Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 14
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) và có bảng biến thiên bên dưới. Tìm giá trị lớn nhất \(M\)và giá trị nhỏ nhất \(m\)của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\).
\(M = 1;\;m = - 1\).
\(M = 3;\;m = - 4\).
\(M = - 1;\;m = 1\)
\(M = 3;\;m = - 3\).
\(14\).
\(100\).
\(2\).
\(10\).
Áp dụng công thức ta có \(AB = 10\).
\[\left( {2\,;\,1\,;\,0} \right)\].
\[\left( {2\,;\,0\,;\,1} \right)\].
\[\left( {0\,;\,4\,;\,3} \right)\].
\[\left( {5\,;\, - 6\,;\,8} \right)\].
![Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên sau Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là A. \(3.\) B. \(1.\) C. \(4.\) D. \(2.\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/16-1761646679.png)
\(3.\)
\(1.\)
\(4.\)
\(2.\)
Từ bảng biến thiên ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0\;\; \Rightarrow \] Tiệm cận ngang của đồ thị là \[y = 0.\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty \; \Rightarrow \] Tiệm cận đứng của đồ thị là \[x = 0.\]
Vậy, tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2.
\(\left( { - 2\,;\,0\,} \right)\).
\(\left( {0\,;\,1\,} \right)\).
\(\left( { - 2\,;\, - 1\,} \right)\).
\(\left( { - 1\,;\,0\,} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f(x)\), ta thấy hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1\,;\,0\,} \right)\).
\[\left( {6\;;\;0\;;\; - 6} \right).\]
\[\left( { - 6\;;\;6\;;\;0} \right).\]
\[\left( {0\;;\;6\;;\; - 6} \right).\]
\[\left( {6\;;\; - 6\;;\;0} \right).\]
Ta có
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_d} = {x_a} + {x_b} - {x_c} = 1 + 3 - \left( { - 2} \right) = 6;\\{y_d} = {y_a} + {y_b} - {y_c} = - 1 + 0 - 5 = - 6;\\{z_d} = {z_a} + {z_b} - {z_c} = 2 + \left( { - 1} \right) - 1 = 0;\end{array} \right.\\ \Rightarrow \overrightarrow d = \left( {6\;;\; - 6\;;\;0} \right).\end{array}\]
\(a = 11\).
\(a = \frac{5}{2}\).
\(a = \frac{3}{2}\).
\(a = 10\).
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6ax = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2a\end{array} \right.\)
Khi đó bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;a} \right]\)
![Tìm \(a\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3a{x^2} + a - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;a} \right]\) bằng 10, biết \(a > 0\). A. \(a = 11\). B. \(a = \frac{5}{2}\). C. \(a = \frac{3}{2}\). D. \(a = 10\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/18-1761646953.png)
Từ bảng biến thiên của hàm số ta được \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;a} \right]} y = 10 = y(0) = a - 1 \Rightarrow a = 11.\)
\(D\left( {1;8;2} \right)\).
\(D\left( {11;2;2} \right)\).
\(D\left( {11;2; - 2} \right)\).
\(D\left( {1;8; - 2} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Đặt \(D\left( {x;y;z} \right)\).
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {5; - 3; - 2} \right)\], \[\overrightarrow {AB} = \left( {6 - x;5 - y; - z} \right)\] suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}6 - x = 5\\5 - y = - 3\\ - z = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\\z = 2\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ đỉnh \(D\) là \(D\left( {1;8;2} \right)\).
\[y = \frac{{x + 1}}{{2x - 1}}\].
\[y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\].
\[y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\].
\[y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}\].
Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - 1\), tiệm cận ngang \(y = 2\), đồng biến trên từng khoảng xác định \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Đồ thị hàm số\[y = \frac{{x + 1}}{{2x - 1}}\] có tiệm cận đứng \(x = \frac{1}{2}\), tiệm cận ngang \(y = \frac{1}{2}\), do đó đáp án A sai.
Đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\]có tiệm cận đứng \(x = - 1\), tiệm cận ngang \(y = 2\).
Hơn nữa, \({y^\prime } = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\), \(\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\); do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Chọn đáp án B
\(0\).
\(2\).
\(3\).
\(1\).
Xét \(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 2} \right)^2}\). Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm suy ra hàm số có một cực trị.
\[\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} \].
\[\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC} \].
\[\overrightarrow {BD'} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} \].
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \].
Lý thuyết quy tắc hình hộp, bắt đầu từ đỉnh \(B\).
\(a < 0,\;b > 0,\;c = 1\).
\(a > 0,\;b > 0,\;c > 0\).
\[a > 0,\,\,b < 0,\,\,c = 1\].
\[a > 0,\,\,b > 0,\,\,c = 1\].
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Đồ thị hướng lên nên \(a > 0\), đáp án C loại
+Với \(x = 0\) \( \Rightarrow y = c = 1\)nên đáp án D loại
+Có 3 cực trị nên \(ab < 0\) suy ra \(b < 0\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có điểm cực tiểu \({x_1}\) và điểm cực đại \({x_2}\). Khi đó
\(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)\)là các cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\);
\({x_1} < {x_2}\);
\(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
\({x_1}\)và \({x_2}\) là các điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\);
a) | Đ | b) | S | c) | S | d) | Đ |
a/ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
b/ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)
c/ và d/ Lấy phản ví dụ hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là .
Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\), \(y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;0} \right)\).
Đồ thị \[\left( C \right)\] có đường tiệm xiên \(y = x + 2\).
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có toạ độ là:\(\left( {2;2} \right)\).
a) | Đ | b) | Đ | c) | S | d) | Đ |
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng \[x = 2\] nên tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).Đúng.
Dựa vào đồ thị nhận thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;0} \right)\).Sai.
Đồ thị \[\left( C \right)\] có đường tiệm \(y = x\) vì đường tiệm cận xiên đi qua các điểm \(\left( {0;0} \right);\left( {2;2} \right)\).Đúng.
Đồ thị \[\left( C \right)\]của hàm số có tâm đối xứng là \(I\left( {2;2} \right)\).
Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá \(30\,000\) đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình \(3000\) chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá \(30\,000\) đồng mà cứ tăng giá thêm \(1000\) đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn \(100\) chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là \(18\,000\).
Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi chiếc khăn lãi \[21000\] đồng.
Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá \[39000\] đồng.
Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần tăng thêm \[10000\] đồng.
Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm \[800\] chiếc.
a) | S | b) | Đ | c) | Đ | d) | S |
Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là \(x\).
Vì cứ tăng giá thêm \(1\) thì số khăn bán ra giảm \(100\) chiếc nên tăng \(x\) thì số xe khăn bán ra giảm \(100x\) chiếc.
Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: \(3000 - 100x\) chiếc.
Lúc đầu bán với giá \(30\), mỗi chiếc khăn có lãi \(12\). Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: \(12 + x\).
Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:
\(f\left( x \right) = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1800x + 36000\).
\(f'\left( x \right) = - 200x + 1800\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 200x + 1800 = 0 \Leftrightarrow x = 9\)
Lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi
\[x = 9\]
Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là \(9\,000\) đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là\(39\,000\) đồng.
Toạ độ của vectơ\[2\overrightarrow a - \overrightarrow j \] là \[\left( {4;2; - 6} \right)\].
Toạ độ của vectơ \[\overrightarrow a \] là \[\left( {2;1; - 3} \right)\].
Độ dài của vectơ \[\overrightarrow a \] là \[14\].
Trong không gian \(Oxyz,\) biết \(\overrightarrow u = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Khi đó toạ độ của vectơ \[\overrightarrow u \] là \[\left( {x;y;z} \right)\].
a) | S | b) | Đ | c) | S | d) | Đ |
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
![Lát cắt ngang của một vùng đất ven biển được mô hình hoá thành một hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ (đơn vị độ dài trên các trục là km). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/3-1761647380.jpg)
Biết khoảng cách hai bên chân đồi \(OA = 2\,\,{\rm{km}}\), độ rộng của hồ \(AB = 1\,\,{\rm{km}}\) và ngọn đồi cao \[528\,\,{\rm{m}}\]. Tìm độ sâu của hồ (tính bằng mét) tại điểm sâu nhất? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Theo đề bài ta có : \(OA = 2\,\,{\rm{km}}\), \(OB = 3\,\,{\rm{km}}\) và \[528\,\,{\rm{m = 0,528}}\,\,{\rm{km}}\].
Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] đi qua các điểm \(O\left( {0\,;\,\,0} \right)\), \(A\left( {2\,;\,\,0} \right)\,,\,\,C\left( {3\,;\,\,0} \right)\) suy ra\(y = f\left( x \right) = ax\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = a\left( {{x^3} - 5{x^2} + 6x} \right)\) với \(a > 0\).
Ta có : \(y' = a\left( {3{x^2} - 10x + 6} \right)\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt 7 }}{3}\\x = \frac{{5 - \sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\).
Từ độ cao của đồi ta có tại vị trí điểm cực đại suy ra \(a = \frac{{0,528}}{{{{\left( {\frac{{5 - \sqrt 7 }}{3}} \right)}^3} - 5.{{\left( {\frac{{5 - \sqrt 7 }}{3}} \right)}^2} + 6.\left( {\frac{{5 - \sqrt 7 }}{3}} \right)}} \approx 0,25\).
Điểm sâu nhất của hồ ứng với vị trí của điểm cực tiểu \({x_{CT}} = \frac{{5 + \sqrt 7 }}{3}\,,\,\,{y_{CT}} \approx 0,1578\).
Vậy độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất xấp xỉ \(0,1578\,\,{\rm{km}}\) hay xấp xỉ \(158\,\,{\rm{m}}\).
Nước muối tinh khiết: \(30.40.{\kern 1pt} {\kern 1pt} t{\kern 1pt} \,\) (gam).
Nồng độ muối sau \(t\) phút: \(f\left( t \right) = \frac{{30.40.t}}{{30t + 3000}}\)
Khi t càng lớn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{30.40.{\kern 1pt} {\kern 1pt} t}}{{30t + 3000}} = 40\)(gam/lít)
Doanh số bán hàng của một loại sản phẩm (chục triệu đồng) trong một phiên livestream bán hàng kéo dài sáu giờ theo quy luật hàm số \(f(t) = \frac{{3t}}{{{e^{\frac{t}{2}}}}},0 \le t \le 6\) trong đó thời gian \(t\) được tính bằng giờ kể từ khi bắt đầu livestream.
Khi đó, đạo hàm \(f\prime (t)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ khi bắt đầu phiên livestream thì doanh số bán hàng là lớn nhất?
Ta có: \(f\prime (t) = \frac{{6 - 3t}}{{2{e^{\frac{t}{2}}}}}\)
\(f\prime (t) = 0 \Leftrightarrow 6 - 3t = 0 \Leftrightarrow t = 2\)
Ta có bảng biến thiên với \(t \in \left[ {0;6} \right]\):
Vì \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng với \(\overrightarrow k \) và \(OA = 10\)nên \(\overrightarrow {OA} = 10\overrightarrow k \).
Xét \(\Delta OBH\) vuông tại \(H\), có \(BH = OB.\sin {30^0} = 15.\frac{1}{2} = 7.5m\).
\(OH = OB.cos{30^0} = 7.5\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}m\).
Vì \(\overrightarrow {OH} \) cùng hướng với \(\overrightarrow j \) và \(OK = 7.5\)nên \(\overrightarrow {OH} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\overrightarrow j \).
Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} - \overrightarrow {OA} = 7.5\overrightarrow i + \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\overrightarrow j - 10\overrightarrow k \).
Do đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {7.5;\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\).
Vậy \(x + 2y - z = 7.5 + 2.\frac{{15\sqrt 3 }}{2} + 10 \simeq 43.5m\).
Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình \[s\left( t \right) = - {t^3} + 6{t^2} + t + 5\], Trong đó \[t\] tính bằng giây và \[s\] tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?
Xét hàm số \[s\left( t \right) = - {t^3} + 6{t^2} + t + 5\]\[\left( {t > 0} \right)\],
Ta có \[v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t + 1\];
Khi đó \[v'\left( t \right) = - 6t + 12\];
\[v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2\]
Bảng biến thiên của hàm số \[v\left( t \right)\] như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \[\mathop {max}\limits_{\left( {0;5} \right]} v\left( t \right) = v\left( 2 \right) = 13\].
Vậy vận tốc tức thời của chất điểm lớn nhất bằng \[13\,m/s\] tại \[t = 2\] giây.
