Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 10
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong không gian Oxyz cho \(\overrightarrow a \left( {2;3;6} \right)\). Khi đó độ dài của véctơ \(\overrightarrow a \)là
\(5\).
\(7\).
\(6\).
\( - 7\).
Chọn B
Độ dài của véctơ \(\overrightarrow a \) bằng \(\overrightarrow {\left| a \right|} = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} = \sqrt {49} = 7\).
Cho hàm số \(y\, = \,f\left( x \right)\)liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;\,2} \right]\)và có đồ thị dưới đây. Gọi \(M\)và \(m\)lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 2;\,2} \right]\). Giá trị của \(M\, + \,m\)bằng
\( - 8\).
\( - 6\).
\( - 4\).
\( - 3\).
Chọn C
Từ đồ thị ta thấy: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 2\), \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right) = - 6\)
\( \Rightarrow \)\(M\, + \,m\, = 2\, - 6 = - 4\).
Cho hàm số\(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
\(0\).
\(3\).
\(1\).
\(2\).
Chọn BDo \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty \] nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là đường thẳng \[y = 5,y = 1\] và một tiệm cận đứng là đường thẳng \[x = 2\].
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 25\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\)là
\(I\left( { - 2; - 3;1} \right)\,;\,R = 25\).
\(I\left( {2;3; - 1} \right)\,;\,R = 5\).
\(I\left( { - 2; - 3;1} \right)\,;\,R = 5\).
\(I\left( {2;3; - 1} \right)\,;\,R = 25\).
Chọn B
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;3; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 5\).
Trong không gian \[{\rm{Oxyz}}\], hình chiếu vuông góc của điểm \(E\left( {1; - 2;3} \right)\)trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)có tọa độ là
\[\left( {0;2;3} \right)\].
\[\left( {1;0;0} \right)\].
\[\left( {1; - 2;0} \right)\].
\[\left( {0; - 2;3} \right)\].
Chọn D
Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(E\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là: \[\left( {0; - 2;3} \right)\].
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Chọn DTa có \(y' = \frac{6}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0;{\rm{ }}\forall x \ne - 3\)\( \Rightarrow \)hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + 3}}{{2x - b}}\)có bảng biến thiên như sau
Giá trị \(a - 2b\)bằng?
\( - 6\)
\(8\)
\(0\)
\(10\)
Chọn C
Đk: \( - a.b - 6 \ne 0 \Leftrightarrow a.b \ne - 6\)
Từ BBT ta dễ dàng nhận thấy ĐTHS có TCN là: \(y = 2\)
và tiệm cận đứng là: \(x = 1\)
Suy ra \[\frac{a}{2} = 2 \Leftrightarrow a = 4\]và \[\frac{b}{2} = 1 \Leftrightarrow b = 2\](TMĐK)
Vậy \[a - 2b = 4 - 2.2 = 0\].
Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + ({m^2} + 1)x + {m^2} - 2\) trên đoạn\(\left[ {0;2} \right]\)bằng 7. Giá trị của tham số \(m\) bằng
\(m = \pm 1\).
\(m = \pm \sqrt 2 \).
\(m = \pm 3\).
\(m = \pm \sqrt 7 \).
Chọn C
\(y' = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0,\,\,\forall x\)\( \Rightarrow \) hàm số luôn đồng biến trên \(\left[ {0;\,\,2} \right]\).
Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,\,2} \right]} y = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow {m^2} - 2 = 7 \Leftrightarrow m = \pm 3\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1;1;2} \right)\), \(B\left( {2; - 1;1} \right)\) và \(C\left( {3;2; - 3} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(D\) để \(ABCD\) là hình bình hành.
\(\left( {0; - 2;6} \right)\).
\[\left( {4;0; - 4} \right)\].
\(\left( {2;4; - 2} \right)\).
\[\left( {4;2; - 4} \right)\].
Chọn C
Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\) ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;y - 1;z - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;3; - 4} \right)\).
Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y - 1 = 3\\z - 2 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\\z = - 2\end{array} \right.\).
Vậy \(D\left( {2;4; - 2} \right)\).
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Hệ thức nào đúng?
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB'} \).
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \).
Chọn B
Theo quy tắc hình hộp.
Cho hàm số \[y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\] có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
\[a < 0;\,b > 0;c > 0.\]
\[a < 0;\,b > 0;c < 0.\]
\[a > 0;\,b < 0;c < 0.\]
\[a > 0;\,b > 0;c < 0.\]
Chọn C
+ Dựa vào dạng đồ thị ta thấy: \[a > 0\].
+ Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên: \[ab < 0 \Rightarrow b < 0\].
+ Với \[x = 0\] ta có: \[y\left( 0 \right) = c < 0\].
Cho hàm số nào \(y = f\left( x \right)\) có \[f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {3 - x} \right)\left( {x - 5} \right).\] Số điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
\(3.\)
\(1.\)
\(2.\)
\(4.\)
Chọn B
Ta có \[f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {3 - x} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 3\\x = 5\end{array} \right.\]
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy đồ thi hàm số có 1 điểm cực tiểu.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm \({y^/} = {f^/}(x) = x{(x - 2)^3},\forall x \in R\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;\,1)\).
b) \(f(2024) > f(2025)\).
c) Hàm số \(y = f(x)\) có 2 điểm cực trị.
d) Giá trị nhỏ nhất trên khoảng \[(0; + \infty )\] là \[f(2)\].
a) | S | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
Ta có: \({f^/}(x) = x{(x - 2)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Đúng
Từ BBT suy ra hàm số có 2 điểm cực trị.Đúng
Từ BBT suy ra hàm số có Giá trị nhỏ nhất trên khoảng \[(0; + \infty )\] là \[f(2)\].Sai
Từ BBT ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \[(2; + \infty )\] nên \[f(2024) < f(2025)\].
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có độ dài tất cả các cạnh đều bằng \(a\).
a) \(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {45^ \circ }\)
b) Tam giác\[SBD\] vuông cân tại S.
c) Tứ giác\(ABCD\) là hình vuông.
d) \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {BD} = - {a^2}.\)
a) | S | b) | Đ | c) | Đ | d) | Đ |
Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(ABCD\) là hình vuông. Suy ra a) đúng.Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều tất cả các cạnh bằng \(a\) \( \Rightarrow SB = SD = a\). Suy ra b) đúng.Do tứ giác \(ABCD\) là hình vuông có độ dài cạnh bằng \(a\) nên độ dài đường chéo \(BD = a\sqrt 2 \).
Tam giác \(SBD\) có \(SB = SD = a\) và \(BD = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SBD\) vuông cân tại \(S\), suy ra \(\widehat {SBD} = {45^0}\).
Vậy \(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {180^0} - \widehat {SBD} = {135^0}\). Suy ra c) sai.Ta có\(\overrightarrow {SB} \,.\,\overrightarrow {BD} = SB.BD.\cos \left( {\overrightarrow {SB} \,,\,\overrightarrow {BD} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos {135^0} = - {a^2}\). Suy ra d) đúng.
Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí \(A\) tới điểm \(B\) về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng \(3\,\,{\rm{km}}\).
Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \(C\) và sau đó chạy đến \(B\), hay có thể chèo trực tiếp đến \(B\), hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) giữa \(C\) và \(B\) và sau đó chạy đến \(B\). Biết anh ấy có thể chèo thuyền \(6\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\), chạy \(8\,\,{\rm{km/}}\,{\rm{h}}\) và quãng đường \(BC = 8\,\,{\rm{km}}\). Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) là độ dài quãng đường \(BD\). Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:
a) Khoảng \(1\) giờ \(20\) phút là khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến \(B\).
b) \(8 - x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\)là độ dài quãng đường \(CD\).
c) Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{3} + \frac{{8 - x}}{8}\).
d) Thời gian chèo thuyền trên quãng đường \(AD\) là: \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{3}\).
a) | Đ | b) | S | c) | S | d) | Đ |
a– Đúng, b – Sai, c – sai, d – đúng
Đúng: Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) là độ dài quãng đường \(BD\); \(8 - x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\) là độ dài quãng đường \(CD\).Sai: Thời gian chèo thuyền trên quãng đường \(AD = \sqrt {{x^2} + 9} \) là: \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6}\)
Thời gian chạy trên quãng đường \(DB\) là: \(\frac{{8 - x}}{8}\) Sai: Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) trên khoảng \(\left( {0;\,\,8} \right)\)
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 9} = 4x \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\)
Bảng biến thiên
Đúng: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy thời gian ngắn nhất để di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là \(1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8}\)Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến \(B\) là \(1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx {1^{\rm{h}}}20'\).
Cho hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\).
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(y' = 1 + \frac{4}{{{x^2}}}\).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm trên các khoảng \(\left( { - 2;\,0} \right) \cup \left( {0;\,2} \right)\) và nhận giá trị dương trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\, - 2} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)\).
c) Bảng biến thiên của hàm số đã cho là:
d) Đồ thị hàm số đã cho như ở hình 4
a) | S | b) | Đ | c) | S | d) | Đ |
Cho hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\).Đạo hàm của hàm số đã cho là \(y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}\) nên mệnh đề sai.\(y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < - 2\end{array} \right.,x \ne 0\)nên đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm trên các khoảng \(\left( { - 2;\,0} \right) \cup \left( {0;\,2} \right)\) và nhận giá trị dương trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\, - 2} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)\).Bảng biến thiên của hàm số đã cho là:
Mệnh đề sai vì thấy \(y\left( { - 2} \right) = - 4 \ne 4\). Đồ thị hàm số đã cho như ở hình 4, mệnh đề đúng.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một lực tĩnh điện \(\vec F\) tác động lên điện tích điểm \(M\) trong điện trường đều làm cho \(M\) dịch chuyển theo đường gấp khúc \(MNP\). Biết \(q = {2.10^{ - 12}}\)(C) và vectơ cường độ điện trường có độ lớn \(E = 1,{8.10^5}\;\)(N/C) và \(d = MH = 5\;\)(mm). Biết công \(A\) sinh bởi lực tĩnh điện \(\vec F\) bằng \(a{.10^{ - 9}}(J)\) Tính a.
Đổi \(5\;\)mm \( = \)\(0,005\)m
Gọi \[K\] là điểm thuộc \[MH\] sao cho \(PK \bot MH\), \[L\] là điểm thuộc \(HN\) sao cho \(PL \bot HN\)
Ta có: \({A_{MNP}} = {A_{MP}} + {A_{PN}} = {F_d}.MP\cos {\alpha _1} + {F_d}.PN\cos {\alpha _2}\)
\( \Leftrightarrow {A_{MNP}} = qE.\frac{{MK}}{{\cos {\alpha _1}}}.\cos {\alpha _1} + qE.\frac{{PL}}{{\cos {\alpha _2}}}.\cos {\alpha _2}\)
\( \Leftrightarrow {A_{MNP}} = qE\left( {MK + PL} \right) = qE\left( {MK + KH} \right) = qE.MH = {2.10^{ - 12}}.1,{8.10^5}.0,005 = 1,{8.10^{ - 9}}\)(J)
Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu \(EF\) bắc qua sông.Biết rằng thành phố \(A\) cách con sông một khoảng là \(4km\) và thành phố \(B\) cách con sông một khoảng là \(6km\)(hình vẽ), biết \(HE + KF = 20km\) và độ dài \(EF\) không đổi. Hỏi xây cây cầu tại vị trí \(E\)cách thành phố \(A\) là bao nhiêu \(km\) để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường \(AEFB\))? (kết quả làm tròn đến phần trăm).
Đặt \[HE = {x_{}}{,_{}}FK = y\], với \[x,\,y > 0\]
Ta có: \[HE + KF = 20 \Rightarrow x + y = 20\], \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {16 + {x^2}} \\BF = \sqrt {36 + {y^2}} = \sqrt {36 + {{\left( {20 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\]
Nhận xét: Vì \[EF\] không đổi nên \[AB\] ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất.
Ta có \[AE + BF\]\[ = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{{(20 - x)}^2} + 36} = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{x^2} - 40x + 436} = f(x)\]
\[f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + \frac{{x - 20}}{{\sqrt {{x^2} - 40x + 436} }},\,\forall x \in \left( {0;20} \right)\].
Cho \[f'(x) = 0 \Rightarrow x = 8\]
Bảng biến thiên
Vậy \(AE = \sqrt {{8^2} + 16} \approx 8,94km\).
Cho một bờ hồ hình bán nguyệt có bán kính bằng \(2\,\,{\rm{km}}\), đường kính \(PR\)như hình vẽ sau :
Từ điểm \(P\)anh Tài chèo một chiếc thuyền với vận tốc \(3\,\,{\rm{km/h}}\) đến điểm \(Q\) trên bờ hồ, rồi chạy bộ dọc theo thành hồ đến vị trí \(R\) với vận tốc \(6\,\,{\rm{km/h}}\). Thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\) là bao nhiêu? (thời gian tính bằng phút).
Đặt \(\widehat {QPR} = \varphi \left( {rad} \right)\), \(\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).
Ta có \(\Delta PQR\) vuông tại \(Q\) \( \Rightarrow PQ = PR.\cos \varphi = 4\cos \varphi \).
Mà \(\widehat {QOR} = 2\widehat {QPR} = 2\varphi \).
Độ dài cung tròn \(QR = 2.2\varphi = 4\varphi \).
Thời gian anh Tài chèo từ \(P\) đến \(Q\) là: \(\frac{{4\cos \varphi }}{3}\) (giờ).
Thời gian anh Tài chèo từ \(Q\) đến \(R\) là: \(\frac{{4\varphi }}{6} = \frac{{2\varphi }}{3}\) (giờ).
Tổng thời gian anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\) là: \(t = \frac{{4\cos \varphi }}{3} + \frac{{2\varphi }}{3}\,\,\left( {0 < \varphi < \frac{\pi }{2}} \right)\).
Xét hàm số \(t\left( \varphi \right) = \frac{{4\cos \varphi }}{3} + \frac{{2\varphi }}{3}\) với \(\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(t'\left( \varphi \right) = \frac{1}{3}\left( { - 4\sin \varphi + 2} \right)\), \(\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(t'\left( \varphi \right) = 0,\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sin \varphi = \frac{1}{2},\,\,\varphi \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}\).
Bảng biến thiên
Vậy thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\)là \(t\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} + \frac{\pi }{9} \approx 1,5\)(giờ) hay 90 phút.
Một bồn hình trụ cao \(h\) chứa nước. Theo định luật Torricelli, vận tốc tia nước chảy qua lỗ ở độ sâu \(x\) so với mặt nước là \(V = \sqrt {2gx} \). Người ta cho rằng tầm xa \(R\) (feet) của tia nước được cho bởi \(R = 2\sqrt {x(h - x)} \)Biết lỗ phun nên đặt ở độ cao \(x = K.h,\,(K \in \mathbb{R})\) so với mặt bồn thì tầm xa \(R\) đạt cực đại. Tìm \(K\)?
Thay vì trực tiếp tối đa \(R(x)\), ta có thể tối đa \({R^2}(x)\) (vì hàm căn là tăng):
\({R^2}(x) = 4x(h - x) = 4\left( {hx - {x^2}} \right)\)
Tính đạo hàm: \[{\left( {{R^2}(x)} \right)^\prime } = 4(h - 2x)\]
Giải \({\left( {{R^2}} \right)^\prime } = 0\): \(h - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{h}{2}.\)
Lập bảng biến thiên ta có \(x = \frac{h}{2}\) là điểm cực đại.
Vậy lỗ phun nên đặt ở độ cao \(x = \frac{h}{2}\) để tầm xa \(R\) của tia nước đạt tối đa.
Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với \(AB = 6\) (dm), \(AD = 8\) (dm) và cạnh bên bằng \(10\) (dm). Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm \(M\) là trung điểm của \(AF\) được mô hình hóa như hình vẽ sau:
Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách \(BA\) và \(BC\) những đoạn bằng \(a\) và \(b.\) Khi đó tổng \(D = 3a + 6b\) bao nhiêu ?
Dựng hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ
Khi đó tọa độ các điểm là \(B\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(C\left( {8;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {8;\,6;\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,6;\,0} \right)\), \(G\left( {8;\,0;\,10} \right)\), \(F\left( {0;\,0;\,10} \right)\).
Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AF\)\( \Rightarrow M\left( {0;\,3;\,5} \right)\).
Con cá bơi từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy hồ tại điểm \(I\left( {x;\,y;\,0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) với \(0 \le x \le 8\), \(0 \le y \le 6\).
Gọi \(N\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua \(\left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow N\left( {0;\,3;\, - 5} \right)\).
Quãng đường di chuyển của con cá là \(G - I - M\)
Ta có: \(IM + IG = IN + IG \ge GN\)\( = \sqrt {{{\left( {0 - 8} \right)}^2} + {{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 10} \right)}^2}} = \sqrt {298} \).
Để \(IM + IG\) nhỏ nhất thì ba điểm \(I\), \(G\), \(N\) thẳng hàng
Suy ra \(\overrightarrow {IG} \), \(\overrightarrow {NG} \) cùng phương.
\(\overrightarrow {IG} = \left( {8 - x;\, - y;\,10} \right)\).
\(\overrightarrow {NG} = \left( {8;\, - 3;\,15} \right)\).
Do đó \(\frac{{8 - x}}{8} = \frac{{ - y}}{{ - 3}} = \frac{{10}}{{15}}\).
Suy ra \(x = \frac{8}{3}\), \(y = 2\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{8}{3};\,2;\,0} \right)\).
Khi đó, \(a = d\left( {I,BA} \right) = \frac{8}{3}\), \(b = d\left( {I,BC} \right) = 2\).
Vậy \(D = 3a + 6b = 3 \cdot \frac{8}{3} + 6 \cdot 2 = 20\).
Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: \(N(t) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}({\rm{con}}),\)trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.
Xét hàm số \(N(t) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}(t > 0)\).
Ta có: \({N^\prime }(t) = \frac{{100 \cdot \left( {100 + {t^2}} \right) - 100t \cdot 2t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{100 \cdot \left( {100 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}\).
Khi đó, với \(t > 0,{N^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow 100 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} = 100 \Leftrightarrow t = 10\).
Bảng biến thiên của hàm số \(N(t)\) như sau:
Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng \((0; + \infty )\), hàm số \(N(t)\) đạt giá trị lớn nhất bằng 1005 tại \(t = 10\)
Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng là 1005 con.
