Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 1
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\) nghịch biến trên khoảng nào?
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 1;1} \right)\).
Chọn B
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x.\) Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right..\)
Bảng biến thiên
\(6\).
\(5\).
\(4\).
\(3\).
Chọn B
Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 1;2} \right)\),\(\overrightarrow {AC} \left( {0; - 2;4} \right)\), \(\overrightarrow {AD} \left( { - 2;7;1} \right)\)
\({\rm{[}}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} {\rm{] = }}\left( {0; - 4; - 2} \right)\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{{\left| {( - 2).0 + 7.( - 4) + 1.( - 2)} \right|}}{6} = 5\)
\(5.\)
\(4.\)
\(3.\)
\(2.\)
Chọn B
Trên đoạn \[\left[ { - 2;3} \right]\], điểm thuộc đồ thị có tung độ lớn nhất bằng 4 tại hoành độ \[{x_0} = 3.\]
Do đó: \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 4.\]
\(OA = 3\).
\(OA = 5\).
\(OA = 9\).
\(OA = \sqrt 5 \).
Chọn A
\(OA = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} = 3\).
\(G\left( {3;0;1} \right)\).
\(G\left( {0;0; - 1} \right)\).
\(G\left( { - 1;0;3} \right)\).
\(G\left( {1;0;3} \right)\).
Chọn D
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right) + 1}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{ - 2 + 2 + 0}}{3} = 0\\{z_G} = \frac{{3 + 5 + 1}}{3} = 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow G\left( {1;0;3} \right)\].
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
\(2\).
\(1\).
\(0\).
\(3\).
Chọn B
Từ bảng biến thiên ta thấy:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \) suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) suy ra đồ thị hàm số có \(1\) tiệm cận đứng là \(x = 1\).
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là \(1\).
\[2\].
\[3\].
\[1\].
\[0\].
Chọn D
Ta có\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left| x \right|{\left( {x + 2} \right)^3}\left( {4 - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
\[m = 1\] hoặc \(m = - \frac{1}{2}\).
\[m = 3\] hoặc \(m = - \frac{5}{2}\).
\[m = - 1\] hoặc \(m = \frac{3}{2}\).
\[m = 2\] hoặc \(m = - \frac{3}{2}\).
Chọn C
\(y = \frac{{x + 2{m^2} - m}}{{x - 3}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 3 - 2{m^2} + m}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0\)
\( \Rightarrow {y_{\min }} = {y_{\left( 1 \right)}} = \frac{{2{m^2} - m + 1}}{{ - 2}}\)
\( \Rightarrow {y_{\min }} = - 2 \Leftrightarrow \frac{{2{m^2} - m + 1}}{{ - 2}} = - 2 \Leftrightarrow 2{m^2} - m + 1 = 4\)
\( \Leftrightarrow 2{m^2} - m - 3 - 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
\(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x\).
\(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x\).
\(y = {x^3} + 3{x^2} - 3x\).
\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x\).
Chọn A
Xét đáp án A, ta có \(y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\), nên loại.
Xét đáp án B, ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\), nên nhận.
Xét đáp án C, ta có \(y' = - 3{x^2} + 6x - 3 = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\), nên loại.
Xét đáp án D, ta có \(y' = 3{x^2} + 6x - 3,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 2 \\x = - 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\), nên loại.
\[8a + d\].
\[d - 16a\].
\[2a + d\].
\[d - 11a\].
Chọn B
\(y' = 3a{x^2} + c.\)
\(y'' = 6ax.\)
\(y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)Nên đồ thị hàm số có điểm uốn là \(A\left( {0;d} \right).\)Do đó đồ thị hàm số nhận \(A\left( {0;d} \right)\)làm tâm đối xứng.
Do đó từ \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\)suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 8a + 2c + d.\)
Mà \(f'\left( { - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 12a + c = 0\)\( \Rightarrow c = - 12a.\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = 8a - 24a + d = d - 16a.\)
\[D\left( { - 12; - 1;3} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}D\left( { - 8; - 7;1} \right)\\D\left( {12;1; - 3} \right)\end{array} \right.\].
\[D\left( {8;7; - 1} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}D\left( {8;7; - 1} \right)\\D\left( { - 12; - 1;3} \right)\end{array} \right.\].
Chọn A
Gọi \[D\left( {x;y;z} \right)\], \[\overrightarrow {AD} = \left( {x + 2;y - 3;z - 1} \right)\], \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 2;1} \right)\], \[BC = \sqrt {30} \].
Do \[\overrightarrow {AD} \] cùng chiều với \[\overrightarrow {BC} \] \[ \Rightarrow \frac{{x + 2}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1} = t > 0\]\[ \Rightarrow D\left( { - 2 - 5t;3 - 2t;1 + t} \right)\]
Theo đề \[{S_{ABCD}} = 3{S_{ABC}}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{AD + BC}}{2}.d\left( {A,BC} \right) = 3.\frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC\]\[ \Leftrightarrow AD = 2BC\]
\[ \Leftrightarrow \]\[25{t^2} + 4{t^2} + {t^2} = 4.30\]\[ \Leftrightarrow t = 2\]\[ \Rightarrow D\left( { - 12; - 1;3} \right)\].
\[\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {BC'} = - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
\[\overrightarrow {BC'} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \].
Chọn A
Vì mặt bên \[\left( {BCC'B'} \right)\] là hình bình hành nên \[\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC} \]\[ = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \]\[ = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \] nên \[\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + (3{m^2} - 2)x - 2}}{{x + 3m}}\) (1), với \(m\) là số thực.
Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).
Khi \(m = 1\) giao điểm của đường tiệm cận xiên và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {3; - 5} \right)\).
Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.
Có 2 giá trị \(m\) để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng \({45^0}\).
a) | Đ | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
(a)b.c. Khi \(m = 1 \Leftrightarrow y = x - 2 + \frac{4}{{x + 3}}\)
(d) Ta có: \(y = \frac{{m{x^2} + (3{m^2} - 2)x - 2}}{{x + 3m}} = mx - 2 + \frac{{6m - 2}}{{x + 3m}}\)
* Nếu \(m = \frac{1}{3}\) đồ thị hàm số không tồn tại hai tiệm cận
* Nếu \(m \ne \frac{1}{3}\), đồ thị hàm số có hai tiệm cận
\({d_1}:x = - 3m \Leftrightarrow x + 3m = 0\)và \({d_2}:y = mx - 2 \Leftrightarrow mx - y - 2 = 0\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} (1;0),{\rm{ }}\overrightarrow {{n_2}} (m; - 1)\)lần lượt là véc tơ pháp của \({d_1}\) và \({d_2}\).
Góc giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng \({45^0} \Leftrightarrow \cos {45^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow m = \pm 1\).
Khi nuôi tôm thẻ trong ao, một kỹ sư thủy sản đã thống kê được nếu mỗi mét vuông mặt ao thả \(x\) con tôm giống thì cuối mỗi vụ con tôm có cân nặng trung bình là \(108 - {x^2}\).
Để lượng tôm thu được tăng lên thì mật độ tôm giống thả vào ao là từ 6 đến 10 con/\({m^2}\).
Sau mỗi vụ khối lượng tôm trung bình trong mỗi mét vuông mặt ao là \(\left( {108 - {x^2}} \right)x\).
Khi thả 10 con tôm giống /\({m^2}\) thì lượng tôm thu được là \(0,8\,\,kg/{m^2}\).
Để sản lượng tôm lớn nhất thì nên thả 6 con tôm/\({m^2}\).
a) | S | b) | S | c) | S | d) | S |
Khối tôm trung bình trong mỗi mét vuông ao nuôi là \(M\left( x \right) = \left( {108 - {x^2}} \right)x\).Khi \(x = 10\), \(M\left( {10} \right) = 10.8 = 80\left( {gam} \right) = 0,08\,kg\).Để tôm phát triển được, \(x > 0;\,\,\,{x^2} \le 108\) nên \(0 < x \le 10,39\).
Xét hàm số \(M\left( x \right) = \left( {108 - {x^2}} \right)x = - {x^3} + 108x,\).
Có \(M'\left( x \right) = - 3{x^2} + 108 = - 3\left( {{x^2} - 36} \right)\); \(M'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 6\).
Ta có BBT
Để sản lượng tôm lớn nhất thì nên thả 6 con tôm/\({m^2}\).Lượng tôm thu được tăng lên khi hàm số \(M\left( x \right)\)đồng biến. Dựa vào bảng biến thiên ta có \(x \in \left( {0;6} \right)\), hay mật độ tôm không quá 6 con/\({m^2}\).
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(4;2; - 1),B(1; - 1;2)\) và \(C(0; - 2;3)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
\(|\overrightarrow {AB} | = 3\sqrt 3 \)
Toạ độ điểm \(N\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\), sao cho \(A,B,N\) thẳng hàng là\({\rm{(3; }}1;0)\)
Toạ độ điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \vec 0\) là \({\rm{(3; }}1;0)\)
\(\overrightarrow {AB} = ( - 3; - 3;3)\)
a) | Đ | b) | Đ | c) | Đ | d) | Đ |
(a) \(\overrightarrow {AB} = (1 - 4; - 1 - 2;2 + 1) = ( - 3; - 3;3)\)
(b) \(\overrightarrow {AB} = (1 - 4; - 1 - 2;2 + 1) = ( - 3; - 3;3) \Rightarrow |\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 3)}^2} + {3^2}} = 3\sqrt 3 \)
(c) Gọi \(M(x;y;z)\) thì \(\overrightarrow {MC} = ( - x; - 2 - y,3 - z)\).
\({\rm{ V\`i }}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MC} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x = - 3}\\{ - 2 - y = - 3}\\{3 - z = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right..{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{M(3; }}1;0)} \right.{\rm{. }}\)
(d) Vì \[N\] thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] nên tọa độ điểm \[N\] là \(N(x;y;0)\)
Тa có: \(\overrightarrow {AN} (x - 4;y - 2;1);\overrightarrow {BN} (x - 1;y + 1; - 2)\)
Để \(A,B,N\) thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {BN} \) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {BN} \) (với \(k\) là số thực bất kì)
Suy ra, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 4 = k(x - 1)}\\{y - 2 = k(y + 1)}\\{1 = - 2k}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 4 = - \frac{1}{2}(x - 1)}\\{y - 2 = - \frac{1}{2}(y + 1)}\\{k = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\). Vậy \[N\left( {3;1;0} \right)\]
Đạo hàm \(f'(x) = 3{x^2} + 8x + 5.\)
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng phía so với trục \[Oy.\]
\(f(0) < f(x)\)với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
a) | S | b) | Đ | c) | S | d) | S |
Sai. Đạo hàm \(f'(x) = 3{x^2} + 16x + 5.\)
Sai. \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 16x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = - 5 \vee x = - \frac{1}{3} \Rightarrow \) HS không ĐB trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Đúng. \(x = - 5 \vee x = - \frac{1}{3} \Rightarrow \) Hai hoành độ cực trị đều âm nên ĐTHS nằm cùng phía so với trục \[Oy.\]
Sai. Hàm số đồng biến với mọi \[x \in \left( {0;\,\, + \infty } \right)\] nên \(f(0) < f(x)\) với mọi \[x \in \left( {0;\,\, + \infty } \right).\]
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một phần đường chạy của tàu lượn siêu tốc (hình 1) khi gắn hệ trục toạ độ \[{\rm{O}}xy\] được mô phỏng ở hình 2, đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết đường chạy của nó là một phần đồ thị hàm bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\left( {0 \le x < 90} \right)\); tàu lượn siêu tốc xuất phát từ điểm \(A\), đi qua các điểm \(C,D\) đồng thời đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất là \(6m\). Độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là bao nhiêu mét so với mặt đất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Dựa vào hình 2 ta thấy đồ thị hàm số \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a < 0} \right)\) và đường thẳng \(y = 30\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \(x = 0;x = 50;x = 80.\)
\( \Rightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d\, = 30 \Leftrightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d - 30 = 0\)có 3 nghiệm phân biệt \(x = 0;x = 50;x = 80.\)
\( \Rightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d - 30 = ax\left( {x - 50} \right)\left( {x - 80} \right) = a\left( {{x^3} - 130{x^2} + 4000x} \right)\)
Suy ra \(f\left( x \right) = a\left( {{x^3} - 130{x^2} + 4000x} \right) + 30\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = a\left( {3{x^2} - 260x + 4000} \right)\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 20\,\,\left( {TM} \right)}\\{x = \frac{{200}}{3}\,\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\).
Theo bài ra độ cao nhỏ nhất bằng 6 hay \(f\left( {20} \right) = 6 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{{1500}}\)
Độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là \(f\left( {\frac{{200}}{3}} \right) = \frac{{3230}}{{81}} \approx 39,9.\)
Gọi \(x\,(m)\) là chiều rộng của khu đất hình chữ nhật cần rào.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, chiều dài lưới thép ngắn nhất là 40m khi chiều rộng khu đất này là \(x = 10\,(\;m)\).
Gọi \(x\) \(\left( {1 \le x \le 20,x \in \mathbb{N}} \right)\) là số máy sử dụng và \(C\left( x \right)\) là hàm tổng chi phí sản xuất tương ứng.
Chi phí lắp đặt các máy là \(80x\)
Chi phí vận hành các máy là \(\frac{{400000}}{{200x}}.5,76\)
Tổng chi phí = Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành \( \Rightarrow C\left( x \right) = 80x + \frac{{11520}}{x}\)
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(C\left( x \right)\) với \(x \in \left[ {1;20} \right]\)
Ta có \(C'\left( x \right) = 80 - \frac{{11520}}{{{x^2}}} \Rightarrow C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\left( {tm} \right)\\x = - 12\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Đồng thời \[\left\{ \begin{array}{l}C\left( 1 \right) = 11600\\C\left( {20} \right) = 2176\\C\left( {12} \right) = 1920\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;20} \right]} C\left( x \right) = C\left( {12} \right) = 1920 \Leftrightarrow x = 12\]
Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sẽ nhỏ nhất.
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \(ABCD\), mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc \(E\) của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp \(EA,EB,EC,ED\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc bằng \(60^\circ \). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Tính trọng lượng (làm tròn đến đơn vị nghìn N) của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \), \(\overrightarrow {{F_4}} \) đều có cường độ là \(4700\;N\) và trọng lượng của khung sắt là \(3000\;N\).
Ta có \(\widehat {AEC} = 60^\circ \)
Ta có \[\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = 2\overrightarrow {EO} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {EO} } \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|\sqrt 3 = 4700\sqrt 3 \]
Tương tự ta cũng có \(\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\sqrt 3 = 4700\sqrt 3 \)
Vậy trọng lực ôtô là: \[\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} } \right) - \](trọng lực khung sắt) \( \approx 13281\left( N \right)\)
Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Flycam I ở vị trí \(A\) cách vị trí điều khiển \(150\;{\rm{m}}\) về phía nam và \(200\;{\rm{m}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(50\;{\rm{m}}\). Flycam II ở vị trí \(B\) cách vị trí điều khiển \(180\;{\rm{m}}\) về phía bắc và \(240\;{\rm{m}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(60\;{\rm{m}}\). Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\)với gốc \(O\) là vị trí người điều khiển, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\)có hướng trùng với hướng nam, trục \(Oy\)trùng với hướng đông, trục \(Oz\)vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Ta có: Vị trí \(A,B\)có tọa độ lần lượt là: \((150;200;50),( - 180; - 240;60)\). Suy ra khoảng cách giữa hai flycam đó bằng:
\(AB = \sqrt {{{( - 180 - 150)}^2} + {{( - 240 - 200)}^2} + {{(60 - 50)}^2}} \approx 550(\;{\rm{m}}).\)
Tính đạo hàm \({P^\prime }(x)\): \({P^\prime }(x) = {\left( { - {{10}^{ - 6}}{x^3} + {{10}^{ - 3}}{x^2} + 5x - 500} \right)^\prime } = - 3 \cdot {10^{ - 6}}{x^2} + 2 \cdot {10^{ - 3}}x + 5\)
Xét \({P^\prime }(x) = 0\): \( - {3.10^{ - 6}}{x^2} + 0,002x + 5 = 0 \Rightarrow {3.10^{ - 6}}{x^2} - 0,002x - 5 = 0.\)
Chia cả hai vế cho \({10^{ - 6}}\): \(3{x^2} - 2000x - 5000000 = 0\)
Giải phương trình bậc hai: \(\begin{array}{l}x = \frac{{2000 \pm \sqrt {{{2000}^2} + 4 \cdot 3 \cdot 5000000} }}{{2 \cdot 3}} = \frac{{2000 \pm \sqrt {4000000 + 60000000} }}{6}\\ = \frac{{2000 \pm \sqrt {64000000} }}{6} = \frac{{2000 \pm 8000}}{6}.\end{array}\)
Kết quả: \({x_1} = \frac{{2000 + 8000}}{6} = \frac{{10000}}{6} \approx 1666,67,\quad {x_2} = \frac{{2000 - 8000}}{6} = - 1000\)(loại)
Chọn \(x = 1666,67\) (nằm trong đoạn \([0;2000]\)).
Lập bảng biến thiên ta suy ra được \(P\) đạt cực đại tại \(x \approx 1666,67\).
Để lợi nhuận hàng ngày lớn nhất, TKK Corporation nên sản xuất khoảng \[1667\] DVD
