Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 15
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có bảng biến thiên trên \(\left( { - 3;5} \right]\) như sau:
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[\mathop {\min }\limits_{\left( { - 3;5} \right]} f\left( x \right) = - 3\].
\[\mathop {\max }\limits_{\left( { - 3;5} \right]} f\left( x \right) = 2\].
\[\mathop {\max }\limits_{\left( { - 3;5} \right]} f\left( x \right) = 7\].
\[\mathop {\min }\limits_{\left( { - 3;5} \right]} f\left( x \right) = - 5\].
Chọn C
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên ở hình vẽ. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
\(2\).
\(1\).
\(3\).
\(4\).
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \) nên đồ thị có tiệm cận đứng \(x = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5\) nên đồ thị có tiệm cậng ngang \(y = 5\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2\) nên đồ thị có tiệm cậng ngang \(y = 2\).
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là \(3\).
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm\[A\left( { - 1;2;0} \right)\], \[B\left( {3;1;0} \right)\], \[C\left( {0;2;1} \right)\]và \[D\left( {1;2;2} \right)\]. Trong đó có 3 điểm thẳng hàng là
\[B,C,D\].
\[A,B,C\].
\[A,B,D\].
\[A,C,D\].
Chọn D
\(\overrightarrow {AB} = \left( {4;\, - 1;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;\,0;\,1} \right)\), \(\overrightarrow {AD} = \left( {2;0;2} \right)\).
Nhận thấy rằng \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \) \[A,\,C,\,D\] thẳng hàng.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 2z - 7 = 0\). Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
\(9\).
\(\sqrt {15} \).
\(3\).
\(\sqrt 7 \).
Chọn C
Ta có \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 7} \right)} = 3\).
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?
\(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\).
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\).
\(y = {x^3} - 3x\).
\(y = {x^3} + 3x + 4\).
Chọn D
Xét đáp án A có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\), \(\forall x \ne - 2\) nên loại.
Xét đáp án B có \(y' = 3{x^2} + 3 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên thỏa mãn.
Xét đáp án C có \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0\), \(\forall x \ne - 3\) nên loại.
Xét đáp án D có \(y' = 3{x^2} - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) nên loại.
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 3} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {2;5;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 9\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 6\).
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 4\).
\(2\int {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{{2\left( {t + 3} \right)}}{{{t^2} + 4}} + C \Rightarrow \int {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{{t + 3}}{{{t^2} + 4}} + C'\).
Chọn B
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b \)\( = 2.2 + 1.5 - 3.1\)\( = 6\).
Có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\)mà khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai trục tọa độ bằng nhau?
\(4\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Chọn D
Tập hợp các điểm cách đều hai trục tọa độ là hai đường thẳng \(y = \pm x\).
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\)và đường thẳng \(y = x\)là:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = x\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x - 1 = 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 5 \\x = 2 - \sqrt 5 \end{array} \right.\).
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\)và đường thẳng \(y = - x\)là:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = - x\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 1 = 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1\).
Vậy có \(3\)điểm trên đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\)mà khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai trục tọa độ bằng nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( {2;3;0} \right)\). Biết rằng tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H\left( {0;3;2} \right)\) tìm tọa độ của điểm\(C\).
\(C\left( {3;2;3} \right)\).
\(C\left( {4;2;4} \right)\).
\(C\left( {2;2;2} \right)\).
\(C\left( {1;2;1} \right)\).
Chọn D
Gọi \(C\left( {a;b;c} \right)\). Ta có \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.\)
\(\overrightarrow {AH} = \left( { - 1;2;1} \right)\), \(\overrightarrow {BH} = \left( { - 2;0;2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {a - 1;b - 1;c - 1} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {a - 2;b - 3;c} \right)\),
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2c + b - 3, - a - c + 2,b - 2a + 1} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - a + 2 + 2b - 6 + c = 0\\ - 2a + 2 + 2c - 2 = 0\\ - 2c - b + 3 - 2a - 2c + 4 + b - 2a + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + 2b + c = 4\\ - 2a + 2c = 0\\ - 4a - 4c = - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.\)
Vậy \(C\left( {1;2;1} \right)\).
Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\], gọi \[M\] là trung điểm cạnh bên \[BB'\]. Đặt \[\overrightarrow {CA} = \vec a\], \[\overrightarrow {CB} = \vec b\], \[\overrightarrow {CC'} = \vec c\]. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\[\overrightarrow {AM} = \vec a + \frac{1}{2}\vec b - \vec c\].
\[\overrightarrow {AM} = \vec a - \frac{1}{2}\vec b + \vec c\].
\[\overrightarrow {AM} = - \vec a + \vec b + \frac{1}{2}\vec c\].
\[\overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\vec a + \vec b + \vec c\].
Chọn C
Ta có: \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB'} - \overrightarrow {CA} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CB'} - 2\overrightarrow {CA} } \right)\].
Theo quy tắc hình bình hành ta lại có: \[\overrightarrow {CB'} = \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {CB} \].
Do đó: \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {2\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CC'} - 2\overrightarrow {CA} } \right)\]\[ = - \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CC'} \]\[ = - \vec a + \vec b + \frac{1}{2}\vec c\].
Cho hàm số\(f\left( x \right)\)có \(f'(x) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\). Hàm số \(f\left( x \right)\)đạt cực tiểu tại điểm nào?
\(x = 2\).
\(x = - 1\).
\(x = 3\).
\(x = 1\).
Chọn A
Ta có \(f'(x) = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 1\\x = 2\end{array} \right..\)
BXD \(f'(x)\):
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f'(x)\) đổi dấu từ \(\left( - \right)\)sang \(\left( + \right)\)tại \(x = 2\)do đó hàm số \(f\left( x \right)\)đạt cực tiểu tại \(x = 2.\)
Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?
\[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\].
\[y = \frac{{x + 2}}{{1 + x}}\].
\[y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\].
\[y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}\].
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định và có 2 đường tiệm cận đứng và ngang lần lượt là \(x = - 1\) và \(y = 2\).
\[y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}\]\( \Rightarrow y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( < 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) \( \Rightarrow \) Loại đáp án A.
\[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\]\( \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\( > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) \( \Rightarrow \)
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - {m^2}}}\) (m là tham số thực) thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} y = \frac{1}{2}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(m \le - 2\).
\( - 2 < m \le 3\).
\(m > 4\).
\(3 < m \le 4\).
Chọn B
+TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {{m^2}} \right\},\left[ { - 3; - 2} \right] \subset D\).
+ Ta có \(y' = \frac{{ - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - {m^2}} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\). Nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} y = \frac{1}{2} = y\left( { - 2} \right) = \frac{{ - 2 + 1}}{{ - 2 - {m^2}}} \Rightarrow - 2 - {m^2} = - 2 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow - 2 < m \le 3\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Khi bỏ qua sức cản của không khi, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất \(2\;{\rm{m}}\)với vận tốc ban đầu \(88,2{\rm{ km/h}}\) là \(h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\left( {a < 0} \right)\) trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu vật được phóng lên. Biết sau 1 giây kể từ lúc được phóng lên vận tốc của vật đạt được là \(14,7{\rm{ m/s}}\).
a) Độ cao đạt được của vật sau 2 giây kể từ lúc bắt đầu được phóng lên là \(31,4{\rm{ m}}\).
b) Sau 3 giây vật đạt độ cao lớn nhất.
c) Vật tốc của vật tăng trong khoảng thời gian \(t \in \left[ {0;3} \right]\).
d) Vận tốc của vật lúc chạm đất làm tròn đến hàng phần trăm là \( - 25,29\,\,\left( {{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)\).
a) | Đ | b) | S | c) | S | d) | Đ |
Đổi \(88,2{\rm{ km/h}} = 24,5{\rm{ m/s}}\).
Theo giả thiết ta có \(h\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow c = 2\).
Vận tốc của vật tại thời điểm t giây là \(v(t) = h'\left( t \right) = 2at + b\).
Có \(v\left( 0 \right) = 24,5{\rm{ m/s}} \Rightarrow b = 24,5\)
Sau 1 giây kể từ lúc được phóng lên vận tốc của vật đạt được là \(14,7{\rm{ m/s}}\)nên ta có \(v\left( 1 \right) = 14,7 \Rightarrow 2a.1 + b = 14,7 \Rightarrow a = - 4,9\)(vì \(b = 24,5\)).
Suy ra \(h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\).
Vậy ta có độ cao đạt được của vật sau 2 giây là \(h\left( 2 \right) = 31,4{\rm{ m}}\).Xét hàm số: \(h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\).
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \[h'\left( t \right) = - 9,8t + 24,5;\,\,h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 9,8t + 24,5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\]
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(t = \frac{5}{2}\)
Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là \(t = \frac{5}{2}\) giây.Vật tăng tốc khi \[v\left( t \right) = - 9,8t + 24,5 > 0 \Leftrightarrow t < \frac{5}{2}\]. Do đó vật tăng tốc trong khoảng
thời gian từ 0 đến \(2,5\) giây.Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là \(v\left( t \right) = h'\left( t \right) = 24,5 - 9,8t\,\,\left( {{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)\)
Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là \(h = 2 + 24,5t - 4,9{t^2} = 0\) hay \({t_0} = \frac{{35 + 3\sqrt {145} }}{{14}} \approx 5,08\) (giây).
Vận tốc của vật lúc chạm đât là \(v\left( {{t_0}} \right) = 24,5 - 9,8 \cdot {t_0} = - 25,29\,\,\left( {{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm hai điểm \[M\left( {2;0;3} \right)\] và \(N\) thỏa mãn \(\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k \).
a) Tích vô hướng của hai vectơ\[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {ON} \] bằng \[0\].
b) Toạ độ của điểm là \[N\left( {2;2;1} \right)\].
c) Độ dài đoạn thẳng \[MN\] bằng \[4\].
d) Toạ độ của vectơ \[\overrightarrow {MN} \] là \[\left( {0;2; - 2} \right)\].
a) | S | b) | Đ | c) | S | d) | Đ |
a) Ta có \(\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow N\left( {2;2;1} \right)\) nên a) đúng.\[M\left( {2;0;3} \right)\], \[N\left( {2;2;1} \right)\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} \left( {0;2; - 2} \right)\] nên b) đúng.\[\overrightarrow {MN} \left( {0;2; - 2} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \]nên
c) sai\[\overrightarrow {MN} \left( {0;2; - 2} \right)\], \(\overrightarrow {ON} \left( {2;2;1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {ON} = 0.2 + 2.2 + \left( { - 2} \right).1 = 2\) nên d) sai.
Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng khoảng \(\left( { - 2, - 1} \right)\) và \(\left( { - 1,0} \right)\).
b) Đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận xiên đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\).
c) Đồ thị \(\left( C \right)\) không cắt trục \(Ox\).
d) Hàm số có hai điểm cực trị.
a) | Đ | b) | Đ | c) | S | d) | Đ |
Ta có \(y = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\) có đạo hàm \(y' = \frac{{ - x - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có bảng biến thiên:
(a) Đúng: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng khoảng \(\left( { - 2, - 1} \right)\) và \(\left( { - 1,0} \right)\)
(b) Đúng: Hàm số có hai điểm cực trị.
(c) Sai: Mặt khác \(y = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Vậy phương trình \((*)\) luôn có hai nghiệm phân biệt. Hay \((C)\) luôn cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt.
(d) Đúng: Tiệm cận xiên của đồ thị là \(y = - x + 2\) nên đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax - 1}}{{bx + c}}\) với \(a,b,c \in \mathbb{R}\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
a) \(c \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right).\)
c) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn \(\frac{1}{2}\).
d) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng \(x = \frac{1}{2}\).
a) | Đ | b) | Đ | c) | Đ | d) | S |
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(f\left( 0 \right)\). Dựa vào bảng biển thiên, ta thấy \(f\left( 0 \right) < \frac{1}{2}\)
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng \(x = 3\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(f\left( 0 \right) = \frac{{ - 1}}{c} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{c + 2}}{{2c}} > 0 \Leftrightarrow c \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một em nhỏ cân nặng \(m = 25\;\)kg trượt trên cầu trượt dài \(3,5\;\)m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \(30^\circ \)
Độ lớn của trọng lực là \(\vec P = m.\vec g\) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do \(\vec g\) có độ lớn là \(g = 9,8\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\). Cho biết công \(A\left( J \right)\) sinh bởi một lực \(\vec F\) có độ dịch chuyển \(\vec d\) được tính bởi công thức \(A = \vec F.\vec d\). Hãy tính công sinh bởi trọng lực \(\vec P\) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt. (Làm tròn đến hàng đơn vị)
Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: \(P = mg\cos 60^\circ = 25.9,8 \cdot \frac{1}{2} = 122,5\)N
Công sinh bởi trọng lực \(\vec P\) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là:
\(A = \vec F.\vec d = Pd\cos 60^\circ = 122,5.3,5.\frac{1}{2} = 214,375\)(J)
Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c\) là các hệ số. Trong đó \(x\;\left( {0 \le x \le 9,x \in \mathbb{N}} \right)\) là số tháng kể từ đầu năm học và \(f\left( x \right)\) là điểm trong tháng thứ \(x\). Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức điểm thấp nhất trong năm học là 3 điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.
Dựa vào đề bài ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 19\\f'\left( 3 \right) = 0\\f\left( 3 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 28\\6a + b = - 27\\9a + 3b + c = - 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = - 9\\c = 30\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 30 \Rightarrow f\left( 6 \right) = 84\).
Sự tăng trưởng của một loại virut được xác định bởi hàm số \(p\left( t \right) = \frac{{800}}{{1 + 7{{\rm{e}}^{ - 0,2t}}}}\), trong đó \(t\) là thời gian được tính theo ngày. Ở ngày thứ bao nhiêu thì tốc độ tăng trưởng của loài virut trên là lớn nhất?
Tốc độ tăng trưởng của virut được tính theo hàm số \(y = p'\left( t \right) = \frac{{1120.{{\rm{e}}^{0,2t}}}}{{{{\left( {{{\rm{e}}^{0,2t}} + 7} \right)}^2}}}\), \(t \ge 0\).
Xét hàm số \(y = g\left( t \right) = \frac{{1120.{{\rm{e}}^{0,2t}}}}{{{{\left( {{{\rm{e}}^{0,2t}} + 7} \right)}^2}}}\), có \(g'\left( t \right) = \frac{{224.{{\rm{e}}^{0,2t}}\left( {7 - {{\rm{e}}^{0,2t}}} \right)}}{{{{\left( {{{\rm{e}}^{0,2t}} + 7} \right)}^3}}}\).
\(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 7 - {e^{0,2t}} = 0 \Leftrightarrow t = 5\ln 7 \approx 9,7\).
Ta có bảng dấu của \(g'\left( t \right)\) như sau:
Dựa vào bảng trên ta thấy tốc độ tăng trưởng của virut sẽ đạt lớn nhất ở ngày thứ 10.
Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp \(AB\) trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng \(1\;m\). Tìm được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {a;b;c} \right)\). Khi đó tính \(a + c\)
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = 10\vec k \Rightarrow A\left( {0;0;10} \right)\) và \(OH = OB.\cos 30^\circ = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\); \(OK = OB.\cos \left( {90^\circ - 30^\circ } \right) = \frac{{15}}{2}\)
\[ \Rightarrow {\rm{ }}B\left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\]. Vậy \(a + c = 2,5\)
Từ một tấm tôn có hình dạng là nửa hình tròn bán kính \(R = 5\), người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật. Diện tích lớn nhất có thể của tấm tôn hình chữ nhật là bao nhiêu?
Đăt \(OA = x \Rightarrow AB = 2x\) (\(0 < x < 5\)).
\( \Rightarrow AD = \sqrt {O{D^2} - O{A^2}} = \sqrt {25 - {x^2}} \).
Diện tích hình chữ nhật \(ABC{\rm{D}}\) là \(S = AB.AD = 2x\sqrt {25 - {x^2}} \).
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = 2x\sqrt {25 - {x^2}} \) trên \(\left( {0;5} \right)\), ta có
\(f'\left( x \right) = 2\sqrt {25 - {x^2}} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{50 - 4{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 50 - 4{x^2} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \in (0;5)}\\{x = \frac{{ - 5\sqrt 2 }}{2} \notin (0;5)}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên
Vậy diện tích lớn nhất của tấm nhôm hình chữa nhật là \(S = 25\) khi \(x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Nồng độ \(C\) của một hoá chất sau \(t\) giờ tiêm vào cơ thể được xác định bởi công thức \(C\left( t \right) = \frac{{3t}}{{27 + {t^3}}}\) với \(t \ge 0\). Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong máu là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Ta có \(C'\left( t \right) = \frac{{3\left( {27 + {t^3}} \right) - 3t.3{t^2}}}{{{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^2}}} = \frac{{81 - 6{t^3}}}{{{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^2}}}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}C'\left( t \right) = 0\\t \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{3}{{\sqrt[3]{2}}}\).
Ta có bảng biến thiên
Do đó ở thời điểm \(\frac{3}{{\sqrt[3]{2}}} \approx 2,38\) giờ thì nồng độ của hoá chất trong máu là lớn nhất.
