Khoảng cách từ gốc \(O\) đến trọng tâm của tam giác \(ABC\) bằng
\(3\sqrt 2 \).
\(\sqrt 6 \).
\(2\).
\(2\sqrt 3 \).
Chọn B
Ta có trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {2;1; - 1} \right)\)
Cho tứ diện \(ABCD\)có \(G\)là trọng tâm tam giá\(BCD\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
\(\overrightarrow {AG} = - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).
Chọn A
Vì \(G\)là trọng tâm tam giác \(BCD\)nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {0\,} .\)
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} = 3\overrightarrow {AG} .\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^{2019}}{\left( {x - 1} \right)^{2020}}\left( {2 - x} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
\(6\).
\(2\).
\(3\).
\(3\).
Chọn B
Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^{2019}}{\left( {x - 1} \right)^{2020}}\left( {2 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) (nghiệm bội \(2019\)); \(x = 1\)(nghiệm bội \(2020\)); \(x = 2\) (nghiệm đơn).
Số cực trị là số nghiệm bội lẻ của \(f'\left( x \right)\). Do đó hàm số có \(2\) cực trị.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 2}}{{bx + c}}\) có đồ thị như hình sau
Trong các số \(a,\,\;b\) và \(c\) có bao nhiêu số dương?
0.
1.
3.
2.
Chọn D
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(x < 0 \Rightarrow - \frac{2}{a} < 0 \Rightarrow a > 0.\)
Tiệm cận ngang: \(y = \frac{a}{b} > 0 \Rightarrow b > 0.\)
Tiệm cận đứng: \(x = - \frac{c}{b} > 0 \Rightarrow bc < 0 \Rightarrow c < 0.\)
Bảng biến thiên trong hình dưới bên dưới của hàm số nào dưới đây?
\(y = {x^3} - 3x + 4\).
\(y = \frac{{x - 1}}{{2x - 1}}\).
\(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\).
\(y = - {x^3} + 3x + 2\).
Chọn D
Bảng biến thiên đã cho có dạng của hàm số bậc ba nên loại các đáp án B,
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) nên hệ số \(a < 0\) nên loại đáp án
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\] trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) bằng 8 (m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(8 < m < 10\).
\(m > 10\).
\(0 < m < 4\).
\(4 < m < 8\).
Chọn D
Trên khoảng \(\left[ {1;2} \right]\) ta có: \[y' = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].
Với \(m \ne 1\) hàm số có \(y'\) giữ nguyên dấu trên \(\left[ {1;2} \right]\) nên giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là một trong 2 giá trị \[\left\{ {y\left( 1 \right);y\left( 2 \right)} \right\}\].
Ta có \[y\left( 1 \right) + y\left( 2 \right) = 8 \Leftrightarrow \frac{{1 + m}}{2} + \frac{{2 + m}}{3} = 8 \Leftrightarrow m = \frac{{41}}{5}\].
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = x{}^3 - 3x + 2\). Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:
a) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số có một cực trị là \(0\).
c) Với \(m \in \left( {0;4} \right)\) thì phương trình \({x^3} - 3x + 2 - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
d) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(L\left( {2;5} \right)\).
a) | S | b) | Đ | c) | Đ | d) | S |
Sai.
Ta có \({2^3} - 3.2 + 2 = 4 \ne 5\) nên đồ thị hàm số không đi qua điểm \(L\left( {2;5} \right)\).Sai.
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\).Đúng.Đúng.
Phương trình \({x^3} - 3x + 2 - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \({x^3} - 3x + 2 = m\) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(0 < m < 4\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( { - 3;4;2} \right)\), \(B\left( { - 5;6;2} \right)\), \(C\left( { - 10;17; - 7} \right)\).
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 10\).
b) Tọa độ trực tâm của tam giác \(ABD\) là \(H\left( { - 5;12;4} \right)\).
c) Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(G\left( { - 6;9; - 1} \right)\).
d) Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(I\left( { - 4;5;2} \right)\).
a) | S | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
(a) Đúng.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 3 + \left( { - 5} \right)}}{2} = - 4\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{4 + 6}}{2} = 5\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 4;5;2} \right)\].
(b) Đúng.
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{ - 3 + \left( { - 5} \right) + \left( { - 10} \right)}}{3} = - 6\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{4 + 6 + 17}}{3} = 9\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{2 + 2 + \left( { - 7} \right)}}{3} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( { - 6;9; - 1} \right)\].
(c) Sai.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;0} \right),\,\overrightarrow {DC} = \left( { - 10 - {x_D};17 - {y_D}; - 7 - {z_D}} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10 - {x_D} = - 2\\17 - {y_D} = 2\\ - 7 - {z_D} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 8\\{y_D} = 15\\{z_D} = - 7\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 8;15; - 7} \right)\).
\(\overrightarrow {AD} = \left( { - 5;11; - 9} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = - 2.\left( { - 5} \right) + 2.11 + 0.\left( { - 0} \right) = 32\).
(d) Sai.
Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là trực tâm của tam giác \(ABD\). Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BD} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AD} \\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.\)
\(\overrightarrow {AH} = \left( {a + 3;b - 4;c - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BH} = \left( {a + 5;b - 6;c - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 3;9; - 9} \right)\), \(\overrightarrow {AD} = \left( { - 5;11; - 9} \right)\),
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;0} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - 18; - 18; - 12} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - 3\left( {a + 3} \right) + 9\left( {b - 4} \right) - 9\left( {c - 2} \right) = 0\\ - 5\left( {a + 5} \right) + 11\left( {b - 6} \right) - 9\left( {c - 2} \right) = 0\\ - 18\left( {a + 3} \right) - 18\left( {b - 4} \right) - 12\left( {c - 2} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 9b - 9c = 27\\ - 5a + 11b - 9c = 73\\ - 18a - 18b - 12c = - 42\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 153}}{{11}}\\b = \frac{{100}}{{11}}\\c = \frac{{118}}{{11}}\end{array} \right.\].
Vậy \(H\left( {\frac{{ - 153}}{{11}};\frac{{100}}{{11}};\frac{{118}}{{11}}} \right)\).
Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}}\)có đồ thị \(\left( C \right)\).
a) Đồ thị \(\left( C \right)\)có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\),
b) Đường thẳng\(y = x + 1\)là tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\).
c) Đồ thị \(\left( C \right)\)đi qua điểm \(M\left( {0;2} \right)\).
d) Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\)tại hai điểm phân biệt khi \( - 1 < m < 7\).
a) | Đ | b) | Đ | c) | S | d) | S |
(a) Đúng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} = + \infty ;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} = - \infty \)
\( \Rightarrow \)Tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\) là là đường thẳng \(x = 2\).
(b) Đúng.
Ta có \(y = f(x) = x + 1 + \frac{4}{{x - 2}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - \left( {x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - \left( {x + 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{4}{{x - 2}}} \right) = 0\)
\( \Rightarrow \)Tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\) là đường thẳng \(y = x + 1\).
(c) Sai.
Thay tọa độ điểm \(M\left( {0;2} \right)\) vào phương trình hàm số \(y = f(x)\) ta được:
\(2 = \frac{{{0^2} - 0 + 2}}{{0 - 2}} \Leftrightarrow 2 = - 1:Sai \Rightarrow M\left( {0;2} \right) \notin \left( C \right)\)
(d) Sai.
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = m\) là:
\(\begin{array}{l}{\rm{ }}\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} = m{\rm{ }}\left( {x \ne 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + 2m + 2 = 0{\rm{ }}(1)\end{array}\)
Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác \(2\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{(1)}} = {m^2} - 6m + 7 > 0\\{2^2} - (m + 1).2 + 2m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 7\end{array} \right.\).
Một sợi dây kim loại dài \(60cm\) được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh \(a\), đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính \(r\).
a) \(\,r = \frac{{60 - 2a}}{\pi }.\)
b) Nếu cắt sợi dây thành hai đoạn bằng nhau và vẫn uốn thành một hình vuông và một hình tròn thì hình tròn có diện tích lớn hơn hình vuông.
c) Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là \(\frac{1}{\pi }\left[ {\left( {\pi + 4} \right){a^2} - 120a + 900} \right]\).
d) Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số \(\frac{a}{r}\) bằng \(\frac{1}{2}.\)
a) | S | b) | Đ | c) | S | d) | S |
Ta có:
\(4a + 2\pi r = 60\)\( \Leftrightarrow \,\,\,\pi r = 30 - 2a \Leftrightarrow r = \frac{{30 - 2a}}{\pi }.\)
SAI.Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn:
\(S = {a^2} + {r^2}\pi \)\( = {a^2} + \frac{{{{\left( {30 - 2a} \right)}^2}}}{\pi } = \frac{1}{\pi }\left[ {\left( {\pi + 4} \right){a^2} - 120a + 900} \right]\)
ĐÚNG.Điều kiện: \(0 < 4a < 60\,\,\, \Leftrightarrow \,\,0 < a < 15\).
Xét \(f(a) = \left( {\pi + 4} \right){a^2} - 120a + 900\) với \(a \in \left( {0,\,15} \right)\)
\(f(a)\)đạt giá trị nhỏ nhất tại \(a = \frac{{120}}{{2\left( {\pi + 4} \right)}} = \frac{{60}}{{\pi + 4}} \in \left( {0,\,15} \right)\).
\(S\)đạt giá trị nhỏ nhất khi \(a = \frac{{60}}{{\pi + 4}}\).
\( \Rightarrow \,\,\,\pi r = 30 - 2.\frac{{60}}{{\pi + 4}} = \frac{{30\pi }}{{\pi + 4}}\)\( \Rightarrow \,\,\,r = \frac{{30}}{{\pi + 4}}\)
Khi đó: \(\frac{a}{r} = \frac{{60}}{{\pi + 4}}:\frac{{30}}{{\pi + 4}} = 2\).
Kết luận: \(\frac{a}{r} = 2\).
SAI\(a = \frac{{15}}{2},\,r = \frac{{15}}{{2\pi }}\).
Diện tích hình vuông là \({S_1} = {\left( {\frac{{15}}{2}} \right)^2} = \frac{{225}}{4} = 56,25c{m^2}\)
Diện tích hình tròn là \({S_2} = \pi {r^2} = \frac{{225}}{{4\pi }} \approx 17,9c{m^2}\)
SAI.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một nhà máy sản xuất \(x\) sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi hàm chi phí \(C\left( x \right) = 16000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}\) (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm \(x\) và được cho bởi công thức \(p\left( x \right) = 1700 - 7x\) (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ tiêu thụ hết.
+) Số tiền nhà máy thu được khi bán hết \(x\) sản phẩm là: \(x.p\left( x \right) = 1700x - 7{x^2}\) (nghìn đồng)
Lợi nhuận nhà máy thu được khi sản xuất và bán hết \(x\) sản phẩm là: \(x.p\left( x \right) - C\left( x \right) = - 0,004{x^3} - 5,4{x^2} + 1200x - 16000\) (với \(x > 0\)).
+) Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 0,004{x^3} - 5,4{x^2} + 1200x - 16000\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có \(f'\left( x \right) = - 0,012{x^2} - 10,8x + 1200\); \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 100\\x = - 1000\end{array} \right.\]
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0\,;\, + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {100} \right) = 46000\) (nghìn đồng).
Vậy mỗi tháng nhà máy nên sản xuất \(100\) sản phẩm thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ). Dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích bằng \(a.\pi \left( {c{m^3}} \right),a \in {\mathbb{N}^*}\). Giá trị lớn nhất của \(a\) là bao nhiêu?
Gọi \(x(\;cm);y(\;cm)\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ \((x,y > 0;x < 30)\).
Độ dài dải dây ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 120 cm.
Ta có: \((2x + y) \cdot 4 = 120 \Leftrightarrow y = 30 - 2x > 0 \Rightarrow 0 < x < 15\).
Thể tích khối hộp quà là: \(V = \pi {x^2} \cdot y = \pi {x^2}(30 - 2x)\). Thể tích \(V\) lớn nhất khi hàm số \(f(x) = {x^2}(30 - 2x)\), \((0 < x < 15)\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \({f^\prime }(x) = - 6{x^2} + 60x\);
Cho \({f^\prime }(x) = - 6{x^2} + 60x = 0 \Rightarrow x = 10\).
Lập bảng biến thiên ta thấy thể tích đạt GTLN là: \(V = \pi \cdot f(10) = 1000\pi \left( {\;c{m^3}} \right)\)
Một cửa hàng trung bình bán được 100 cái Tivi mỗi tháng với giá 14 triệu đồng một cái. Chủ cửa hàng nhận thấy rằng, nếu giảm giá bán mỗi cái 500 ngàn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm 10 cái mỗi tháng. Hỏi cửa hàng nên bán với giá bao nhiêu để doanh thu cửa hàng là lớn nhất?
Giả sử cần giảm giá bán mỗi cái tivi là \(x\) triệu đồng \(\left( {x < 14} \right)\).
Do giảm giá bán mỗi cái 500 ngàn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm 10 cái mỗi tháng nên số lượng tivi bán ra tăng lên bây giờ là: \(\frac{{10x}}{{0,5}} = 20x\).
Khi đó, doanh thu một tháng của cửa hàng là \(\left( {100 + 20x} \right).\left( {14 - x} \right) = - 20{x^2} + 180x + 1400\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 20{x^2} + 180x + 1400\,\,\left( {x < 14} \right)\)
Ta có \(f'\left( x \right) = - 40x + 180\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 4,5\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy: Để doanh thu cửa hàng đạt cao nhất thì giá bán mỗi cái tivi là \(14 - 4,5 = 9,5\) triệu đồng
Hai chiếc kinh khí cầu A và B bay lên từ cùng một vị trí O trên mặt đất. Sau một khoảng thời gian, kinh khí cầu A nằm cách điểm xuất phát \(4\,km\) về phía Đông và \(3\,km\) về phía Nam, đồng thời cách mặt đất \(1\,km\); kinh khí cầu B nằm cách điểm xuất phát \(1\,km\) về phía Bắc và \(1\,,5\,km\) về phía Tây, đồng thời cách mặt đất \(0,8\,km\)(hình minh họa bên dưới). Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai kinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai kinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho điểm xuất phát là gốc \(O\) như hình vẽ trên.
Khi đó tọa độ hai kinh khí cầu là \(A\left( {3;4;1} \right),B\left( { - 1; - \frac{3}{2};\frac{4}{5}} \right)\)
Gọi \(M\)là vị trí người quan sát và \(B'\left( { - 1; - \frac{3}{2}; - \frac{4}{5}} \right)\) là điểm đối xứng với \(B\) qua mặt phẳng \((Oxy)\).
Khi đó \(MA + MB = MA + MB' \ge AB' = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {4 + \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {1 + \frac{4}{5}} \right)}^2}} \approx 7,03\,km\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(M,A,B'\) thẳng hàng và \(M\) thuộc đoạn \(AB'\). Điều này luôn xảy ra.
Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc 1200 và có độ lớn lần lượt là 10 N và 8 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 6 N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Gọi \({\vec F_1},{\vec F_2},{\vec F_3}\) lần lượt là ba lực tác động vào một vật đặt tại điểm \(O\) như Hình.
Ta có \({\vec F_1} = \overrightarrow {OA} ,{\vec F_2} = \overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {OC} \).
Độ lớn các lực: \({F_1} = OA = 10\;N,{F_2} = OB = 8\;N\), \({F_3} = OC = 6\;N\).
Dựng hình bình hành \(OADB\). Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \).
Suy ra \({\overrightarrow {OD} ^2} = {(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} )^2} = {\overrightarrow {OA} ^2} + {\overrightarrow {OB} ^2} + 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} \).
Mà \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = OA \cdot OB \cdot \cos (\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} )\), suy ra OD2=OA2+OB2+2⋅OA⋅OB⋅cos120°
Dựng hình bình hành \(ODEC\).
Tổng lực tác động vào vật là \(\vec F = \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \).
Độ lớn của hợp lực tác động vào vật là \(F = OE\).
Vì \(OC \bot (OADB)\) nên \(OC \bot OD\), suy ra \(ODEC\) là hình chữ nhật.
Do đó tam giác \(ODE\) vuông tại \(D\).
Khi đó, OE2=OC2+OD2=OC2+OA2+OB2+2⋅OA⋅OB⋅cos120°
Suy ra OE=OC2+OA2+OB2+2⋅OA⋅OB⋅cos120°
=62+102+82+2⋅10⋅8⋅cos120°≈11
Do đó \(F = OE \approx 11\;N\).
Giám đốc một nhà hát A đang phân vân trong việc xác định mức giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng nó sẽ quyết định nhà hát thu được bao nhiêu lợi nhuận từ các buổi trình chiếu. Theo những cuốn sổ ghi chép của mình, ông ta xác định được rằng: nếu giá vé vào cửa là \(20\) USD/người thì trung bình có \(1000\) người đến xem. Nhưng nếu tăng thêm \(1\) USD/người thì sẽ mất \(100\) khách hàng hoặc giảm đi \(1\) USD/người thì sẽ có thêm \(100\) khách hàng trong số trung bình. Biết rằng, trung bình, mỗi khách hàng còn đem lại \(2\) USD lợi nhuận cho nhà hát trong các dịch vụ đi kèm. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa là bao nhiêu để thu nhập là lớn nhất.
Gọi giá vé sau khi điều chỉnh là \(20 + x\)
Số khách là:\(1000 - 100x\)
Tổng thu nhập
\(f\left( x \right) = \left( {20 + x + 2} \right)\left( {1000 - 100x} \right) = \left( {22 + x} \right)\left( {1000 - 100x} \right) = - 100{x^2} - 1200x + 22000\)
Bảng biến thiên
\[\mathop {\max }\limits_{\left( { - 20; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 6} \right)\]. Suy ra giá vé là: \(x + 20 = 20 - 6 = 14\) USD
