Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 19
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho 2 vec tơ \(\overrightarrow u = \left( {x;y;z} \right),\overrightarrow v = \left( {x';y';z'} \right).\) Tìm công thức đúng.
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\left| {x.x' + y.y' + z.z'} \right|}}{{\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} + \sqrt {\left( {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} \right)} }}.\)
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\left| {x.x' + y.y' + z.z'} \right|}}{{\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right).\left( {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} \right)} }}.\)
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{x.x' + y.y' + z.z'}}{{\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} + \sqrt {\left( {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} \right)} }}.\)
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{x.x' + y.y' + z.z'}}{{\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right).\left( {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} \right)} }}.\)
Chọn D
\(10\).
\(f\left( 2 \right)\).
\(6\).
\( - 2\).
Dựa vào bảng biên thiên trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) ta có giá trị lớn nhất \(M = 4\)và giá trị nhỏ nhất \(m = - 3\).
Vậy: \(M - 2m = 4 + 6 = 10\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {0;2} \right]\).
Đạo hàm \(y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\) với \(0 < x < 2\).
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left( {0;2} \right)\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
\(2\).
\(4\).
\(3\).
\(1\).
\[\mathop {\lim }\limits_{\,\,\,\,x \to \pm \infty } y = 1 \Rightarrow y = 1\]là ttiệm cận ngang của đồ thị \(y = f\left( x \right)\).
\[\mathop {\lim }\limits_{\,\,\,\,\,x \to - {2^ + }} y = - \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{\,\,\,\,\,\,x \to - {2^ - }} y = + \infty \Rightarrow x = - 2\] là đường tiệm cận đứng của đồ thị .
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
\(3\).
\(\sqrt 5 \).
\(9\).
\(\sqrt {29} \).
\[R = 2\].
\[R = \sqrt 5 \].
\[R = 25\].
\[R = 5\].
Tâm của mặt cầu là \(I\left( {4; - 2; - 1} \right)\).
Bán kính mặt cầu bằng \(R = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 4} \right)} = \sqrt {25} = 5\).
\[D\left( { - 2;\,2;\,5} \right)\].
\[D\left( {0;\,2;\, - 1} \right)\].
\[D\left( { - 2;\, - 2;\,5} \right)\].
\[D\left( {2;\,2;\, - 5} \right)\].
Gọi \(D\left( {x;\,y;\,z} \right)\).
\(ABCD\) là hình bình hành\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = - 3}\\{y + 1 = - 1}\\{z = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{y = - 2}\\{z = 5}\end{array}} \right.\) .
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a - \overrightarrow c + \frac{1}{2}\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow a \).
\( - 7 < m < 0\).
\(m < - 10\).
\( - 10 < m \le - 7\).
\(0 < m < 10\).
Ta có \(y' = - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Suy ra
+) \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = \min \left\{ {y\left( 2 \right);y\left( { - 1} \right);y\left( 3 \right)} \right\} = \min \left\{ { - 5 - m;4 - m;3 - m} \right\} = - 5 - m\)
+) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = \max \left\{ {y\left( 2 \right);y\left( { - 1} \right);y\left( 3 \right)} \right\} = \max \left\{ { - 5 - m;4 - m;3 - m} \right\} = 4 - m\).
Theo giả thiết ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = 1 \Leftrightarrow - 5 - m + 4 - m = 1 \Leftrightarrow m = - 1\).
Vậy \( - 7 < m < 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)có cực tiểu bằng \( - 1\).
Nếu \(\left| m \right| > 2\)thì phương trình \(f\left( x \right) = m\)có nghiệm duy nhất.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\)trên đoạn \(\left[ { - 2;\,2} \right]\)bằng \(2\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)có hai điểm cực trị.
Xét đáp án: Hàm số có 2 điểm cực trị là \(x = \pm 1\). Đây là phương án đúng.
Xét đáp án: Đường thẳng \(y = m\)cắt \(y = f\left( x \right)\)tại 1 điểm duy nhất khi \(\left| m \right| > 2\). Vậy phương trình \(f\left( x \right) = m\)có duy nhất nghiệm. Đây là phương án đúng.
Xét đáp án Hàm số \(y = f\left( x \right)\)đạt cực tiểu tại \(x = - 1\)và giá trị cực tiểu \(y = - 2\). Vậy Đây là phương án sai do thiếu ý.
Lưu ý: Phương án còn lại đúng vì GTLN của hàm số \(y = f\left( x \right)\)trên đoạn \(\left[ { - 2;\,2} \right]\)bằng \(2\)khi \(x = - 2\,,\,x = 1\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}\).
\(y = \frac{{x + 3}}{{x - 2}}\).
\(y = \frac{{2x - 5}}{{x - 2}}\).
Ta có : Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là :\(x = 2\) và tiệm cận ngang \(y = 2\) . Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right),\,\left( {2; + \infty } \right)\) nên \(y' < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Nên chọn đáp án A : \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).
\[2\].
\[7\].
\[3\].
\[4\].
Ta có \[f'(x) = x(x - 1){(x + 2)^3}{(x - 2)^2} = 0\]\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\)
Bảng xét dấy \(f'\left( x \right)\):
Từ bảng xét dấu, hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy \(r = 2m\), chiều cao \(l = 6m\). Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Giả sử bác thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao, khi đó thể tích của khối trụ là \[V = \frac{{27}}{8}\pi \left( {{m^3}} \right) \cdot \]
Ta có mặt cắt qua trục hình nón như hình vẽ. Đặt \(x\) là bán kính đáy hình trụ, \(h\) là chiều cao của hình trụ.
Hàm số xác định thể tích của khối trụ trên là \[V = 6{x^2} - 3{x^3}\left( {{m^3}} \right),{\rm{ }}\forall x \in \left( {0;2} \right)\].
Thể tích lớn nhất của khối gỗ mà bác thợ mộc chế tác là \({V_{\max }} = \frac{{32\pi }}{9}\left( {{m^3}} \right)\).
a) | Đ | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
Ta có mặt cắt qua trục hình nón như hình vẽ. Đặt \(x\) là bán kính đáy hình trụ, \(h\) là chiều cao của hình trụ.
Ta có hai tam giác \(SAI\) và \(SA'I'\) đồng dạng.
\( \Rightarrow \frac{{SI}}{{SI'}} = \frac{{AI}}{{A'I'}} \Leftrightarrow \frac{6}{{6 - h}} = \frac{2}{x} \Rightarrow h = 6 - 3x\), với \(0 < x < 2\)Sai.
Ta có:
Chiều cao của khối trụ tính theo bán kính đáy hình trụ là \(h = - 3x + 6\) với \(0 < x < 2\).
Suy ra: Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).Đúng.
Bác thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao
Suy ra: \(x = 6 - 3x \Rightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow V = \pi \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \), khi đó thể tích của khối trụ là \[V = \pi \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{{27}}{8}\pi \left( {{m^3}} \right).\]Đúng.
Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).
Xét hàm số \[V = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).
\[V' = \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right)\].
\[V' = 0 \Leftrightarrow \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0{\rm{ }}\,\left( l \right)\\x = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.\].
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \({V_{\max }} = \frac{{32\pi }}{9}\left( {{m^3}} \right)\) khi \(x = \frac{4}{3}\).
Khi \(m = 1\) giao điểm của đường tiệm cận xiên và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {3; - 5} \right)\).
Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).
Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.
Có 2 giá trị \(m\) để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số \(\left( 1 \right)\) bằng \({45^0}\).
a) | S | b) | Đ | c) | Đ | d) | Đ |
(a) Đúng: Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
(b) Đúng: Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \(y = x - 2\)
(c) Sai : Khi \(m = 1 \Leftrightarrow y = x - 2 + \frac{4}{{x + 3}}\)
(d) Đúng: Ta có: \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {3{m^2} - 2} \right)x - 2}}{{x + 3m}} = mx - 2 + \frac{{6m - 2}}{{x + 3m}}\)
Nếu \(m = \frac{1}{3}\) đồ thị hàm số không tồn tại hai tiệm cận
Nếu \(m \ne \frac{1}{3}\), đồ thị hàm số có hai tiệm cận
\({d_1}:x = - 3m \Leftrightarrow x + 3m = 0\)và \({d_2}:y = mx - 2 \Leftrightarrow mx - y - 2 = 0\)
\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} \left( {1;0} \right);\,\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {m; - 1} \right)\]lần lượt là véc tơ pháp của \({d_1}\) và \({d_2}\).
Góc giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng \({45^0} \Leftrightarrow \cos {45^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow m = \pm 1\).
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0.\)
\(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f(x) = f(0) = 1.\)
\(y = 0\)là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).
a) | Đ | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
Ta có \(f'(x) = - 2x{e^{ - {x^2}}}.\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{ - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{e^{{x^2}}}}} = 0.\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {e^{ - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{e^{{x^2}}}}} = 0.\]
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên trên ta kết luận đượcĐÚNG do hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).ĐÚNG do \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm qua \(x = 0\)SAI do hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\).ĐÚNG do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{ - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{e^{{x^2}}}}} = 0.\]
\(\left| {\vec u\left| = \right|\vec v} \right| \Leftrightarrow m = - \frac{3}{5}\).
\(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {13} \).
\(\vec u = \vec v \Leftrightarrow m = 1\).
\(\vec u \bot \vec v \Leftrightarrow m = \frac{9}{4}\).
a) | S | b) | S | c) | Đ | d) | S |
(b) Sai: \(\left| {\vec u\left| = \right|\vec v} \right| \Leftrightarrow \sqrt {13} = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 4{m^2} + 9} \Leftrightarrow 5{m^2} - 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) hoặc \(m = - \frac{3}{5}\).
(c) Đúng: Khi \(m = 1\) thì \(\vec v = \left( {0;2;3} \right)\). Suy ra \(\vec u = \vec v\).
(d) Sai: \(\vec u \bot \vec u \Leftrightarrow 4m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{4}\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một thiết bị thăm dò đáy biển như hình vẽ được đẩy bởi một lực \(\vec f = \left( {5;4; - 2} \right)\) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \(\vec a = \left( {70;20; - 40} \right)\) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực \(\vec f\).
Công sinh bởi lực \(\vec f\) là: \[A = \vec f.\vec a = 5.70 + 4.20 - 2.\left( { - 40} \right) = 510J\]
Ta có: \[a\left( t \right) = v'(t) = 0,003906{t^2} - 0,18058t\]
Ta có BBT hàm \[a\left( t \right) = 0,003906{t^2} - 0,18058t\].
Thời điểm tàu con thoi đạt gia tốc nhỏ nhất là \[t \approx 23,1157\]
\[v(23,1157) = 0,001302{t^3} - 0,09029{t^2} + 83 \approx 20,8\]ft/s
Doanh thu là \(f(x) = - 200{x^2} + 550x\).
Ta có \(f'\left( x \right) = - 400x + 550\). \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{{11}}{8} = 1,375\).
Tốc độ thay đổi của huyết áp sau t giây là:
\(P'(t) = \frac{{50t.({t^2} + 1) - (25{t^2} + 125).2t}}{{{t^2} + 1}} = \frac{{ - 200t}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}} \le 0,\forall 0 \le t \le 10\)
\( \Rightarrow P(t)\)nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;10} \right]\)
Ta có: \(P'(8) = \frac{{ - 200.8}}{{{{({8^2} + 1)}^2}}} = \frac{{ - 64}}{{169}}\)
Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 8 giây kể từ khi máu rời tim là giảm \(\frac{{64}}{{169}} \approx 0,38\) (mmHg).
Ta có \(y' = \frac{{ - {m^2} + 2015m + 2016}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}},\,\forall x \ne - m\).
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì \(y' > 0,\,\forall x \ne - m\)
\( \Leftrightarrow - {m^2} + 2015m + 2016 > 0\)\( \Leftrightarrow - 1 < m < 2016\)
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(S = \left\{ {0;\,1;\,...;\,2015} \right\}\).
Vậy số phần tử của tập \(S\) là \(2016\).
