Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 03
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số 
liên tục trên 
và có đồ thị như sau:
Phát biểu nào dưới đây là đúng?
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 
.
Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng 
và 
.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 
.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 
.
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị ta thấy:
+ Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng 
và 
;
+ Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng 
và 
.
Cho hàm số 
xác định và liên tục trên 
và có bảng xét dấu như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm
.
.
.
.
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 
đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm 
nên hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm .
Cho hàm số 
liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn 
như hình dưới đây.
Gọi 
là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 
. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?
.
.
.
.
Đáp án đúng là: D
Từ bảng biến thiên, ta thấy 
.
Cho hàm số 
có bảng biến thiên như sau:
Đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho lần lượt là:
, 
.
, 
.
, 
.
, 
.
Đáp án đúng là: A
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:
+) 
. Do đó, đường thẳng 
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
+) 
. Do đó, đường thẳng 
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
là đường thẳng
.
.
.
.
Đáp án đúng là: C
Ta có 
; 
.
Do đó, đường thẳng 
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Cho hàm số 
có đồ thị như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là
.
.
.
.
Đáp án đúng là: D
Đồ thị hàm số đã cho nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Giao điểm này có tọa độ là 
.
Cho hình hộp 
.
Khẳng định nào sau đây là sai?
.
.
.
.
Đáp án đúng là: D
Vì 
là hình hộp nên ta có 
.
Hàm số 
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
.
.
.
.
Đáp án đúng là: B
TXĐ của hàm số là 
.
Ta có: 
; 
khi 
hoặc 
.
Bảng xét dấu:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng 
và 
, nghịch biến trên các khoảng 
và 
.
Giá trị lớn nhất của hàm số 
trên đoạn 
bằng
.
.
.
.
Đáp án đúng là: D
Ta có: 
. Khi đó, trên khoảng 
, 
khi 
.
.
Từ đó suy ra 
.
Đường cong trong hình dưới là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau đây?
.
.
.
.
Đáp án đúng là: A
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ 
với 
nên ta loại đáp án C.
, suy ra hệ số 
nên ta loại đáp án D.
Mặt khác hàm số đạt cực trị tại hai điểm 
, dựa vào hình vẽ ta thấy trái dấu nên đáp án ta loại đáp án B và chọn A.
Cho hàm số 
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng là: B
Đồ thị hàm số 
có tiệm cận đứng: 
và tiệm cận ngang: 
, quan sát đồ thị ta thấy: 
.
Đồ thị hàm số cắt trục 
tại điểm 
, cắt trục 
tại điểm 
, quan sát đồ thị ta thấy: 
.
Với 
.
Với 
.
Do đó 
.
Cho tứ diện 
. Gọi 
và 
lần lượt là trung điểm của các cạnh 
và 
. Đặt 
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
.
.
.
.
Đáp án đúng là: D
Vì 
, 
lần lượt là trung điểm của các cạnh 
, 
nên 
.
Theo quy tắc hiệu, ta có:
.
Cho hàm số 
(với 
) có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên 
.
b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại 
; đạt cực tiểu tại 
.
c) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng 
.
d) Công thức xác định hàm số đã cho là 
.
a) S,b) Đ,c) S,d) Đ.
Hướng dẫn giải
– Quan sát hình vẽ, ta thấy:
Hàm số đã cho có tập xác định là 
.
Trên các khoảng 
và 
, đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng này.
Trên các khoảng 
và 
, đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng này.
Vậy ý) a sai.
– Hàm số đã cho đạt cực đại tại 
; đạt cực tiểu tại 
, do đó ý b) đúng.
– Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng 
, do đó ý c) sai.
– Vì là tiệm cận đứng nên 
. Khi đó, 
.
Ta có 
; 
(*).
là một nghiệm của phương trình (*), do đó 
.
Các điểm 
, 
thuộc đồ thị hàm số đã cho nên tọa độ các điểm này thỏa mãn hàm số .
Khi đó, ta có hệ phương trình sau: 
.
Vậy công thức xác định hàm số đã cho là 
. Do đó, ý) d đúng.
Cho hàm số 
.
a) Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng 
và 
.
b) Giá trị cực đại của hàm số đã cho là 
.
c) Đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm 
.
d) Đường thẳng 
cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt.
a) Đ,b) S,c) S,d) S.
Hướng dẫn giải
Xét hàm số 
.
– Tập xác định của hàm số là 
.
– Ta có 
; 
khi 
hoặc 
.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 
và 
; nghịch biến trên khoảng 
. Do đó, ý a) đúng.
– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại , 
; đạt cực đại tại 
. Do đó, ý b) sai.
– Với 
thì 
; với 
thì 
; với thì 
.
Do đó, đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm 
.
Do đó, ý c) sai.
– Từ bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng 
cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt. Do đó, ý d) sai.
Cho hình chóp 
có đáy 
là hình bình hành tâm 
. 
là điểm thỏa mãn 
. Khi đó:
a) 
.
b) 
.
c) 
.
d) 
.
a) S,b) Đ,c) Đ,d) S.
Hướng dẫn giải
– Ta có: 
nên ý a) sai.
– Vì 
là tâm hình bình hành 
nên là trung điểm của 
và 
.
Khi đó, 
, suy ra 
.
Vậy ý b) đúng.
– Ta có 
, do đó 
nên ý c) đúng.
– Ta có 
.
Vậy ý d) sai.
Cho hình lập phương 
có cạnh bằng 
. Khi đó:
a) 
.
b) 
.
c) 
.
d) Với 
lần lượt là trung điểm của 
thì 
.
a) Đ,b) S,c) S,d) Đ.
Hướng dẫn giải
– Ta có: 
. Do đó, ý a) đúng.
– Theo quy tắc hình hộp, ta có: 
. Vậy ý b) sai.
– Ta có: 
.
Do đó, 
. Vậy ý c) sai.
–
Vì 
là đường chéo của hình lập phương 
có cạnh bằng 
nên 
.
Ta có: 
.
Suy ra 
.
Do đó, 
, suy ra 
.
Theo quy tắc hình hộp, ta có: 
.
Khi đó, 
.
Vậy 
. Do đó, ý d) đúng.
Cho 
. Hàm số 
có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có 
; 
.
Vì 
nên phương trình 
có hai nghiệm phân biệt 
(giả sử 
). Khi đó, với cả hai trường hợp 
và 
hàm số đã cho đều có 2 điểm cực trị.
Đáp số: 
.
Cho hàm số 
với 
là tham số thực. Gọi 
là hai giá trị của thỏa mãn 
. Giá trị của biểu thức 
bằng bao nhiêu?
Với mọi 
, ta có: 
.
Ta thấy dấu của đạo hàm 
phụ thuộc vào dấu của tham số 
.
Với mọi 
thì 
đơn điệu trên 
.
Suy ra 
.
Theo bài ra, ta có: 
hoặc 
.
Vậy 
.
Đáp số: 
.
Cho hình hộp 
. Tìm giá trị thực của 
thỏa mãn đẳng thức 
.
Ta có: 
;
.
Khi đó, 
.
Đáp số: 
.
Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí 
tới điểm 
về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến 
và sau đó chạy đến , hay có thể chèo trực tiếp đến , hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm 
giữa và và sau đó chạy đến . Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6 km/h, chạy 8 km/h và quãng đường 
km. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến là bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đặt 
(km, 
). Quãng đường chạy bộ 
(km) và quãng đường chèo thuyền 
(km).
Rõ ràng 
phải thỏa mãn điều kiện 
.
Khi đó, thời gian chèo thuyền là 
(giờ) và thời gian chạy bộ là 
(giờ).
Tổng thời gian mà người đàn ông cần có là:
, 
.
Ta có: 
. Trên khoảng 
, 
.
.
Do đó, 
.
Vậy thời gian ngắn nhất mà người đàn ông cần dùng là 
(giờ) và đi bằng cách chèo thuyền đến điểm 
cách 
một khoảng 
km rồi từ đó chạy bộ đến điểm 
.
Đáp số: 
.
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng 
(cm), rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (tham khảo hình vẽ).
Giá trị của bằng bao nhiêu centimét để thể tích của khối hộp đó là lớn nhất?
Ta thấy độ dài 
(cm) của cạnh hình vuông bị cắt phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 6.
Khi đó, thể tích của khối hộp là:
với 
.
Ta có: 
, 
hoặc 
.
Bảng biến thiên của hàm số 
như sau:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng 
, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 
tại 
. Vậy để khối hộp tạo thành có thể tích lớn nhất thì (cm).
Đáp số: 
.
Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm 
trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm 
trên đèn tròn sao cho các lực căng 
lần lượt trên mối dây 
đôi một vuông góc với nhau và 
(N) (như hình vẽ). Trọng lượng của chiếc đèn tròn đó là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Gọi 
lần lượt là các điểm sao cho 
. Lấy các điểm 
sao cho 
là hình hộp như hình dưới đây.
Theo quy tắc hình hộp, ta có: 
.
Mặt khác, do các lực căng 
đôi một vuông góc và 
(N) nên hình hộp có ba cạnh 
đôi một vuông góc và bằng nhau.
Do đó, hình hộp là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15.
Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương đó bằng 
.
Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên 
, ở đó 
là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.
Vậy trọng lượng của chiếc đèn là 
(N).
Đáp số: 
.
