Đề thi Đánh giá năng lực Đại học Sư phạm Hà Nội 2 phần Toán có đáp án - Đề số 5
40 câu hỏi
Thí sinh lựa chọn một phương án đúng theo yêu cầu từ câu 1 đến câu 20.
\(M(1; - 1;0)\).
\(N(1; - 1;2)\).
\(P(1; - 1;4)\).
\(Q(1; - 1;3)\).
Thay tọa độ điểm \(N\) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[2 \cdot 1 - \left( { - 1} \right) + 2 - 5 = 0\].
Vậy \(N \in (P)\). Chọn B.
\(64\).
\(256\).
\(8\).
\(16\).
Điều kiện: \(0 < x \ne 1\).
\({\log _x}2 + {\log _{16}}x = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{4}{\log _2}x = 2 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - 8{\log _2}x + 4 = 0\).
Đặt \(t = {\log _2}x\) phương trình trở thành: \({t^2} - 8t + 4 = 0\).
Ta có \(\Delta ' > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({t_1};\,{t_2}\) và \({t_1} + {t_2} = 8\)
\( \Rightarrow {\log _2}{x_1} + {\log _2}{x_2} = 8 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x_1}{x_2}} \right) = 8 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = 256\). Chọn B.
\[x + 2y + z - 4 = 0\].
\[2x + y + 2z - 2 = 0\].
\[x + 2y + z - 2 = 0\].
\[2x + y + 2z + 2 = 0\].
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua 3 điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\) theo đoạn chắn là:
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 2 = 0\). Chọn B.
\(M\left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right)\).
\(M\left( {5\,;\,\, - 1\,;\,\, - 3} \right)\).
\(M\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)\).
\(M\left( { - 1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\).
Tọa độ điểm \[M = \Delta \cap \left( P \right)\] là nghiệm của hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\\x + 2y - 3z + 2 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{y}{1}\\\frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\\x + 2y - 3z + 2 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 2\\2y - z = 1\\x + 2y - 3z = - 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\]. Vậy \[M\left( { - 1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\]. Chọn D.
\(y = - x + 1\).
\(y = x - 1\).
\(y = x - 5\).
\(y = - x - 5\).
Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{x + 2}}\)\( = x - 5 + \frac{{14}}{{x + 2}}\).
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{14}}{{x + 2}} = 0\).
Do đó tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = x - 5\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( { - \infty \,;\,\, - 1} \right)\).
\[\left( { - 1\,;\,\,1} \right)\].
\[\left( { - 2\,;\,\,1} \right)\].
\[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\].
Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1\,;\,\,1} \right)\). Chọn B.
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{{a^3}}}{6}\).
\(\frac{{{a^3}}}{2}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Ta có \(AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \), \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Thể tích khối lăng trụ là \(V = AA' \cdot {S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\). Chọn D.
\(M = 5\).
\(M = - 5\).
\(M = \frac{1}{3}\).
\(M = - \frac{1}{3}\).
Ta có: \(y' = \frac{{ - 8}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < \,0\,,\,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,\,2} \right]\). Hàm số luôn nghịch biến trên \(\left[ {0\,;\,2} \right]\).
Ta tính được: \(y\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\), \(y\left( 2 \right) = \, - 5\).
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ {0\,;\,2} \right]\) là \(M = y\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\). Chọn C.
\(\frac{5}{8}\).
\(\frac{5}{2}\).
\( - \frac{1}{4}\).
\(\frac{3}{2}\).
Ta có \({\log _{{a^2}}}\frac{a}{{\sqrt b }} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a - {{\log }_a}\sqrt b } \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{2}{{\log }_a}b} \right) = - \frac{1}{4}\). Chọn C.
6.
9.
7.
14.
Ta có \({2^{x - 2}} = {3^{{x^2} + 2x - 8}}\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right){\log _3}2 = {x^2} + 2x - 8\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right){\log _3}2 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 4 - {{\log }_3}2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = {\log _3}2 - 4\end{array} \right.\).
Suy ra \[a = 3;b = 2\]. Vậy \(a + 2b = 7\). Chọn C.
\(S = \int\limits_0^1 {\left( {{5^x} - 6} \right) {d}x} \).
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {6 - {5^x}} \right| {d}x} \).
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{5^x} - 6} \right| {d}x} \).
\(S = \int\limits_0^1 {\left( {6 - {5^x}} \right) {d}x} \).
Vì \(0 \le x \le 1\) nên \({5^0} \le {5^x} \le {5^1}\)\( \Leftrightarrow 1 - 6 \le {5^x} - 6 \le 5 - 6\)\( \Leftrightarrow - 5 \le {5^x} - 6 \le - 1\).
Do đó \({5^x} - 6 < 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\). Vậy \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{5^x} - 6} \right| {d}x} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {6 - {5^x}} \right) {d}x} \). Chọn A.
\(12m{\rm{/}}{s^2}.\)
\(17m{\rm{/}}{s^2}.\)
\(24m{\rm{/}}{s^2}.\)
\(14m{\rm{/}}{s^2}.\)
Có \(v\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5;a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 6\).
Khi đó \(a\left( t \right) = 6 \cdot 3 - 6 = 12\) m/s2. Chọn A.
\[A'\left( {0;0; - 1} \right)\].
\(A'\left( {0;2; - 1} \right).\)
\[A'\left( {3;0; - 1} \right)\].
\(A'\left( { - 3;0;1} \right).\)
Điểm \[A'\] thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) sao cho độ dài đoạn thẳng \[AA'\] ngắn nhất khi \(A'\) là hình chiếu của \(A\)trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Suy ra \(A'\left( {0;2; - 1} \right)\). Chọn B.
\(24\,492\,000\)đồng.
\(24\,399\,000\) đồng.
\(24\,392\,000\) đồng.
\(24\,382\,000\) đồng.
Giá của mét đầu tiên là \(60\,000\).
Giá của mét thứ hai là \(60\,000 \cdot \left( {1 + 0,07} \right)\).
Giá của mét thứ ba là \(60\,000 \cdot {\left( {1 + 0,07} \right)^2}\).
\(...\)
Giá của mét thứ \(50\) là \(60\,000 \cdot {\left( {1 + 0,07} \right)^{49}}\).
Tổng số tiền khoan giếng là:
\(T = 60\,000 + 60\,000 \cdot \left( {1,07} \right) + 60\,000 \cdot {\left( {1,07} \right)^2} + ... + 60\,000 \cdot {\left( {1,07} \right)^{49}}\)
\( = 60\,000\frac{{\left( {{{1,07}^{50}} - 1} \right)}}{{0,07}} \approx 24\,392\,000\) đồng. Chọn C.
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 36\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\).
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2;1; - 1)\), bán kính \(R = 3\) nên có phương trình là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\). Chọn B.
Một thư viện ghi lại số giờ đọc sách của 50 sinh viên trong một ngày và thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm giờ | \(\left[ {0\,;\,\,1} \right)\) | \(\left[ {1\,;\,\,2} \right)\) | \(\left[ {2\,;\,\,3} \right)\) | \(\left[ {3\,;\,\,4} \right)\) | \(\left[ {4\,;\,\,5} \right)\) |
Số sinh viên | 8 | 11 | 15 | 9 | 7 |
Khoảng \(\left[ {a;b} \right),\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Tính \(S = a + b\)?
\[1\].
\[2\].
\[3\].
\[4\].
Giả sử mẫu số liệu gốc là \({x_1};\,\,{x_2};\,\,...;\,\,{x_{50}}\) được xếp theo thứ tự không giảm.
Xét nửa bên trái mẫu số liệu gốc là \({x_1};\,\,{x_2};\,\,...;\,\,{x_{25}}\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{13}} \in \left[ {1\,;\,\,2} \right)\).
Suy ra \(a = 1;b = 2\). Vậy \(a + b = 3\). Chọn C.
\(F\left( x \right) = {x^3} - \cos x + x + 2\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \cos x + x + 2\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \cos x + x\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \cos x + 2\).
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} + \sin x + 1} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \cos x + x + C\).
Theo giả thiết: \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \frac{{{0^3}}}{3} - \cos 0 + 0 + C = 1 \Rightarrow C = 2\).
Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \cos x + x + 2\). Chọn B.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) (xem hình vẽ). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {DB'} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC} \).
Theo quy tắc hình hộp ta có\(\overrightarrow {DB'} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {DC} \). Chọn B.
Thống kê điểm kiểm tra giữa kỳ 1 môn Toán của 30 học sinh lớp 12C1 của một trường THPT được ghi lại ở bảng sau:
Điểm | \(\left[ {2\,;\,4} \right)\) | \(\left[ {4\,;\,6} \right)\) | \(\left[ {6\,;\,8} \right)\) | \(\left[ {8\,;\,10} \right)\) |
Số học sinh | \(4\) | \(8\) | \(11\) | \(7\) |
Trung vị của mẫu số liệu gốc thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
\(\left[ {2\,;\,\,4} \right)\).
\(\left[ {4\,;\,\,6} \right)\).
\(\left[ {6\,;\,\,8} \right)\).
\(\left[ {8\,;\,\,10} \right)\).
Ta có mẫu số liệu trên có tất cả là 30 học sinh nên trung vị bằng \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2} \in \left[ {6;8} \right)\). Chọn C.
\(\frac{{\sqrt 3 + \pi }}{3}\).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
\(\frac{{3\pi }}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 3 - 1 + \pi }}{3}\).
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \)\( = - \cos x + \sin x + C\).
Mà \(F\left( 0 \right) = 3\) nên \( - \cos 0 + \sin 0 + C = 3 \Leftrightarrow - 1 + C = 3 \Leftrightarrow C = 4\).
Vậy \(F\left( x \right) = - \cos x + \sin x + 4\).
Khi đó \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( { - \cos x + \sin x + 4} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \sin x - \cos x + 4x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\)
\( = \left( { - \sin \frac{\pi }{3} - \cos \frac{\pi }{3} + 4 \cdot \frac{\pi }{3}} \right) - \left( { - \sin \frac{\pi }{6} - \cos \frac{\pi }{6} + 4 \cdot \frac{\pi }{6}} \right)\)
\( = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2} + \frac{{4\pi }}{3} + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{3}\). Chọn B.
1. Đúng. Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 3} \right)\).
2. Sai. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\).
Suy ra \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 3} \right)\].
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 5} \right) - 3\left( {z + 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 3z - 17 = 0\)
3. Đúng. \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 2 + t; - 1 - 3t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2t - 1;t + 3;5 - 3t} \right)\).
\(AH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {{u_d}} = 0 \Rightarrow \left( {2t - 1} \right) \cdot 2 + \left( {t + 3} \right) \cdot 1 - 3 \cdot \left( {5 - 3t} \right) = 0\)\( \Rightarrow 14t - 14 = 0 \Rightarrow t = 1\).
Vậy \(H\left( {3; - 1; - 4} \right)\).
4. Sai. Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( P \right)\).
\(AK \bot \left( P \right) \Rightarrow AK \bot HK\) nên \(\Delta AHK\) vuông tại \(K\)
\( \Rightarrow d\left( {A,\left( P \right)} \right) = AK \le AH\): hằng số
Để \[d\left( {A,\left( P \right)} \right)\] lớn nhất thì \(K \equiv H\)\( \Rightarrow K\left( {3; - 1; - 4} \right)\).
Khi đó \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AK} = \left( {1;4;2} \right)\) và đi qua điểm \(K\left( {3; - 1; - 4} \right)\) nên có phương trình \(1\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 4y + 2z + 9 = 0\). Chọn 1, 3.
Gọi \(A\) là biến cố “Người đó là người trẻ”
\(B\) là biến cố “Người đó hài lòng với mẫu xe”
\(C\) là biến cố “Người đó sẽ đặt cọc mua xe”
Xét người tham quan là người trẻ. Theo đề \(P\left( A \right) = 0,7\).
Suy ra \(P\left( {BC} \right) = 50\% = 0,5\), \(P\left( {B\overline C } \right) = 30\% = 0,3\), \[P\left( {\overline B \overline C } \right) = 20\% = 0,2\], \[P\left( {\overline B C} \right) = 0\].
Xét người tham quan là người trung niên có \(P\left( {\overline A } \right) = 0,3\).
\(P\left( {BC} \right) = 20\% = 0,2\), \(P\left( {B\overline C } \right) = 10\% = 0,1\), \[P\left( {\overline B \overline C } \right) = 70\% = 0,7\], \[P\left( {\overline B C} \right) = 0\].
1. Sai. Ta có \(P\left( {B\left| A \right.} \right) = 0,5 + 0,3 = 0,8\).
2. Đúng. Ta có \(\overline C = \overline C AB \cup \overline C A\overline B \cup \overline C \overline A B \cup \overline C \overline A \overline B \).
\(P\left( {\overline C } \right) = P\left( {\overline C AB} \right) + P\left( {\overline C A\overline B } \right) + P\left( {\overline C \overline A B} \right) + P\left( {\overline C \overline A \overline B } \right)\)\( = 0,7 \cdot 0,3 + 0,7 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,7 = 0,59\).
3. Đúng. \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 0,41\).
\(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}}\).
\(P\left( {AC} \right) = P\left( {AC\overline B } \right) + P\left( {ACB} \right) = 0,7 \cdot 0 + 0,7 \cdot 0,5 = 0,35\).
Suy ra \(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,35}}{{0,41}} \approx 0,854 > 0,85\).
4. Đúng.\[P\left( {\overline C \left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {\overline C B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\];
\(P\left( {\overline C B} \right) = P\left( {\overline C BA} \right) + P\left( {\overline C B\overline A } \right) = 0,3 \cdot 0,7 + 0,1 \cdot 0,3 = 0,24\).
\(P\left( B \right) = P\left( {BA\overline C } \right) + P\left( {BAC} \right) + P\left( {B\overline A C} \right) + P\left( {B\overline A \overline C } \right)\)\( = 0,7 \cdot 0,3 + 0,7 \cdot 0,5 + 0,3 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,1 = 0,65\).
Suy ra \[P\left( {\overline C \left| B \right.} \right) = \frac{{0,24}}{{0,65}} \approx 0,37\]. Chọn 2, 3, 4.
1. Đúng. Ta có: \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \frac{{4a}}{3}.\)
2. Sai. \(AB = AC = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)
3. Đúng. Do \(BB'//\left( {ACC'A'} \right)\) nên \(d\left( {BB',\,AC} \right) = d\left( {BB',\,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B,\,\left( {ACC'A'} \right)} \right).\)
Ta có \(\frac{{d\left( {B,\left( {ACC'A'} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right)}} = \frac{{BN}}{{HN}} = 3.\) Suy ra \(d\left( {BB',\,AC} \right) = 3d\left( {H,\,\left( {ACC'A'} \right)} \right).\)
4. Sai. Kẻ \(HK \bot AC\) và \(HI \bot A'K.\) Khi đó \(HI \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = HI.\)
Ta có \(HK//AB \Rightarrow \frac{{HK}}{{AB}} = \frac{{NH}}{{NB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow HK = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}.\)
\(d\left( {BB',\,AC} \right) = 3d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = 3HI = 3 \cdot \frac{{A'H \cdot HK}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{K^2}} }} = 3 \cdot \frac{{\frac{{4a}}{3} \cdot \frac{a}{3}}}{{\sqrt {\frac{{16{a^2}}}{9} + \frac{{{a^2}}}{9}} }} = \frac{{4a}}{{\sqrt {17} }}.\) Chọn 1, 3.
1. Sai. Vận tốc ban đầu của con ngựa vằn là \({v_2}\left( 0 \right) = 20 - 20{e^0} = 0\) m/s.
2. Đúng. Ta có: \({v'_1}\left( t \right) = - 0,1 \cdot 15{e^{ - 0,1t}} < 0,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,\,60} \right].\) Suy ra tốc độ sư tử giảm dần theo thời gian.
Ta có: \({v'_2}\left( t \right) = - 0,1 \cdot \left( { - 20} \right){e^{ - 0,1t}} = 2{e^{ - 0,1t}} > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,\,60} \right].\)Suy ra tốc độ của ngựa vằn tăng dần theo thời gian.
3. Sai. Khoảng cách giữa sư tử và ngựa vằn là \(d\left( t \right) = 40 + \int_0^t {\left[ {{v_2}\left( t \right) - {v_1}\left( t \right)} \right]{\rm{d}}t} \).
Ta có \(d'\left( t \right) = {v_2}\left( t \right) - {v_1}\left( t \right)\,;\,\,d'\left( t \right) = 0 \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = {v_1}\left( t \right)\).
Ta có: \(20 - 20{e^{ - 0,1t}} = 15{e^{ - 0,1t}}\) \( \Leftrightarrow 20 = 35{e^{ - 0,1t}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{20}}{{35}} = {e^{ - 0,1t}}\)\( \Leftrightarrow {\rm{ln}}\frac{{20}}{{35}} = - 0,1t\) \( \Leftrightarrow t = \frac{{{\rm{ln}}\frac{{20}}{{35}}}}{{ - 0,1}} \approx 5,6\,\,\,\left( s \right)\).
Bảng biến thiên:
Vậy sư tử ở gần ngựa vằn nhất khi \({v_1}\left( t \right) = {v_2}\left( t \right)\), và khoảng cách ngắn nhất giữa chúng là 1,92 mét.
4. Đúng. Từ bảng biến thiên, ta thấy khoảng cách ngắn nhất giữa hai con vật là 1,92 mét; kể từ thời điềm gần nhất đó, sư tử dần bị bỏ lại phía sau và sư tử không thể bắt được ngựa vằn. Chọn 2, 4.
Hai thành phố cách nhau một con sông. Lấy A và B lần lượt là hai điểm mốc của hai thành phố trong việc đo đạc, đơn vị là km. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng vị trí A cách con sông một khoảng \[AH = 5\,\,km\] và vị trí B cách con sông một khoảng là \[BK = \]7 km (xem hình vẽ), biết \(HE + KF = 24\,\,km\) và độ dài EF không đổi. Đặt \(HE = x\left( {km} \right),0 < x < 24\).
Những phương án nào dưới đây đúng?
1. Đúng. Với \[HE = x\] thì \[FK = 24 - x\] (\[0 < x < 24\]). Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {25 + {x^2}} \\BF = \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\].
2. Sai. Tổng quãng đường đi từ A đến B là \[AE + EF + BF = \sqrt {25 + {x^2}} + \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} + EF\] (km).
3. Đúng. Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 25} + \sqrt {{x^2} - 48x + 625} \];
\[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,24} \right)\].
4. Sai. Ta cần tổng quãng đường \[AE + EF + FB\] ngắn nhất, mà EF không đổi nên \[AE + FB\] bé nhất.
Từ câu c) ta có \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,24} \right)\]; \[f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 10\].
Bảng biến thiên:
Ta có: \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0\,;\,\,24} \right)} f\left( x \right) = 12\sqrt 5 \]; khi đó \[x = 10\,\,km\] và \[BF = 7\sqrt 5 \,\,km \approx 15,65\,\,km\]. Chọn 1, 3.
Dựa vào thông tin dưới đây, thí sinh lựa chọn một phương án đúng theo yêu cầu từ câu 26 đến câu 27.
Một công ty du lịch đang tiến hành khảo sát địa hình một vùng đất để xây dựng khu nghỉ dưỡng sinh thái. Lát cắt ngang của địa hình, bao gồm một hồ nước và một ngọn núi bên cạnh được các kỹ sư mô hình hóa thành một đồ thị hàm số bậc ba trên trục tọa độ \(Oxy\)(như hình vẽ). Qua khảo sát thực tế, đội kỹ thuật đã thu thập được các số liệu sau:
+) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và hai điểm \(M,N\) nằm trên trục \(Ox\).
+) Khoảng cách \(OM = 2\;km\)(chiều rộng của hồ).
+) Khoảng cách \(MN = 3,5\;km\)(chiều rộng chân núi).
+) Điểm sâu nhất của hồ nước nằm cách mặt nước 450 m.
Để xây dựng một trạm quan sát cảnh quan trên đỉnh núi, các nhà đầu tư cần biết chính xác chiều cao của ngọn núi này. Theo mô hình này, chiều cao của ngọn núi (làm tròn đến hàng đơn vị) gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(1191\;m\).
\(1864\;m\).
\(2140\;m\).
\(1550\;m\).
Hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\] có dạng \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\], \[\left( {a \ne 0} \right)\]
Ta có: \[ON = OM + MN = 2 + 3,5 = 5,5\left( {km} \right)\]
Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm: \[O\left( {0;0} \right)\],\[M\left( {2;0} \right)\] và \[N\left( {5,5;0} \right)\]
Khi đó, phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có ba nghiệm phân biệt là \[x = 0;x = 2;x = 5,5\].
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = kx\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5,5} \right)\]\[ = k\left( {{x^3} - 7,5{x^2} + 11x} \right)\] với đồ thị hàm số \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = - \infty \] nên \[k < 0\]
Ta có: \[f'\left( x \right) = k\left( {3{x^2} - 15x + 11} \right)\]
Xét \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow k\left( {3{x^2} - 15x + 11} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 15x + 11 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{15 \pm \sqrt {93} }}{6}\].
Độ sâu của hồ nước là \[450m = 0,45km\] nên ta có giá trị cực tiểu của đồ thị hàm số trên là\[{y_{CT}} = - 0,45\].
Suy ra, \[f\left( {\frac{{15 - \sqrt {93} }}{6}} \right) = - 0,45 \Leftrightarrow k \cdot \frac{{ - 135 + 31\sqrt {93} }}{{36}} = - 0,45 \Leftrightarrow k = \frac{{ - 16,2}}{{ - 135 + 31\sqrt {93} }}\].
Chiều cao của ngọn núi tương ứng với .
Vậy ngọn núi cao khoảng \[1191\,m\]. Chọn A.
Để thiết kế đường đi bộ lên núi cần xác định vị trí mà địa hình chuyển từ trạng thái “lõm” sang trạng thái “lồi”. Vị trí này chính là điểm uốn của đồ thị hàm số. Khoảng cách theo phương ngang (trên trục Ox) từ vị trí này đến gốc tọa độ \(O\)là bao nhiêu km?
\(1,75\).
\(2\).
\(2,5\).
\(3,12\).
Có \[f''\left( x \right) = k\left( {6x - 15} \right)\]; \(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2,5\).
Vậy khoảng cách từ điểm uốn đến điểm \(O\) theo phương ngang là \(2,5\;km\). Chọn C.
Dựa vào thông tin dưới đây, thí sinh lựa chọn một phương án đúng theo yêu cầu từ câu 28 đến câu 30.
Trong một phòng thí nghiệm, một kỹ thuật viên đang tiến hành bơm khí vào một quả bóng bay bằng bơm tự động với tốc độ là 100 cm3/s. Quả bóng luôn giữ được dạng hình cầu trong suốt quá trình bơm. Theo thông số kỹ thuật, đây là loại bóng đặc biệt: nếu bán kính vượt quá 30 cm thì bóng sẽ bị bể (nổ). Giả sử tại thời điểm bắt đầu bơm (\(t = 0\)), quả bóng hoàn toàn không có khí \(\left( {V = 0} \right)\). Biết thể tích khối cầu được tính theo công thức \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).
Sau khi bơm hoạt động được đúng 10 giây, kỹ thuật viên tạm dừng để kiểm tra độ giãn nở. Bán kính quả bóng tại thời điểm này là (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
\(5,5\;cm\).
\(6,2\;cm\).
\(4,8\;cm\).
\(7,2\;cm\).
Gọi \[V\left( t \right)\], \[{R_t}\] là thể tích và bán kính quả bóng bóng sau t giây, ta có \[V\left( t \right) = \frac{4}{3}\pi R_t^3\,\,\,(*)\].
Sau 10 giây, thể tích quả bóng là \[V\left( {10} \right) = 100 \times 10 = 1\,000\,\,c{m^3}\].
Ta có \[V\left( {10} \right) = \frac{4}{3}\pi R_{10}^3 = 1000 \Rightarrow {R_{10}} \approx 6,2\,\,cm\]. Chọn B.
Để thiết lập chế độ tự động ngắt cho bơm, kỹ thuật viên cần biết thể tích tối đa của quả bóng có thể đạt được trước khi nổ. Thể tích này là (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
\(113\) lít.
\(151\) lít.
\(90\) lít.
\(36\) lít.
Bán kính tối đa của quả bong bóng là 30 cm.
Thể tích tối đa của quả bong bóng là \[\frac{4}{3}\pi \cdot {30^3} \approx 113\,097\,\,c{m^3} \approx 113\] lít. Chọn A.
Sau khi bơm được 4 giây, kỹ thuật viên điều chỉnh bơm tăng tốc độ bơm thêm 5 cm3 trên một giây thì sau bao lâu quả bóng sẽ nổ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
\(113\) giây.
\(139\) giây.
\(193\) giây.
\(191\) giây.
Thể tích bong bóng sau \[t + 4\]giây là (\[t \ge 0\]) là \[V\left( t \right) = 100 \cdot 4 + \int\limits_0^t {\left( {5t + 100} \right){\rm{d}}t} \].
Thể tích tối đa của bong bóng là \[\frac{4}{3}\pi \cdot {30^3}\,\,c{m^3}\].
Xét \[V\left( t \right) = 100 \cdot 4 + \int\limits_0^t {\left( {5t + 100} \right){\rm{d}}t} = \frac{4}{3}\pi \cdot {30^3} \Rightarrow t \approx 193\] giây. Chọn C.
Thí sinh điền đáp án vào ô trống theo yêu cầu từ câu 31 đến câu 40.
Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = 1000\left( {{t^2} + m{e^{ - t}}} \right)\) với \(t \ge 0\) là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, \(m\) là tham số. Khi đó đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tính tổng các giá trị nguyên âm của \[m\] biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm.
Đáp án: ___
Ta có \(f'\left( t \right) = 1000\left( {2t - m{e^{ - t}}} \right),f''\left( t \right) = 1000\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right)\).
Tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm khi và chỉ khi hàm số \[f'\left( t \right)\] đồng biến trên \[\left[ {0;10} \right]{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}f''\left( t \right) \ge 0{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;10} \right]\]
\( \Leftrightarrow 2 + m{e^{ - t}} \ge 0{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;10} \right] \Leftrightarrow m \ge - 2{e^t}{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;10} \right]{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Xét hàm \[g\left( t \right) = - 2{e^t}\] luôn nghịch biến trên \[\left[ {0;10} \right] \Rightarrow \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {0;10} \right]} {\rm{g}}\left( t \right) = g\left( 0 \right) = - 2\]
Do đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \ge - 2\].
Suy ra tổng các giá trị nguyên âm của \[m\] bằng \[ - 3\].
Đáp án cần nhập là: −3.
Trước sân nhà A của một trường THPT có một mảnh đất là nửa hình tròn có đường kính \[AB = 10m\]. Nhà trường muốn trồng hoa trong hình chữ nhật \[MNPQ\] và phần đất còn lại trồng cỏ Nhật. Biết chi phí trồng hoa là \[100\] nghìn đồng/\[1{m^2}\]. Trồng cỏ Nhật hết \[150\] nghìn đồng/\[1{m^2}\]. Hỏi chi phí (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) hết ít nhất là bao nhiêu?
Đáp án: _____
Gọi \[O\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\], đặt hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ.
Theo bài ra ta có: \[AB = 10\left( m \right) \Rightarrow OA = OB = 5\left( m \right)\]
Đặt \[MN = 2a\,\left( m \right)\] với \[0 < a < 5\], khi đó ta có: \[OM = ON = a\left( m \right)\].
Phương trình đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\] là: \[{x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow {y^2} = 25 - {x^2}\].
Do ta chỉ xét nửa đường tròn có tung độ dương nên suy ra \[y = \sqrt {25 - {x^2}} \].
Từ hệ trục \[Oxy\], suy ra tọa độ các điểm: \[O\left( {0;0} \right)\], \[A\left( { - 5;0} \right)\], \[B\left( {5;0} \right)\], \[M\left( { - a;0} \right)\], \[N\left( {a;0} \right)\].
Do \[Q\] và \[P\] là hai điểm thuộc nửa đường tròn, suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}{y_Q} = \sqrt {25 - x_Q^2} \\{y_P} = \sqrt {25 - x_P^2} \end{array} \right.\].
Mà \[{x_Q} = {x_M} = a\] và \[{x_P} = {x_N} = a\] suy ra \[Q\left( { - a;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\], \[P\left( {a;\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\].
Có: \[MN = 2a\left( m \right)\], \[MQ = \sqrt {25 - {a^2}} \,\left( m \right)\].
Diện tích của phần trồng hoa (hình chữ nhật) là: \[{S_1} = MN \cdot MQ = 2a \cdot \sqrt {25 - {a^2}} \]
Diện tích của nửa hình tròn là: \[S = \frac{1}{2}\pi {r^2} = \frac{1}{2}\pi \cdot {5^2} = \frac{{25\pi }}{2}\].
Diện tích phần trồng cỏ Nhật là: \[{S_2} = S - {S_1} = \frac{{25\pi }}{2} - 2a\sqrt {25 - {a^2}} \].
Chi phí để hoàn thành là: \[T\left( a \right) = 100{S_1} + 150{S_2} = 100 \cdot 2a\sqrt {25 - {a^2}} + 150 \cdot \left( {\frac{{25\pi }}{2} - 2a\sqrt {25 - {a^2}} } \right)\]
\[ \Rightarrow T\left( a \right) = 200a\sqrt {25 - {a^2}} + 1875\pi - 300a\sqrt {25 - {a^2}} \]\[ \Rightarrow T\left( a \right) = - 100a\sqrt {25 - {a^2}} + 1875\pi \].
Xét hàm số: \[f\left( a \right) = - 100a\sqrt {25 - {a^2}} + 1875\pi \Rightarrow f'\left( a \right) = \frac{{ - 2500 + 200{a^2}}}{{\sqrt {25 - {a^2}} }}\].
Xét \[f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow - 2500 + 200{a^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} = 12,5 \Leftrightarrow a = \sqrt {12,5} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\].
Ta có bảng biến thiên:
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy chi phí thấp nhất là \[{T_{\min }} = T\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right) \approx 4640\] (nghìn đồng).
Đáp án cần nhập là: 4640.
Nhà máy \[A\] chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy \[B\]. Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy \[A\] cung cấp cho nhà máy \[B\] số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \[B\] (tối đa \[100\] tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \[x\] tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P\left( x \right) = 45 - 0,001{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để \[A\] sản xuất \[x\] tấn sản phẩm trong một tháng gồm \[100\] triệu đồng chi phí cố định và \[30\] triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy \[A\] cần bán cho nhà máy \[B\] bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án: _____
Số tiền mà nhà máy \[A\]thu được từ việc bán \[x\]tấn sản phẩm \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) cho nhà máy \[B\]là: \(R\left( x \right) = xP\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) (triệu đồng).
Chi phí để \[A\]sản xuất \[x\]tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right) = 100 + 30x\) (triệu đồng).
Lợi nhuận (triệu đồng) mà nhà máy\(A\) thu được là:
\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 45x - 0,001{x^3} - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\).
Xét hàm số \(P\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) ta có:
\(P'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = 50\sqrt 2 \)
Ta có \(P\left( 0 \right) = - 100;\,\,P\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100 \approx 607;\,\,P\left( {100} \right) = 400\)
Vậy nhà máy\(A\) thu được lợi nhuận lớn nhất khi bán \(50\sqrt 2 \approx 70,7\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) mỗi tháng.
Đáp án cần nhập là: 70,7.
Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật \[ABCD.OMNK\] có chiều dài \[1200{\rm{ cm}}\], chiều rộng \[900{\rm{ cm}}\], chiều cao \[450{\rm{ cm}}\]. Phần mái nhà \[S.ABCD\] có dạng một hình chóp tứ giác có các cạnh bên bằng nhau. Biết \[ABCD\] là hình chữ nhật và chiều cao của ngôi nhà (bằng khoảng cách từ \[S\] đến mặt phẳng \[\left( {OMNK} \right)\]) bằng 600 cm. Chọn hệ trục toạ độ \[Oxyz\] sao cho \[M\] thuộc tia \[Ox\],\[K\] thuộc tia \[Oy\], \[A\] thuộc tia \[Oz\](như hình vẽ), (mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 1m).
Gọi tọa độ điểm \[S\] là \[S\left( {a;b;c} \right)\]. Hãy tính \[a - b + c\].
Đáp án: ____
Gọi \[I\]là hình chiếu vuông góc của điểm \[S\] lên mặt phẳng \[\left( {OMNK} \right)\].
Dễ thấy \[I\] là tâm của hình chữ nhật \[OMNK\].
Do đó tọa độ của điểm \[I\] là \[I\left( {4,5;6;0} \right)\].
Suy ra tọa độ của điểm \[S\] là \[S\left( {4,5\,;\,6\,;6} \right)\]. Do đó \[a - b + c = 4,5\].
Đáp án cần nhập là: 4,5.
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {40; - 15;15} \right)\) và \(\left( P \right):3x - y + 2z - 25 = 0\). Gọi \(A'\left( {a;b;c} \right)\) là điểm đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tính \(a + b + c\).
Đáp án: ____
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Khi đó \[\frac{{x - 40}}{3} = \frac{{y + 15}}{{ - 1}} = \frac{{z - 15}}{2}\].
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên \(\left( P \right)\) thì tọa độ H thỏa hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 40}}{3} = \frac{{y + 15}}{{ - 1}} = \frac{{z - 15}}{2}\\3x - y + 2z - 25 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 5 = 0\\2y + z + 15 = 0\\3x - y + 2z - 25 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = - 5\\z = - 5\end{array} \right.\] hay \[H\left( {10\,;\,\, - 5\,;\,\, - 5} \right)\].
\[A'\] đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của \[AA' \Rightarrow A'\left( { - 20\,;\,\,5\,;\,\, - 25} \right)\].
Suy ra \(a = - 20;b = 5;c = - 25\). Vậy \(a + b + c = - 40\).
Đáp án cần nhập là: −40.
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có chiều cao bằng 8,2 cm và đáy của hình hộp có kích thước là 8,5 cm và 10,5 cm. Tính số đo góc phẳng nhị diện \([A,B'D',A']\) (tính theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Đáp án: _____
Trong mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), kẻ \(A'H \bot B'D'\) tại H.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'D' \bot A'H\\B'D' \bot AA'\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow B'D' \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow B'D' \bot AH\).
Do đó \(\widehat {AHA'}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,\,\,B'D',\,\,A'} \right]\).
Tam giác \(A'B'C'\) vuông tại \(A'\) có đường cao \(A'H\) nên
\(\frac{1}{{A'{H^2}}} = \frac{1}{{A'{{B'}^2}}} + \frac{1}{{A'{{D'}^2}}} \Rightarrow A'H = \frac{{A'B' \cdot A'D'}}{{\sqrt {A'{{B'}^2} + A'{{D'}^2}} }} = \frac{{357}}{{2\sqrt {730} }}\).
Tam giác \(AHA'\) vuông tại \(A'\) có \(\tan \widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{A'H}} = \frac{{8,2}}{{\frac{{357}}{{2\sqrt {730} }}}} \Rightarrow \widehat {AHA'} \approx 51,1^\circ \).
Đáp án cần nhập là: 51,1.
Cho hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + 3x\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ tạo thành hai miền phẳng có diện tích \({S_1}\) và \({S_2}\) như hình vẽ.
Biết \({S_2} = \frac{{27}}{4}\) và \({S_1} = \frac{m}{n}\) (hai số m, n là nguyên tố cùng nhau), tính giá trị \(2m - n\).
Đáp án: ____
Gọi \(a > 0\) là hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\).
Đường thẳng \(d\) có hệ số góc là\(k = \frac{{ - \frac{1}{2}{a^3} + \frac{3}{4}{a^2} + 3a}}{a} = - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{3}{4}a + 3\).
Mặt khác \(d\) đi qua gốc tọa độ nên có phương trình là \(y = \left( { - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{3}{4}a + 3} \right)x\).
Ta có: \({S_1} = \int\limits_0^a {\left[ {\left( { - \frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + 3x} \right) - \left( { - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{3}{4}a + 3} \right)x} \right]{\rm{d}}x} \)
\[ \Leftrightarrow \frac{{27}}{4} = \left. {\left[ {\left( { - \frac{1}{8}{x^4} + \frac{1}{4}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2}} \right) - \left( { - \frac{1}{4}{a^2} + \frac{3}{8}a + \frac{3}{2}} \right){x^2}} \right]} \right|_0^a\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{27}}{4} = \left( { - \frac{1}{8}{a^4} + \frac{1}{4}{a^3} + \frac{3}{2}{a^2}} \right) - \left( { - \frac{1}{4}{a^2} + \frac{3}{8}a + \frac{3}{2}} \right){a^2}\]\( \Leftrightarrow \frac{{27}}{4} = \frac{1}{8}{a^4} - \frac{1}{8}{a^3} \Leftrightarrow a = 3 > 0\).
Ta có phương trình \(d:y = \frac{3}{4}x\). Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\) là:
\(\frac{3}{4}x - \left( { - \frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2} - \frac{9}{4}x = 0 \Leftrightarrow x = 3 \vee x = 0 \vee x = - \frac{3}{2}\).
Do đó \({S_1} = \int\limits_{ - \,\,\frac{3}{2}}^0 {\left( {\frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2} - \frac{9}{4}x} \right){\rm{d}}x} = \frac{{135}}{{128}} = \frac{m}{n}\). Từ đó suy ra \(2m - n = 142\).
Đáp án cần nhập là: 142.
Xét tam giác ABC có \(AC = 2AB\) và \(BC = 10\,cm\). Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho \(AD = \frac{1}{4}AC\), trên cạnh AB lấy điểm E sao cho \(AE = \frac{1}{4}AB\), trên cạnh AD lấy điểm F sao cho \(AF = \frac{1}{4}AD\) và tiếp tục lấy các điểm G, H, I, J... (vô hạn lần) theo quy luật đó. Tính độ dài đường gấp khúc CBDEFGH...
Đáp án: ___
Ta có: \(AD = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4} \cdot 2AB = \frac{1}{2}AB\); suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{2} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Hai tam giác ABD và ACB đồng dạng vì có góc \(\widehat A\) chung và \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\).
Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{BD}}{{CB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BD = \frac{1}{2}BC = 5\,cm\).
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được hai tam giác ADB và AED đồng dạng, suy ra \(DE = \frac{1}{2}BD = 2,5\,cm\).
Độ dài đường gấp khúc CBDEFGH... bằng \(l = CB + BD + DE + EF + FG + ... = 10 + 5 + 2,5 + ...\)
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 10\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Do đó \(l = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{10}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 20\,cm\).
Đáp án cần nhập là: 20.
Tại một trạm cứu hộ ven biển đặt tại gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) (đơn vị tính theo km), các nhân viên vận hành một thiết bị bay cứu hộ (drone) có tầm bay tối đa 50 km và vận tốc bay không đổi là 500 m/s. Một tàu đánh cá đang gặp sự cố về y tế, di chuyển theo đường thẳng để vào bờ theo hướng có vector chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {3; - 4;0} \right)\) với vận tốc không đổi là 900 km/h. Tại thời điểm trạm cứu hộ xác định được vị trí của tàu ở tọa độ \(A\left( { - 44;16;24} \right)\), drone được lệnh xuất phát ngay lập tức để mang túi y tế đến cho tàu và đã tiếp cận mục tiêu thành công. Tính khoảng cách từ trạm cứu hộ đến vị trí tàu đánh cá tại thời điểm drone tiếp cận được tàu (tính bằng km). Giả sử tàu và drone đều di chuyển theo đường thẳng trong điều kiện lý tưởng, bỏ qua ảnh hưởng của gió và trọng lực.
Đáp án: ___
Đổi \(500\;{\rm{m/s}} = 1800\;{\rm{km/h}}\).
Gọi \(\overrightarrow {{v_1}} \) là vectơ vận tốc của tàu nên ta có \(\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = k\left| {\overrightarrow u } \right| \Rightarrow 900 = 5k \Rightarrow k = 180\).
Suy ra \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {540; - 720;0} \right)\).
Giả sử \(M\)là vị trí của tàu khi thiết bị bay tiếp cận được tàu ở thời điểm \(t\)(\(t\) tính từ lúc phát hiện tàu ở vị trí \(A\)), nên \(M\left( { - 44 + 540t;16 - 720t;24} \right)\).
Vì khi tàu ở vị trí \(A\left( { - 44;16;24} \right)\) thì thiết bị bay xuất phát nên thời gian thiết bị bay tiếp cận được tàu cũng là thời gian tàu di chuyển từ vị trí \(A\) đến vị trí \(M\).
Quãng đường bay của thiết bị bay bằng khoảng cách từ trạm cứu hộ đến vị trí tiếp cận được tàu.
Khi đó ta có \(1800t = OM\)\( \Leftrightarrow {\left( {1800t} \right)^2} = {\left( { - 44 + 540t} \right)^2} + {\left( {16 - 720t} \right)^2} + {24^2}\)\( \Leftrightarrow t = \frac{1}{{45}}\).
Khi đó khoảng cách từ trạm cứu hộ đến vị trí tiếp cận được tàu bằng \(1800 \cdot t = 1800 \cdot \frac{1}{{45}} = 40\;{\rm{km}}{\rm{.}}\)
Đáp án cần nhập là: 40.
Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử sử dụng hai nguồn cung cấp linh kiện bán dẫn khác nhau. Qua thống kê dài hạn, bộ phận quản lý chất lượng ghi nhận có 73% lượng linh kiện trong kho được nhập từ Nhà cung cấp A, số còn lại nhập từ các nguồn khác. Sau một thời gian vận hành, các kỹ sư nhận thấy rằng: Tỉ lệ linh kiện bị lỗi kỹ thuật trong số các linh kiện đến từ Nhà cung cấp A cao gấp 3 lần tỉ lệ lỗi của các linh kiện đến từ các nguồn còn lại. Từ kho hàng, người ta lấy ngẫu nhiên một linh kiện để kiểm tra và phát hiện linh kiện này bị lỗi. Hãy tính xác suất để linh kiện bị lỗi đó là sản phẩm của Nhà cung cấp A (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: _____
Gọi \(A\)là biến cố “Linh kiện được chọn là sản phẩm của nhà cung cấp A”;
\(B\)là biến cố “Linh kiện được chọn bị lỗi”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,73 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,27\).
Đặt \(P\left( {B|\overline A } \right) = x\left( {0 < x < 1} \right)\). Suy ra \(P\left( {B|A} \right) = 3x\).
Cần tính \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}\]\( = \frac{{0,73 \cdot 3x}}{{0,73 \cdot 3x + 0,27 \cdot x}} = \frac{{73}}{{82}} \approx 0,89\).
Đáp án cần nhập là: 0,89.
